С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Далее, функция о„(х) — о(х) есть слабое решение задачи А(о,— о) =О, [(о,— о)— — (ф. — ф)1 е- :Ни. Докажем, что о„(х) -„- — о (х) при любом фиксированном хан 11. Обозначим о„— о=ш, ф„— ф=ср, так что Лш=О, (ш — р) еи Ни Тогда функция х = и — ~р реализует минимум функционала (см, 3 3) Ф(г)+2Ф(г, ср), где Ф вЂ” интеграл Дирихле; указанная функция при любом т) ен Ни удовлетворяет тождеству [г, тДа = — Ф(~р, т)), Полагая здесь 71 = г, получим [ г 1(х = — Ф (г, чй ~ 1/ Ф (х) )/Ф ~~р) = = )/Ф (ф)(г (и, отсюда (г (и ()/Ф (<р), или )/Ф (ш — ср)()/Фр Ор).
Обозначая через ) ~', норму в Ь,(Я), имеем далее [ш1=[г+<р[ =. ~[я)+[Ч~[. Пусть 7* — нижняя грань оператора 3(, тогда [г[ -.. ~ — ~х)Н~ — ')/Ф(т) и [ш1( 1' Ф(ср) + ~<7 1 Функпия ш гар- 7 7 7 монична в й, поэтому, если 6 — расстояние от х до д(1 и радиус усреднения л с б(2, то (см. 3 6 гл. 11) ш(х) =их(х) = $ ш Я) аь(г) йа. Считая точку х и радиус л фиксированными, находим отсюда ! ш (х) ~ ~ с '~ ш [ ~ с ( — 1/Ф (ср) +",, ср [~; с = сопз1, или, если заменить ш и ~р их значениями, — ~~~~ (~~" — 3[ 1 с5~ + ~~ (ф,— $)'с$~ (и ь=~ Ы Из формулы (5) следует, что правая часть последнего соотношения стремится к нулю при а-~-со и потому о„(х)-эо(х). В то же время, как мы видели выше, ф„(х)-+ф(х).
Теперь и„(х) = $„(х) — о„(х) — ~ ф (х) — о (х) = ио (х). ° Обобщенная функция (3) называется функцией Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа в области 11, Функцию Грина обычно обозначают через С(х, $): б(х, $) = ',~', в„($) ы„(х); (6) л =! очевидно, функция Грина симметрична 0(х, $) =0 Я, х) и равна нулю на границе области: б (х, $) = О, х ~ дЫ, Найдем дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция Грина. Пусть 1(х) — произвольная основная функция, По определению производных от обобщеннык функций имеем (АЬ0 (х, ь), 1 (ь)) = (О (х, ь), А.Г (ь)), Правая часть этого равенства есть функция от х, лапласиан ко- торой равен — Л1'(х) и которая обращается в нуль на д(1.
Но тогда эта функция равна — 1(х)=( — 6(х — с), ~Я)). Таким об- разом, (Л$0(х, В), Р(йн = ( — б(х — и, Р а)), Ъ7 еБ 0 (и) и, следовательно, — Ь 0 (х, $) = Ь (х — $). (9) Отсюда видно, что 0(х, $) есть то иэ сингулярных решений оператора — Л, которое обращается в пуль на дь1. Положим теперь 0(, В) =,„) ~ 3Д вЂ”,, — (, э)~. (10) Функция д(х, Ц) является обобщенным решением однородного уравнения Лапласа: Льд(х, $) =О; при этом Ы(х, $)= — „,, хенд11. ! (12) Функция д(х, $), очевидно, симметрична, поэтому также Л„д(х, $) =О, (13) а краевое условие (12) выполняется и при $ен д(1. В 3 8 гл.
11 было указано, что обобщенное решение однородного уравнения Лапласа в некоторой области есть функция, гармоническая в данной области. Отсюда следует, что д(х, С) можно определить как функцию, которая при фиксированном $ ~ й гармонична в 11 относительно х, а при фиксированном х еп 11 гармонична в й относительно $, и удовлетворяет краевому условию (12). Если дГ) — ляпуновская поверхность, то функцию д(х, Ц можно построить (см. гл. 15) как потенциал двойного слоя, плотность которого удовлетворяет соответствующему интегральному уравнению. Если 11 имеет кусочно гладкую границу, то д (х, й) можно найти как слабое решение задачи (12) — (13).
Такое решение существует: в качестве функции ф ~ ЯЯ'(й) (см. $ 3) можно (г~ взять произведение г'-"т~ — ~, где е †достаточ малое положительное число, а П ~ С<">(О, со) н О, 0=(=-1, Ч(1) = 1, (~2. 315 Как показывает равенство (12), д(х, с) ) О, хек дГз, По принципу максимума д(х, Ц) )О всюду в Р, Вырежем теперь из области й шар г=!х — $!(е достаточно малого радиуса е. В оставшейся области функция Грина 6(х, Ц гармонична, причем на части границы г=е, очевидно, 6(х, $))0, а на другой части границы — на д(1, 6 (х, $) = О. По принципу максимума 6(х, К) ~0, Отсюда следует теперь, что О~у(х, $)(гз- и, наконец, 0-.=6(, $)( (14) Для шара функция Грина фактически уже нами построена, Именно, рассмотрим функцию ()т/) х !)"-'/г' (обозначения см. 3 3 гл.
