С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Аналогично изменяется и условие (4). Системы вида (1), удовлетворяющие условию (10), принадлежат к классу так называемых »сильно эллиптических> систем'. г[а системы вида (1), удовлетворяющие условию (1О) и должным образом измененному условию (4), без труда распространяются вс' результаты настоящего параграфа, 2 подрсбнес о сильно эллиптических системах см. [81. 32б Как зто видно из условий (3), для самой функции и и для всех ее производных, фигурирующих в упомянутых условиях, справедливо неравенство Фридрихса. Это дает цепочку неравенств 5 !О.
ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ БЕСКОНЕЧНОЙ ОБЛАСЧИ Пусть в эллиптическом уравнении д / ди~ — — ~ А х — +Си=) (х) дх~ ( ~ дхэ~ матрица коэффициентов А>э(х) положительна, а коэдх[жциснт С(х) удовлетворяет неравенству С(х)---С,=сопй >О. Тогда, как легко проверить, оператор соответствующей задачи Дирихле остается положительно определенным и в случае бесконечной области, и эта задача (при однородном краевом условии) имеет слабое решение. Интерес представляет случай, когда С(х) = — О, Для простоты ограничимся уравнением Лапласа с однородным краевым условием, Подробнее случай бесконечных областей рассмотрен и книге(291, Пусть П вЂ” бесконечная область с к о н е ч н о й кусочно гладкой границей Г. Поставим в этой области задачу Дирихле (2) — Ли=)(х), (1) и г=О. Оператор, порождаемый этой задачей, обозначим через 2).
За область его определения 0 (6) удобно принять множество функций класса С'(Й), обращающихся в нуль на границе Г и в окрестности (своей для каждой функции) бесконечно удаленной точки; действует оператор 6 по формуле Фи= — ци. Будем рассматривать ч) как оператор в Т.з(П), Докажем, что этот оператор положительный, но не положительно определенный. Составим скалярное произведение (6и, в)= — ~ойис(х; и, в~0(2), (3) Функция и (х) отлцчна от нуля только в некоторой конечной области, по которой фактически и берется интеграл (3). Поэтому к интегралу (3) можно применить формулу Грина (формула (б.7) гл. 9), Приняв во внимание, что па границе упомянутой области Г ди ди и =- О, получаем (Зи, о) = т — — с!х, и оператор ч) симметричен.
дхи дхх При о =-и имеем 1и (6и, и) = ~ ~~ ' — ) г(х- О„ э Если (6и, и) = О, то, очевидно — жО, я= 1, 2,..., т и и (х) =сонэ(. ди дхи Но и г= О, поэтому и (х) = О. Положительность оператора 6 доказана. В бесконечной области Я с конечной границей можно расположить куб со сколь угодно большим ребром а. Систему координат выберем так, чтобы куб опредслялся неравенствами О = (х„са, й=1, 2, ..., ап Рассмотрим функцию и, (х) = Цейпз — ~ внутри куба, 0 вне куба. Очевидно, и,(х) енВ(9). Простой подсчет показывает, что (Зи„, и„) с = —,, с=сова(. Отсюда 1)ш ', =0 и следова(ли„, и„) ~',и~(~ 1и, Р тельно, 1п1 —,' = О.
(Фи, и) иапо (6) (б) Равенство (б) означает, что 3 не положительно определенный оператор. В соответствии со сказанным в ~ 10 гл, 4, с оператором Е можно связать энергетическое пространство Не. Так как оператор 6 только положителен, то не все элементы пространства Не принадлежат исходному пространству Е,(Й). Можно доказать (предоставляем сделать это читателю), что пространство Нв состоит из тех и только тех функций, которые 1) определены почти всюду в 0; 2) имеют обобщенные первые производные, квадраты которых суммируемы в й; 3) удовлетворяют краевому условию (2) в следующем смысле: если и ен Не, то существует последовательность функций (и„(х)), и„~ С'м (й),таких, что и„(х) = 0 на поверхности Г и при достаточно больших (х), и удовлетворяющих соот- 'Ю ! дию д» ношению р ~ —" — — ) дх — — О, 1дхь дкь/ и с 1=1 Как это было доказано в 5 10 гл, 4, задача (1) — (2) имеет обобщенное решение тогда н только тогда, когда функционал (и, ~) ограничен в Нзь Можно доказать, что для этого в свою очередь необходимо и достаточно существование такого вектора Р(х), что )(х)=п(чР(х) и (~Р(х)(сна,(11).
