С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Так как подобласть 14, произвольна, то слабое решение и (х) является также сильным решением в обла- сти Й. й 4, НЕОДНОРОДНЫЕ КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ (2) 55! Рассмотрим однородное эллиптическое уравнение — й- (Лм(х) д"'+С(х) и=9 (1) прн неоднородном краевом условии задачи Дирихле сс ~г=к(х) илн 1.!еймапа ~Лмд,-сох (У, х,)~ =л(х), (3) Предположим, что данные обеих задач удовлетворяют требованиям гл. 17.
В частности, функция ~р удовлетворяет условию ПрОдОЛжнМОСтн: Сущсетзуст таКая фуНКцИя ф Ы )Г,о (О), Чта ф (х) ~ г — — <р (х). В этих условиях справедлива следующая теорема. Теорема !9.4. !. )?Деть иь (х) — слабое решение задачи Дирихле (!), 12) или задачи Нейлюна (!), (3). Если 61,— произвольная внутренняя подобласть 11, то и„е= Уд'.,"'(!1,).
Доказывается эта теорема по той же схеме, что и теорема предшествующего параграфа. Коротко наметим доказательство. Слабое решение и,(х) задачк Дирихле (1), (2) определяется интегральным тождеством (Амдх д +СиьЧ, г(х=О, ЕЧ е-=Нн дп дио (4) (см, формулу (3.9) гл. !?). Точно так же слабое решение задачи Неймана определяется (см. 9? — 9 гл. 17) интегральным тождеством Й й~","„ (Луь д„- д,"+Сио11~ йх — ~ йЧ г(Г, ~(Ч ~ (Рв" ((!). (б) ьь дгч дхь г Как и в 9 3, построим куб ГЕ, лежащий внутри (з, и положим о=пи„, По-прежнему функция о является слабым решением за- дачи (3.2), но с несколько более простой функцией г: в данном случае Р(х) = — 2А о — -- — и — ~ Аэ --~ — Сои.
до ди д 1 до~ (6) тодх~ дхо дкт ~ Г дхо) Дальнейшие рассуждения протекают, как в 2 3 без каких бы то ни было изменений. й 5. случай достаточно гладкой ггдннцы В этом случае, предполагая, что заданные на границе функции — достаточно гладкие, можно доказать, что слабые решения задач Дирихле и Неймана принадлежат классу 1Роо' во всей рассматриваемой области. Здесь мы рассмотрим только задачу Дирихле с однородным краевым условием и докажем следующую теорему, Теорема 19.6.1. Пусть козф4ициенты Ать(х) н С(х) удовлетворяют условиям р 1 гл, 17, и пусть 11 с: Б — конечная область, граница которой дО =Г ~ С~о~.
Тогда слабое решение задачи дх <Ато(х) дх )+С(х) и=У(х) ) ~1.о(ьг); и<г=О (1) принадлежит классу В7' (И). 1 Пусть число 6 удовлетворяет неравенству О(6< — д, где з й — радиус ляпуповской сферы для поверхности Г, Как обычно, через Г2ь будем обозначать пограничную полоску ширины й. По теореме 19,3.1 слабое решение задачи (1) и ~ ен %'оо' (О'~1?о~,), Докажем, что и ен ы (Р1(11о); тогда будет нетрудно докаг' зать (см. [371, с. 47), что и ен %". ' (О).
Ю Возьмем пронзвольнуюточку хоевГ и построим ляпуновскую сферу Зи(х,); как обьшно, обозначим через 3, (х) сферу радиуса г с центром в точке х. Обозначим через 0' и Г' соответственно часть области 12 и часть поверхности Рис. 24 Г, заключенные внутри сферы Зи(хо) (на рис. 24 изображсц двумерный случай). Далее проведем сферу Я,(х,), радиус а которой достаточно мал, и пусть Г" -часть поверхности 1', лежащая внутри новой сферы, н 0" — часть полоски Оо, лежащая внутри этой же сферы.