12). Эта функция гармонична в 11 относительно точки $ и, как показано в 3 3 гл. !2, совпадает с гР-", если $ я Бл. Отсюда ясно, что для шара радиуса /( д(х, $) = (ф (15) и, следовательно, 6(х, $) = 1Г! /!Гт — з! (16) (т-з))3, !~ г~ ~ ( к), г'~ ~ Нетрудно проверить непосредственно в данном случае симмет- ричность функции Грина, Достаточно проверить, что д(х, Ц = = д(К, х), а зто в свою очередь сводится к установлению тожде- ства ~х!з,'$ — х'1'=~5!'',х — $'!з, где $' — точка, симметричная с точкой $ относительно сферы 5л, Последнее тождество легко сводится к такому: ')х!''(й, х')= $Р $', х). (17) Но х'=х1х' ~/1 х), $'=$!$' '451, и обе части тождества (17) равны одной и той же величине /г'(х, $). Пусть граница Г=дй области 12 такова, что при фиксиро- ванном хек Й функция д(х, $) ен Р (Й), и пусть гармоническая в Р функция и ен См! (12). По формуле (6.10) гл.
9 получаем, что Г 1 дя ди'! 0 = т 'и-- — й' — !(ьГ, дт дч/ Вычтем зто из формулы (3.5) гл. 11, дающей интегральное пред- ставление гармонической функции, тогда и (х) = и (с) (д„' 31 г(ьГ. (18) Формула (18) решает задачу Дирихле для однородного урав- нения Лапласа при неоднородном краевом условии; справедли- вость втой формулы можно установить в условиях, более общих, нежели указанные выше, 31б й т. злдлчл нвнмАнл с одногодным кедевым условием Как и в 3 1, рассмотрим формально самосопряженное эллиптическое уравнение — д. (АМ (х) д.-)+ С(х) и =1(х), (1) решение которого ищется в конечной области йс:Е с кусочно гладкой границей Г. Будем предполагать, что А,» ~ Ссо (Я), С~С(Я), и что уравнение (1) в Й не вырождается, так что для любых вещественных чисел („г„..., („ справедливо неравенство А~»(х)1~1»гьр» ~', 1» (2) »ьл где р, — положительная постоянная, Для уравнения (1) поставим однородное краевое условие за- дачи Неймана А»»д — соя (т, х,)~ =0; ди дх» ' ' г (3) здесь т — внешняя нормаль к Г.
Оператор, порождаемый задачей Неймана, обозначим через %. За область его определения 0(%) примем множество функций из Сио (»1), удовлетворяющих усло- вию (3); на этом множестве оператор % действует по формуле ,.= дх ~А,»дх)+Си Будем рассматривать % как оператор в 1,»(о) и докажем, что он симметричен. Его область определения плотна в Е,(11), по- тому что она, очевидно, содержит плотное в Е»(Р) множество фипитных функций. Составим скалярное произведение д/ ди~ ~н, ) — ~ -- А„— ~*~-( с« ~д, Р(й). дх; 1 дх»,! Первый интеграл возьмем по частям: -(Ми, о) =- — оАГ» д — соз (т, хт) г(Г + ди дх» ди до -«~ А~,— — в*4-1 с ю.
дх» дхг В силу краевого условия (3) первый интеграл справа исчезает, а два оставшихся очевидным образом симметричны. Тем самым симметричность оператора % доказана, Попутно получается фор- мула (4) 317 (Ищ ~=~(А~ — —.~.С дя ди дхт дх» Положим в этой формуле о= и: и, ) — $ [А, — — --~- и ди ди»1 дху дх» Очевидно, что дху дх» ~ Лю ~,дх»~ »=! (5) и легко получается следующее достаточное условие положительной определенности оператора Я: С (х) ~ С, = сопз1 ) 0; (6) в этом случае (Яи, и) ~С» ~ и'йх=С»)и)», а это и есть неравенство положительной определенности со значением постоянной у=~/С».
Естественно„в случае таких С(х) применима ранее развитая теория, и задача Неймана имеет одно и только одно слабое решение. Пусть теперь С(х) =О, так что д 1' ди~ Яи= — — (А»- — ) дх дх» (9) (Яи, и)= А,» — — йх; ди ди (8) дх, дх» краевое условие (1.3) остается без изменения. В рассматриваемом случае оператор Я не только не положи- тельно определенный, но даже не положительный, Чтобы убе- диться в этом, достаточно рассмотреть функцию и,(х) =1. Оиа имеет все производные и удовлетворяет краевому условию (3), следовательно, и, ~Р(Я); очевидно также, что (,и,)~О. В тоже время (Яи„и„) =О, что было бы невозможно, если бы Я был положительным оператором.