Здесь дивергспция понимается в обобщенном смысле (аналогично обобщенной производной), а символ 1Р(х)( означает норму вектора Р(х) в п1-мерном евклидовом пространстве. Можно указать более простое, но только достаточное условие: обобщенное решение задачи (1) — (2) существует, если размерность пространства т>2 и если сходится интеграл ~',х!')'(х) дх. Глава 18 СПЕКТР ЗДДДЧ ДИРИХЛВ И НяйМАНД 5 К ОБ ОАНОЙ ТЕОРЕМЕ ВЛОЖЕНИЯ Теорема 18.1.1, Если Й с: ń— произвольная конечная область, то пространство )Р(»» (11) вполне непрерывно вкладывается в Ь, (Р).
Определение пространства (Р(о(Р) было дано в 3 б гл, 3. Если 11 есть объединение конечного числа звездных областей, то тео- рема 18.1.1 является очевидным следствием теоремы 3.3.3. Поместим 11 внутрь некоторого шара Ш. Функции класса 1(»з(п(11) продолжим на этот шар, положив их равными нулю в Ш',й Покажем, что продолженные таким образом функции принадлежат классу Ж'»»» (Ш). Пусть и ее К" (й) и и* — продолженная функция: и*(х) =~ (и(х), хеба, (1) хее Ш~„й, По определению, и~Ц(с)), а тогда и'~).,(Ш); тем более, иь ее ).» (Ш).
Обозначим через ф (х) произвольную функцию класса 3)1('> (Ш) (см. Введение, 3 2) и рассмотрим интеграл "~Г = 'й' (2) ш Пусть (и„(х)) — последовательность функций, удовлетворяющих условиям (6.1!) гл. 3; тогда и(х) —.»(х= )ип и,(х) — »(х= д»р (х) .
Г дф (х) дхь „ ~ и дхл = 1ип ф(х) — "»(х= — ф(х) — "," с(х, (3) и си Положим —, хеей, ди (х) о„(х) = дхх О, х ее Ш',11. Из тождеств (2) и (3) вытекает, что и — — с(х= — ~ »р (х) оь (х)»(х. д»р (х) дхх ш Отсюда видно, что существуют обобщенные производные ди*,»дхх = ои (х), й= 1, 2, ..., т, и что ди*/дхи ее 1.»(Ш).
Вспоминая опре- деление класса йт',м 61 гл. 3), видим, что и* ы йтгп (Ш) и наше утверждение доказано. Пусть теперь М вЂ” пронзволыюе множество из Ф, (О), огра"ш ниченное в метрике этого пространства. Каждуго из фупккпй множества М продолжим по формуле (1) и полученное этим продолжением множество новых фупкпий обозначим через М*; очевидно, множество М" ограничено в метрике )Рг' (Ш).
По теореме 4,3.3 из М* можно выделить последовательность, сходящуюся в метрике 7.,(Ш); сказанное равносильно тому, что из множества М можно выделить последовательность, сходящуюся в метрике I, (11). ° й 2. СПЕКТР ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ КОНЕЧНОЙ ОБЛАСТИ Теорема 18.2.1. В слугае конечной области оператор задачи Дирихле для невмрождагощегося самосопряженного эллиптического уравнения второго порядка имеет дискретный спектр. Пусть М вЂ” ограниченное множество в пространстве Нн, где 11 — упомянутый в формулировке теоремы оператор задачи Дирихле, (и (я.--"с=сопз1, 7и е= М. (1) Отметим прежде вссго, что в силу теоремы 17.2.1 М ~ )Рлп (ь1). Из неравенства (1) вытекает, что 12 и ен М, ! и ( =.
—, (2) " т ' где у — постоянная положительной определенности оператора 2(. Далее, по формуле (2.3) гл. 17 имеем ~ ~ А,л —" — ' + Си'1 дх ( с'. Из соотношения (1,3) гл. 17 теперь вытекает неравенство П! (3) а л.=! Неравенства (2) и (3) показывают, что множество М ограни- чено в Ф~п(П); по теореме 18.!.1 оно компактно в 7.,(1г). Таким образом, лгобое множество, ограниченное в НН, компактно в Ьз (Я). По теореме 5.8.1 спектр оператора 11 дискретен. ° Из доказанной только что теоремы и теоремы 5,6.1 выгекает следующее утверждение: существует счетное множество (1.„) зна- чений параметра 1., для которых задача а( эа', йх, в.„) --(А „— ' — Си+да=О, х~П, и'г=О (4) имеет нетривиальное решение.
