С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Пусть иееНзг, Функция иее1.,(й) — это следует из тео- ремы 4.3.1, в силу которой энергетическое пространство поло- жительно определенного оператора вкладывается в исходное пространство, Как и всякое пространство, полученное пополнением, энер- гетическое пространство Нвг состоит из старых элементов — в дан- ном случае это функции, входящие в область |) (Л) — и из идеаль- ных элементов. Если и — старый элемент, то, очевидно, и ~ ее [[Р,"(Й), и для этого случая первое утверждение теоремы дока- зано. Пусть и и о — старые элементы.
Применяя первую формулу Грина (формула (Б,б) гл. 9) и учитывая равенства (1.9), полу- чаем [и„о[л = (21и, о) = г) г А,ь — — + Сио дх. Р! ди до дхэ дхг Но А,ь = Аю, и последний интеграл совпадает с интегралом в формуле (2), которая тем самым оказывается верной для ста- рых элементов, Полагая в формуле (2) о=и, видим, что для старых элемен- тов верна и формула (3).
Пусть теперь и — идеальный элемент пространства Нч. По теореме 4.3.2 существует такая последовательность функций и„ ее 0 (М), что [ги„— и[,'„=О, [и„— и,[„-г мО, (4) Второе из соотношений (4) означает, что ~ и„— и, 1' = (21 (и„— и,), и„— и,) = = ~ ( Аух —" — — *) ( —" — — ' + С (и„— и,)х1 у(х — О. 1, дху дху ) (, дхл дхх у л, ,л»:л Теперь из неравенства (1.1!) вытекает, что / дил дил ~х 1 дил дих 1л ., 1дхл дхх/ ~~дху, дхл 11 л,л т, е. в метрике Ц(1х) последовательности производных — „, и= дил дхх ' = 1, 2, ..., сходятся в себе. Отсюда следует, что существуют пределы дил . ох= 1~ш д"', »=1, 2, ", лу' ,ойеи~-~Ф).
В силу первого соотношения (4) по теореме 2.5.1 ох — — — и, ди дхл следовательно, и еи Я7'," (Я). Существование последовательности (и„) со свойствами (4) дает теперь, что и ~ Ф',и(й). Докажем, что формулы (2) и (3) верны для идеальных эле- ментов энергетического пространства. Пусть и идеальный эле- мент, а последовательность и„~)3(21), и=1, 2, ..., удовлетво- ряет соотношениям (4).
Тогда ~и„— и~„— - О и, следовательно, (и 1~уу — — 1пп (ил (зу = 1пп ~ ~Ам д"„л д„," +Си,"-~ У(х. (5) Докажем, что последний предел равен Для этого оценим величину ,' дил ди„ ди ди т у, =~ ~ 1А»' — — — — — +С(и, — и )1у(х, ~ .) 1 у 1дху дхл дху дху,, Непрерывные в замкнутой области функции Ау„(х) и С(х) огра- ничены. Пусть ! Аул (х) '(М, )С(х) )(М; М=сопз1, тогда У„(М $ Е ~ д д д д )у(х+М ~ ~и',— и'!у(х. (7) дху дху, дху дхх Я Второй интеграл оценивается так: ~ ) и„л — и' у(х = ~1ил+ и ( ! и„— и ! у(х ~ -( ~ (ил+ и)л йх~" (~ (и„— и)' У(х)'У~ =!) и„+ и ! (и, — и(.
Второй множитель стремится к нулю, а первый сходится к пре- делу (равиому 2(и ~) и потому ограничен, следовательно, второе слагаемое в (7) стремится к пулю. 303 Сходным образом оценивается и первое слагаемое: о Лх=1 Ь Лх-1 11 дх~ ~ 1 дхх дхх ) + ) дхх 11 ( дк~ дх, 5 ' ьх-! Справа1 первые множители ограничены, а вторые стремятся к нулю, и все выражение стремится к нулю, Окончательно, 1 ь-~ (А„~~(с,)ь, и формула (3) верна для идеальных элементов энергетического пространства. Если теперь и и о †д таких элемента, то 1 !и Ь 4 ~!и+о% !и оЦ Заменив нормы справа по формуле (3) и проведя элементарные упрощения, придем к формуле (2), которая тем самым установ- лена и для идеальных элементов, Остается установить, что для функций пространства Нн нормы (2) и (6А2) гл.
