С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 58
Текст из файла (страница 58)
о' (18) Тождество (18) остается в силе, если заменить в нем т! любой функцией класса С" 1 (11), удовлетворяющей условию (10). 1 Действительно, пусть ь такая функция. Положим т1=ь- — х !О~ х ~ ~бх=ь-с. Тогда Ч ~х)(йь) ~ На! и по соотношениям (10) и (18) о ~~ — 'д — — )~)с(х= ~ (д зд — — (Ч,ах+с ~(ах=О.
(19) Теорема 17.7.1. Если 7ыЦ(й), то ивен Ф7'(Р'), где Я'— любая внутренняя подобласть й. Введем объемный потенциал 1 Г ! ф(~)=(~ 2) ! ~)($),~~ Ф как известно, фа= Ж','(17) и — Лф=7(х), Пусть хее(7' и положительное число й меньше, чем кратчайшее расстояние между точками границ дЯ н 8(7'. В тождестве (!9) заменим обозначение х на $, положим ь=юь(г), где г=(Š— х~ и вь — усредняющее ядро, и сделаем замену и„=ф+и„. Простые преобразования приводят тогда тождество (19) к виду Лова(х) =О. Дальнейшие рассуждения протекают, как в теореме 17.4.2, и приводят к тому же результату. И Для слабого решения задачи Неймана верны замечания 1, 2 $ 4.
5 З. ЗАДАЧА НЕЙМАНА С НЕОДНОРОДНЫМ КРАЕВЫМ УСЛОВИЕМ Рассмотрим задачу (1) ~Амд —,, соз(У, х1))г=п(х), Г=ды. (2) Будем считать, что 17 есть объединение конечного числа звездных областей и что коэффициенты Ад„подчинены условиям 9!. Допустим сначала, что задача (1) — (2) имеет решение и, ее С" 1(11). д ( дива Тождество — ~ А х †) =0 проинтегрируем по 11 иинтеграл слева дх, 1 г дха,) преобразуем по формуле Остроградского. Приняв во внимание краевое условие (2), получим необходимое условие разрешимости 11 С, Г. Мхкхв» 32! задачи ~Ь(х) ЙГ=О.
г Далее, сели решение и„(х) задачи (1) — (2) существует, то оно не единственно: наряду с и,(х) решением яв.тястся и и„(х)+с, где с — любая постоянная. Чтобы сделать решение единственным, подчиним его условию ~ иа (х) с(х = О. (4) Легко доказать, что если существует решение и„ен С!з!(1)), то из(х) ссть также решение задачи о минимуме функционала Р (и) = ~ А,х; — „-„г(х — 2 )) й(х) и (х) г(х (5) о' г на множестве функций из сеп (Я), удовлетворяющих тождеству (4). Докажем, что справедливо и обра|ное утверждение: если функция и„ен С!з! (ь2) решает указаппу!о вариационцую задачу, то зта функция решает также задачу Неймана (1) — (2).
Пусть функция и„(х) решает нашу вариационпую задачу и пусть т! (х)— произвольная функция класса Ссо (1?), удовлетворяющая тождеству (4). тогда при любом вещественном г справедливо неравенство г (ио+ !!1) ==- г' (иа). Отсюда вытекает, что „вЂ” Г (и, +!т)) ', „= = — О, или ~ Амд" - ч!(х — ~ Ь(х) т)(х) ЙГ= О. Интегрируя по частям, получаем отсюда ~ т! д ' (Аь д ')' Ах+ ~ Ч ~А;л, 0 соз (т, хз) — й~ !(Г = О. (6) Пусть ь(х) — произвольная функция класса С!" (Й). Положим а= — 1) ь(х) !(х.
Функция ь(х) — а удовлетворяет услови!о (4). ! =! "Л й Положим в (6) т!(х) =ь(х) — а: — ~ ~д — Амд-") г(х+ ~ ~~А,„д-" сов(т, х,) — Ь~г(Г+ + а 1 — ! А х — ' ' !(х — а )) ~~А, ь —" с оь (т, х ) — Ь ) ИГ = О. ,! дх! !,: 2 дха!,) ( ' дхл Ц г Третий интеграл преобразуем по формуле Остроградского. В силу равенства (3) третий и четвертый интегралы в сумме исчезают, 322 и мы приходим к тождеству ~ ~дх с(А/лдх /дх+ ~ ~[Ас" д соз(т ху) й!с(Г =О, У~ =С (о). (7) Заменим в (7) обозначение х па с и примем ,"=е)л,(г), г = =)л — х), где хан(2 и й, меньше, чем расстояние от х до Г, Гд l диН Тождество (7) преобразуется к такому: сл — ! А/л з! = О.