Значения 1.„суть собственные числа оператора задачи Дирихле (короче, собственные числа задачи Дирихле), а соответствующие нетривиальные решения задачи (4) ЗЗО суть собственные функции, отвечающие собственному числу Л„. Каждому собственному числу отвечает только конечное число линейно независимых собственных функций, Будем повторять каждое собствешюе число столько раз, сколько ему соответствует собственных функций. Все собственные числа Л„ь О, и 16) Систему )и„) собственных функций можно считать ортонормпровашюй в Е, (О): (ил и„) = — 6,„; 1, й=-1, 2, ...
(6) Она также ортогональна, по пе нормирована и в Ок, а именно: [и„иа)х=О, )чай; 1па, иа)» =) и„)х =Ла. (7) Система собственных функций и„полна в каждом из пространств Ез (1?) и Ок. 5 3. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СЛУЧАИ Построить фактически спектр положительно определенного оператора, опираясь на теорему 6.6.1, чрезвычайно трудно, Это видно хотя бы из того, что при этом приходится выделять из минимизирующей последовательности сходящуюся подпоследовательпость. Поэтому представляют интерес частные примеры, в которых спектр задачи Дирихле удается построить явно. Ниже приведены примеры областей, для которых можно дать элементарные выражения собственных чисел и собственных функций задачи Дирихле для у'равнения Лапласа.
Параллелепипед в пространстве лт измерений Если и — натуральное число, то функция вещественной переменной 8 и„(1) =з!п — ' ал! П) а айлэ удовлетворяет дифференциальному уравнению и,'+ —; и„=О и красвым условиям и„(0) = и„(а) = О. Отсюда следует, что функция и„„„(х) = с П з)п — ""' ", с= сопз1, а» удовлетворяет дифференциальному уравнению Ли+Ли=О, Л = а1 и' = пз ~~ —.,- и обращается в нуль па поверхности параллелепипеда ~Ги и' ь — ! 0 ~ х„~ ам й = 1, 2, ..., гп. 16) Таким образом, функции (2) суть собственные функции задачи Дирнхле для оператора Лапласа в параллелепипеде (3), соответствующие собственные числа суть л' (4) Ф-1 Система (2) ортогональна в метрике Е,(й), где на этот раз 12 — параллелепипед (3); она будет н нормированной, если положить с=2"м П а,чр, (6) р=! Система (2) полна в 7.,(11) — зто легко доказать, исходя нз того, что система функций (1) полна в Ер (О, а), Отсюда следует, что формулой (2) исчерпывается система собственных функций задачи Дирихле для уравнения Лапласа в параллелепипеде.
Шар в пространстве и измерений Собственные функции н собственные числа задачи Днрихле для т-мерного шара Ш„= ! х1( 1 удовлетворяют уравнению Ли+Хи = О, или, если перейти к сферическим координатам, д'и и — ! ди ! —,+ — — — „— ба+Хи=О др' р др рР и краевому условию и(р 1 — — 0 (7) Будем искать нетривиальные решения задачи (6), (7) по методу разделения переменных, именно, будем искать решения, имеющие внд и = ! (р) 1р (6).
(8) Условие (7) приводит к краевому условию для функции !'(р) 1(1) =О. (О) Подставив выражение (8) в уравнение (6), мы легко приведем последнее к виду -р-,'~'+ — ' ~'+ ц) = — ". (10) В уравнении (!О) левая часть не зависит от 9, а правая — от р; будучи равными между собой, обе части уравнения (10) не зависят ни от р, нн от д н, следовательно, равны некоторой постоянной, которую мы обозначим через р, Теперь уравнение (10) распадается на два дифференциальных уравнения 61р — р1р = 0 332 ( (р)+ — "')'(р)+') - -!',',~(р) =О. (12) В качестве»р(Б) получаются гладкис на сфере функции от В, если принять, что р=л(п+пг — 2), л=0, 1, 2, Тогда уравнение (11) совпадает с дифференциальным уравнением сферических функций и можно положить ~р(9)=1'» (О) Уравнение (12) подстановкой — » у приводится к уравнению Бесселя ~л+ — ) ~ р" + — 'у +1),— ' ) у=О.
Р» (13) Решение этого уравнения, ограниченное при р=О, имеет вид у=Сг' » ()г'). р), где С вЂ” постоянная, а (, означает функцию »+в г Бесселя первого рода порядка т, Краевое условие (7) дает теперь значения ).: )»=! б$ — 2 (14) 2 где 1, г если 1-й положительный корень функции Бесселя l,, Мы приходим, таким образом, к следующей системе собственных функций задачи Дирихле для уравнения Лапласа в единичном шаре: »1 — 2 а = О, 1, 2, ...; й = 1, 2, ..., й„ ! = 1, 2, 3, ..., (15) Функции (15) попарно ортогональны в единичном шаре; множитель С„», можно выбрать так, чтобы указанные функции были нормированы в том же шаре.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