3 эквивалентны. Пусть и ен Нз1. Из фор. мул (2) и (1.3) вытекает, что иь- ° ~ ~( —,'„")' ' Ь х=~ Далее, оператор Я вЂ” положительно определенный, поэтому ~ и (н ~ У' 11 и 11х = У' ~ и' Йх; складывая, находим )иЦ„, (с1и1з1, 2с-'= ппп(ро, у'). (8) Как было отмечено, коэффициенты А,» ограничены. А тогда ограничено и наибольшее собственное число Л„(х) матрицы этих коэффициентов, Пусть введенная выше постоянная М столь велика, что Л„(х) ~М, тогда Уй пх ~Ъ'м()~ ~ (д~ -~- '1д ~ -Хм~, $~х.
(9) зах Совокупность неравенств (8) и (9) означает, что интересующие нас нормы эквивалентны, Докажем теперь обратное утверждение: если функция и ~ ди ен ?.» (Й) имеет обобщенные производные — я ?.» (Й) и если сущедх» ствует последовательность (и„), и„ен ?х (2(), удовлетворяющая соотношениям (1), то и ен Нн. Прежде всего ясно, что и е= Ф»' (11). Далее, последователь- ность (и„) сходится в себе в энергетической метрике. Действи- тельно, /ди» ди,~/да» ди,~ ~ и„— и, 1!Х = 1 ) А « ~ —" — — ' ~ — ' — — ' + С (и„— и,)»~~/(х. ~ дх/ дх/ /1 дх» дх» / ад (10) Коэффициенты А/«и С ограничены постоянной М. Пусть по-прежнему характеристические числа матрицы старших коэф- фициентов ограничены той же постоянной, Тогда Ъ~ / дих ди»1» (и~ — и 1'л:- М ~ 1 д — д /' их+М 1 (и„и~) ах, »» и что стремится к нулю при и, з-» со, в силу соотношений (1), Энергетическое пространство — полное, поэтому в нем суще- ствует элемент и такой, что 1ш — и„(к-«О.
Первое из соотно- шений (1) показывает, что го=и. Окончательно, и ен Нк. ~ Теорема 17.2.2. Слабое решение задачи Дирикле (1,5) — (1,6) является также локально суммируемым обобщенным решением уравнения (1.5). Используя формулу (3), приведем тождество (!.17) к виду ;А/«д ' — ~+Си»т) — ~»))бх=О; У»1~Ни, (1 1) Класс Ю1<»~ (Р), очевидно, содержится в Н1б будем считать, что в тождестве (11) и ен Й"' (Й).
Тогда — ен Йпп (12) и, по опредч дх» делению обобщенной производной, ди» дп Г д / дЧ 1 А — ' — /(х = — д» и» вЂ” ~А/» — /1х. дх/ дх«,) дх/ ( дх« /' Теперь из тождества (11) следует: ~ (иь?л1 — /»)) с(х = О, Т/т1 ~ И<»> (11), или (и„!л1) =((, Ч), Чг) ен ЙФ" (1?). Оператор 1.
формально само- сопряженный, а последняя формула совпадает (при э=2) с фор- мулой (1,4) гл, 10, определяющей локально суммируемое обоб- щенное решение дифференциального уравнения, ф Следствие 1'?.2.1. Слабое решение задачи (1.5) — (1.5) является обобщенным решением уравнения (1.5) в смысле теории обобщенных функций. 305 з 3. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ Пусть область 11 н коэффициенты Л,„(х), С(х) удовлетворяют условиям Ч 1 и пусть функция ~р(х) задана на поверхности Г— границе области 11.