Задача Неймана Яи =). или, в более подробной записи, д / ди ', ди дх (Ау» (х) дх ) ((х), А»» (х) дх соз (т, хг) ~ =0 (9») неразрешима, если функция 1(х) не подчинена некоторому спе- циальному условию, которое мы сейчас выясним. Допустим, что задача (9) имеет решение и АР(Я). Обе части дифференциального уравнекия (9,) проинтегрируем по 11. Взяв интеграл слева по частям и воспользовавшись краевым условием (9,), получим искомое условие ~1(х) г(х=(Г', 1) =О.
(10) Таким образом, целесообразно рассматривать уравнение (3) не при произвольных ~я(.,(11), а лишь при таких ), которые принадлежат подпространству, ортогональному к единице, Это подпространство будем обозначать через Е, (11). Полученное только что условие (10) допускает и такую формулировку: при С(х) —= жО оператор Я преобразует любую функцию из 0(Я) в функцию из Е, (П). С другой стороны, если задача (9) имеет решение, то оно не единственное: если функция и,(х) решает задачу (9), то ее же решает и функция и,(х)+с, где с — произвольная постоянная. Других решений не существует. Действительно, если и, (х) и и, (х) — два решения задачи (9), то разность о (х) = и, (х)— — кх(х) удовлетворяет однородному уравнению Яо=О, По формуле (5), в которой следует положить С(х)=0, имеем ~А,„х х — — Их= О.
Матрица коэффициентов А,„ положительно опредэ да дх~ дхх да деленная, поэтому необходимо -- =О, й=1, 2, ..., т и о(х) = дхх иисопз1, что и требовалось доказать. Решение задачи Неймана можно сделать единственным, если потребовать, чтобы оно принадлежало введенному выше подпространству Е, (Й), — тогда постоянная с определяется единственным образом. Последнее требование можно сформулировать так: мы сужаем оператор Я, заменяя его область определения Р(Я) более узкой областью 0(91)1)Е,(ь)). Этот суженный оператор будем обозначать через Я,, Его область определения )х(Я,).= = Р (Я) П Ех (1з), а область значений по-прежнему принадлежит Е,(И), Таким образом, как область определення, так и область значений оператора Я, принадлежат подпространству Е,(11).
Но тогда ьх(11) можно рассматривать как пространство, в котором действует оператор Я,, Будем предполагать далее, что область 12 есть объединение конечного числа областей, каждая из которых — звездная относительно некоторого шара. В этом предположении докажем, что в пространстве Е,(й) оператор Я, — положительно определенный, Действительно, для этого оператора очевидным образом остается верной формула (5), которая в данном случае принимает внд (1 1) По неравенству (2) Напишем неравенства Пуанкаре (5 6 гл. 3) Для функций класса г.,(й) первый интеграл справа исчезает, и неравенство Пуанкаре принимает вид т ~~ г=~ и~с~ ~('"Ги. ~ дххг х=! Подставив это в соотношение (12), получаем неравенство (%.и, ) ==у'(! !', у'= с'-, (1З) которое показывает, что оператор Я, положительно определенный в Е,(11).
Отсюда следует, что задача Неймана (9,) имеет в Е,(Я) одно и только одно слабое решение, если выполнено условие (1О). Это решение, как всегда, есть элемент соответствующего энергетического пространства Нм . Повторяя рассуждения 9 2, нетрудно доказать, что Нзг вкладывается в 1Р'и'(()) и что энергетические произведение и норма в гггг определяются формулами ди ди Г ди ди [и, о]зг = '1 А и- — — дх, ~ и ~5~ = ~ А х — — — - г(х. а ~ сидхГ дха ' ° о ~ г дх, дхх 1 ь.-~и. с-)(А,.~ — -2и)~,, ди ди (14) заданного на Наг .
Легко доказать также, что слабое решение а задачи Неймана есть обобщенное решение дифференциального уравнения (9,). Дальнейшее исследование проведем для уравнения Лапласа — Ли =7 (х). (16) Краевое условие принимзет более простую форму ф~ =О, (16) По-прежнему сохраняются требования ) 7 (х) г(х = $ и (х) г(х = О. Как и в общем случае, сущссгвует слабое решение и,(х) задачи (15) — (16); оно реализует минимум функционала Р(,)- ( (~ (~'-')* — 2и~ и; ° Ои. и ~и=1 (17) зго Слабое решение задачи Неймана реализует минимум функ- ционала Е сли 1)(х) — произвольная функция из Нн, то Е(и,+(п) Е(и,) и д-Е(и,+1т1) ~,,=0. Это дает тождество ( —" — '! -)т) ) бх = О, 78 ее НЙ . 1дхх дхх 1 ' .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