Введем в рассмотрение функцию о(х) со следуюшими свойствами: а) о ен Сно(Й); Ь) внутри и на границе сферы 3,(хо) справедливо тождество о(х) =1; с) иа сфере 3„(хо) и вне ее о (х) = О, Ясно, что о (х) =1, если х я0", Функцию о (х) можно построить так: усредним функцию 1, <х — хо! ~2а оо (х) = О, <х — хо<) 2а 352 взяв радиус усреднения меньшим, чем а; сужение полученной функции на область П можно принять за а(х). Как и в () 2, доказывается, что произведение о(х) =п(х) и(х) есть слабое решение задачи д (Лм(х)д )=г(х); п)з~ =О (3) в области 0', функция Г определяется формулой (2.3).
Пусть уравнение участка поверхности Г' в местных координатах имеет вид гахн = 7 (сх, $и, ° ° ° , ь- ») (4) очевидно, 7 ев С<»х. Введем новые независимые переменные у„ у„ ..., у„ по формулам у»=с», 1 =й(т — 1; у„=с„,— 7 Ях, с», ..., $,»»). (5) Преобразование (5) переводит область 0' в некоторую новую область 0', часть границы которой есть плоская область Г— образ поверхности Г', лежащая в плоскости у,„ = О.
Отметим, что ~очка х, переходит в начало координат пространства переменных у» (рис. 25). Сферы Яи(х») и 5»(хи) перейдут в некоторые поверхности Х, и 2»; если радиус т' взять достаточно малым, то эти поверхно- лл сти будут сколь угодно близки к сферам с центром в начале координат, радиусы которых равны и Рис. 25 и с( соответственно.
В области 0' преобразование (5) взаимно однозначно, дважды непрерывно дифференцируемо и имеет якобиан, тождественно равный единице. Такое преобразование, очевидно, сохраняет класс %";х'. Если величина е достаточно мала, то можно построить параллелепипед П (см. рис. 25) со следующими свойствами: одна из его граней расположена на плоскости у = О; он лежит в области, ограниченной поверхностью Х» и плоскостью д„=О; содержит область, ограниченную той же плоскостью у =О и поверхностью Х„. В частности, он содержит область 0". При этом на тех гранях параллелепипеда, на которых у ( О, функция а обращается в нуль.
Отсюда следует, что о)ап =О. (6) В результате преобразования от координат х» к у» дифференциальное уравнение (3) перейдет в уравнение вида (ср. 2 3) дхс ди — ВМ + В,д — — — с» (У). дуу ду» ду» (7) Таким образом, функция о является слабым решением задачи (6) — (7) в параллелепипеде П. Все дальнейшие рассуждения протекают так же, как в 3 3, и приводят к выводу, что и еп Ф»х'(Пз). 12 с. г.
михлин 353 Глава 20 УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ й К УРАВНЕНИЕ ТЕППОПРОВОДНОСТИ И ЕГО ХАРАКТЕРИСТИКИ Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка с Гл + 1 независимыми переменными -"-,— А,~(х, Т) " +А„(х, Т) --„- +Аа(х, Т) и=!(х, Т), Л,„.= Л„„(1) Матрица его старших коэффициентов имеет вид — А,.. — А,„01 — А„... — ЛТ„01 ~ — А11 ,' — Ам 0 0 ... 0 0~ В настоящей главе изучается уравяение теплопроводности. Точнее говоря, изучается класс параболических уравнений, которые можно рассматривать как обобщение уравнения теплопроводности на случай сред с более сложными физическими свойствами (неоднородные и неизотропныс среды) в пространстве любого числа измерений.
В уравнении теплопроводностн одна из независимых переменных означает время, остальные — пространственные координаты. В связи с этим мы будем употреблять следующие обозначения, несколько отличные от обозначений предшествующих глав. Общее число независимых переменных будет обозначаться не через т, а через т+ 1, первые т переменных обозначаются через «„х,„... ..., х, последняя — через Т.