Уст' (дх/ ( дхл/~сч ремни й, к нулю. Усредпяемая функция непрерывна, и по теореме 2.2.1 —,˄— ) =О. Таким образом, функция и,(х) — ре/ дел дх ', с дхе шспис вариационной задачи — удовлетворяет уравнению (1). В тождестве (7) объемный интеграл исчезает, и опо сводится к следующему: ~ ~ 5) ~ А,л (е) ~,~ соз (ч, х/) — й ф) с(лГ = О. г Выберем в качестве х произвольную точку па Г, но так, чтобы в этой ~очке и в ес окрестности поверхность Г была гладкой, и примеч опять ь=есл, (г). Обозначая через Г' ту часть Г, которая заключена в шаре г(й„получаем равенство ~ гас„(г) ~А,л (э) ."-' соз (т, х/) — й 5)~ с(1Г = О.
На Г' ядро сесч(г) положительно, поэтому выражение в скобке должно лсепятл знак; будучи непрерывным, оно обращается в нуль в некоторой точке х', (х' — х!(й,, Устремляя й„к нулю и поль- зуясь опять непрерывностью выражения в скобках, найдем, что это выражение равно пуп!о в точке х, и функция !с„(х) удовлет- воряет также краеволсу условшо (2). Сказанное пьппе делает естественным такое определение: сла- бым ресиение/ис задачи Ней/исаи/с (!) — (2) называется функция и, ~ ~ Ж'„' (л1), которая реализует мшшлсум функционала (5) в классе функций из )У/,'(11), удовлетворясосцих условию (4). Докажем, что слабое решение задачи Неймана существует, ! 1 если й (х) удовлетворяет условию (3) и й ~ Е.;(Г), где — + —, =1 ч ч' и с)(, . Норму в )1сл'(Р) введем по формуле 2 (и — !) 'е Г ди ди легко доказать, что норма (8) эквивалентна норме (6.8) гл.
3. Для функций, удовлетзорюосцих условию (4), получаем дл аи ,) ' дх/ дхи 'и(ь с= л А л — — с/х, и функционал (5) я>ожно записать несколько проще: Р(и)=~',иЦ, > — 21и; (и= ~Ь(х)и(х)г(Г. г (9) Линейный функционал 1 ограничен в %7'(ь)). Действительно, по неравенству Гельдера '(и >(~',Ь!'с,, г>»'и'ь >г>, а по теореме 3.3.2 ()> ~с <г>: С((и(>т „С = сопз1.
В силу теореяты Риса существует такая функция и,~ Ж7 (»2), что (и=(и, ио),, Теперь Р(и) =- =-!>и — и,,",',,— ((ие>)1,>, и ясно, что минимум г (и) достигается на функции ие. Замечание. При доказательстве существования элемента и» мм не пользовалнсь тем, что Ь удовлетворяет условию (3). Элемент ие, реализующий минимум функционала (9), сущсствует и тогда, когда условие (3) нарушено, но в этом случае ие нельзн рассматривать как слабое рсшснне задачи Нснмана. Коротко скажем о задаче Неймана для уравнения — ~„.-(А>»д, )+Си=О, х~(2; (10) краевое условие по-прежнему пусть имеет вид (2); будем считать, что С(х) ==.
с„=сонэ() О. В этом случае ист нсобходимости подчинять функции Ь и и условиям (3) и (4). Слабое решение определяется как функция, реализующая в пространстве (Рзо(ь)) минимум функционала ~ (~А>» дх ~„+Си') с(х — 2 ~ Ьи с(Г, (11) б г или, что то же, удовлетворяющая интегральному тождеству $ (А, д — "- - -+Сит) с(х — ~ Ь>) с(Г=-О, >в>>) ~ Ж7'(И) (12) дх дх» й 9.