Рассмотрим в области й задачу Дирихле для однородного эллиптического уравнения — ' А,— ~ — Со=О д,/ дх 1 (1) дх~ 1 !х дх„ 1 при неоднородном краевом условии и ~г = ср (х). (2) Поставим задачу о минимуме однородного квадратичного функционала Ф(о)= ~ ~А7х д д +Со-'~Нх (3) на множестве 77 (Ф) тех функций класса Ю7'(Й), которые удавлетворяют краевому условию (2).
Для того чтобы такая задача имела решение, необходимо прежде всего, чтобы множество 0 (Ф) было непусто. Будем предполагать поэтому, что существует хотя бы одна функция фен )Р"," (11), такая, что ф~г=ср(х). Сформулированное здесь предположение называется условием продолжимости; мы вернемся к нему в 3 5.
Самую постановку задачи (2) — (3) несколько изменим: говоря, что функция п(х) удовлетворяет краевому условию (2), будем понимать под этим, что (о — ф) ен Ни, (4) где Нк — энергетическое пространство задачи Дирихле (2.5) — (2.6), Положим и (х) — ф (х) =и (х), Тогда и ее Ни и Ф (о) =Ф (и) + -1- 2Ф (и, ф) + Ф (ф), где Ф (и, ф) — били нейный функционал Ф(н, ф)= 1 [Л,.ФУ+СИФ1 (х: (5) очевидно, Ф (и, ф) есть линейный функционал от и. Так как Ф (ф) есть постоянная, то ясно, что вариационная задача (2) — (3) равносильна следующей задаче: в пространстве Ни найти функцию, сообщающую функционалу Ф(и)+2Ф(и, ф) (6) наименьшее значение.
Докажем, что эта последняя задача имеет решение, и притом единственное. Из условий (1.3) и (1.4) следует, что однородный квадратичный функшюнал Ф неотрицателен, н для него справедливо неравенства Коши ~Ф(, ф); ~'Ф( ) Р'Ф(ф). (7) 306 Если и Я Ни, то Рг<1~ (и) =(и (и (фоРмУла (2.3)) и, следовательно, )Ф (и, ф) ~ = )г Ф Ф(ф)( и)и (8) Функция ф — фиксированная, поэтому РгФ (ф) есть величина постоянная, и неравенство (8» показывает, что функционал Ф(и, ар) ограничен в Ни Теперь из результатов 9 9 гл.
4 вытекает, что задача о мини- муме функционала (6) имеет в пространстве Ни одно и только адно решение. Обозначим это решение через иа (х), и пусть о,(х) =и,(х)+ф(х). Очевидно, функция оа(х) решает вариацион- ную задачу (2) — (3). Теорема 17.3.1. Решение вариационной задачи (3) — (4) есть локально суммируемое обобщенное решение уравнения (1). Пусть т» ее 93114' (л!) и à — произвольное вещественное число. Тогда (оа+/т1) ~0(Ф) и потому Ф(оа+/т1)~Ф(оа). Но тогда йФ (оа+ /т1)/й! '9 а = О, или (А,—" — +Соач~йх=О даа дч а дхТ дхь (9) Функция оа имеет в !4 обобщенные первые производные; в соответствии с определением и даа дп Г д / дп Аь — — йх= — л оа — ~А» — 'йх; дхТ дхв .) ь дх; 1 а дх„ / и отсюда о, ~ — — ( А а — Ч ) + Са)~ йх = О, ч т! Ее 3»)м> (!2).
б дхТ ~ та дха, По определению 8 1 гл. 10), о, есть локально суммируемое обобщенное решение уравнения (1). Следствие 17.3.1. Если решение вариационной задачи (3) — (4) имеет в О. непрерывные вторые производные, то оно удовлетворяет уравнению (1) в обычном смысле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