Числа х„х,, ..., х рассматриваются как декартовы координаты некоторой точки х, принадлежащей т-мерному евклидову пространству Е . Будем придерживаться правила записи суммы, принятого в предшествующих разделах: если в некоторое одночленное выражение входит переменный индекс, который меняется в пределах от 1 до т, и если в указанном выражении этот индекс повторяется дважды, то по нему производная суммирование в пределах от 1 до ак Иногда мы будем для упрощения записи писать х ., вместо 1. Введенные здесь обозначения будут использованы и во всех последующих главах.
Одно из характеристических чисел этой матрицы равно нулю, а остальные только знаком отличаются от характеристических чисел матрицы коэффициентов А,„. Если эти числа — все одного знака, то уравнение (1) принадлежит к типу (т, О, !) и, следо- вательно, является параболическим; в этом случае уравнение (!) будем называть уравнением теплопроводности. Отметим, что входящсе в уравнение теплопроводности диффе- ренциальное выражение д-'и ди — Ам — + Аи —.-+ Аои (2) дк, дхи дхи — эллиптическое в переменных х„х,,, ..., х, В последующем будем предполагать, что матрица коэффици- ентов А,и имеет положительные характеристические числа, т.
е. что эта матрица положительно определенная, Найдем характеристики уравнения (!), Если оз(х, !) =-сопя! есть уравнение характеристической поверхности, то (см. 2 2 гл. 9) ди дм функция ь удовлетворяет уравнеюпо А,ид .д — — — О. Но раз матдк, дхи ,), и= — и рипа ~' А„~',' положительно определенная, то необходимо '), й=! дм дии .=О, й — 1, 2, ..., т, функция ы зависит только от 1, и урав- нение характеристической поверхности принимает вид ы (!) =- сопз!.
Если на некотором промежутке ы' (!) = — О, то ы есть тождествен- ная постоянная на этом промежутке и !равнение о=сопя! не определяет никакой поверхности, Если же ы' (!) ф=О, то в окре- стности любого значения 1, где ь' (!) ч~ О, можно уравнение ы (!) =сонэ! решить относительно 1, и получим ! = сопз!. (з) Таким образом, х а р а к т е р и с т и к н уравнения теплопровод- ности суть т-мерные плоскости, нормальные к оси б В последующем будем, как правило, рассматривать уравнение теплопроводпости в следу1ощнх, более часзиых предположениях, 1. Эллиптическое дифференциальное выражение (2) имеет вид дх (, гидх ~Ь (4) так что само уравнение теплопроводности принимает форму д) — д - ! Ам 'д .',=1(х, !). (5) Иногда мы будем предполагать, что ) (х, !) = — О и рассматривать однородное уравнение теплопроводности вида ди д (' ди! д! дх ', ~ дхи/ — - — ( А,и — — — О.
(6) 2, Коэффициенты А,„ не зависят от ! и непрерывно диффе- репцируемы по х„, х,, ..., хм, 3. Эллиптическое выражение (4) невырождающееся. 12" 355 й 2. ПРИНЦИП МАКСИМУМА В плоскости ?=0 (в т-мерном евклидовом пространстве В ) рассмотрим конечную область (? с границей Г. Построим цилиндрическую поверхность с'направляющей 1' и образующими, параллельными оси (; часть этой поверхности, заключенную между плоскостями т=0 и т'=Т, где Т вЂ” положительная постоянная, обозначим через Вт. Далее обозначим через 1?т проекцию области 1? на плоскость ? = Т и через Ят — область пространства (х,, х„..., х ?) с границей й 0Вт0йт, Введем следующее обозначение: если 0 — некоторое множество в пространстве переменных (х„х.„..., х, (), то См ю(0) будет означать класс функций, которые на множестве 0 имеют непрерывные производные по х,, х,, ..., х„порядка ==р и непрерывные производные по т порядка „=д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