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ; СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Вариационный метод позволяет находить слабые решения и для более общих задач, чем рассмотренные выше. Для примера рассмотрим первую краевую задачу (с однородными краевыми условиями) для злляптического уравнения, порядок которого выше двух. Через и и () будем обозначать мультииндексы порядка и. Рассмотрим формально самосопряженное уравнение 324 Если слабое решение задачи Неймана принадлежит классу Син (яа), то оно является и обычным решением этой задачи. Доказывается это как для задачи (1) — (2), по с некоторыми упрощениями: пег необходимости вводить функцию ь. Существование и единственность слабого решения доказываются так же, как и для задачи (1) — (2). порядка 2з 5 ( — 1)о0а (Аар (х) 0Ри) ) (х); Аар = Ара. (1) о-о;а;=~о~=о Как и в случае уравнения второго порядка, принадлежность урав- нения (1) к эллиптическому типу опреде.тяется поведением его старших коэффициентов, для которых л=в.
Уравнение (1) назы- вается невырождаюи(имел эллиптическим илн равномерно эллип- поическим в области Г? с: Е, если существует такая постоянная р, О, что при любом х ~ Г? и при любых значениях веществен- ных переменных 1а выполняется неравенство Аар(а(р ~ ро ~'.~ (а ° (2) ~а~=~а,=з ' а! = о Это условие ниже предполагается выполненным, Лервой краевой задачей (с однородными краевыми условиями) для уравнения (1) называется задача интегрирования этого урав- нения в данной области Г? при краевых условиях Г=дьо, 0ти)г=О, О~',у)а--з — 1.
(3) С задачей (1), (3) естественным образом связывается оператор, который мы обозначим через 21,. За область его определения при- мем множество функций класса С'"'(Й), которые удовлетворяют условиям (3); действует этот оператор по формуле 5 У1 и 'Я '~~~ ( 1)о0а (А 0Ри) о=о а,=~а~=-о Докажем, что оператор Я,— положительно определенный в пространстве Е,(1?), если младшие члены уравнения (1) удовлетворяют неравенствам Аар?а?р ~~ О~ ь — О~ 1 3 1 (4) ~а =.в~=о Прежде всего область определения оператора й, плотна в ?а(Г?), потому что она содержит плотное множество финитных функций.
Далее, полагая и, о ен 0 (Л,), составим скалярное произведение 6 Я,и, и)= $ о ~~', '~ ( — 1)о0а(Аар0Ри), и о=о~а~=,р~-о Интегрируя по частям и замечая, что в силу краевых условий (3) поверхностные интегралы исчезнут, получим равенство (й,и, о) = ~о,~, ~ч~~ ( — 1)" 0'(А,р0Ри). (5) и о=о~а,=~рг=о Выражение справа в (5) симметрично относительно и н о, и вто показывает, что оператор 6, симметричен. Положим теперь в (5) о=и. Отбросив справа неотрицательные суммы, соответствующие значениям й = О, 1, ..., з — 1, н оценив оставшуюся сумму цо неравенству (2), придем к соотношению (21»и, и) =- р, ~ ~ (()аи)2 г[х.
(6) И а!» ')и'[[е= ~иес[х- х ~ '~', (Оаи)>с[х ." Я Я а)=! (ке ~ т~ (Вам)2 2[х ~ =- н» ~ ~ч~~ (0аи)2 с[х (7) а ~а~=и и ~а~=» Сравним соотношения (6) и (7), получим неравенство )- и[ '1> 1 [Ао (8) которое и показывает, что оператор Я,— положительно определенный. Отсюда следует, что задача (1), (3) имеет одно и только одно обобщенное решение; его можно получить как решение задачи о минимуме функционала А,»Р' Р» — 22 )» .
я[и=.о [а, —, з ~ => Запись (1) может означать и систему некоторого числа М уравнений с )у неизвестными функциями, если под и(х) и )".(х) понимать М-компонентные всктор-функции, а под А„а(х) — квадратные матрипы порядка А». Будем считать, что при перестановке мультниидексов се и р матрица А„а заменяется сопряженной: Аа,=-ЛДр. Условие (2) для систем следует записывать так: Ааа (х) Аа (а; "ре,'~~ [ Аа [ ° (а = ~ 81=.» а,=» (10) Здесь ре — положительная постоя»»ная, 1, — произвольный А2-компонентный вектор; символы (, ) и ' [ означают скалярное произведение и норму в А2-мерном евклидовом пространстве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
