С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Нетрудно показать, что система (15) полна в Е»(Ш), мы не станем останавливаться на этом. На плоскости (при т=2) функции (15) принимают внд С„,г,(„(1»лр) сов п9, С„', г,(„(1»,гр) згп пв; п= О, !, 2, ...; 1=1, 2, 3...,. (16) й 4. ОЦЕНКА РОСТА СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ Уравнение Лапласа в я»мерном кубе. В тмерном кубе Я, определяемом неравенствами 0(х»~а, й=!, 2,, лг, собственные числа задачи Дирихле для уравнения Лапласа равны (формула 3.4)) л» ч' 9 (1) ззз Числа (1) расположим в порядке возрастания (точнее, неубывания) и будем их обозначать через Л„, так что Л,(Л,== ..
Наша задача заключается в том, чтобы дать оценку порядка роста величины Л„при и-~ оо. Несколько удобнее будет оценивать не числа Л„, а числа ж Л ~ Л ~~ ~ п (2) г=1 Рассмотрим т-мерное евклидово пространство и в нем шар Шп радиуса )у с центром в начале координат; число у возьмем доста- точно больпшм и притом таким, чтобы п,аг значение одного из чисел Л„'= №, Та- ких чисел Л„' может оказаться пескольпл гг, ко. Обозначим соответственно через т, и тз наименьшее и наибольшее значения и, для которых Л;,=№. Величина Гсг) (гг) !дг) (ег л ' показывает, сколько чисел вида (2) гзг) гг гдг) !дг лг лсжпт в замкнутом шарс Шл.
Из той же формулы (2) видно, что т, равно (хи ггп !лр !еп ггп ~кп количеству точек, имсюших положительные целочпслснпыс координаты и заключенных в шаре Шл. Указанное Рис. 22 количество равно объему кубической сетки Т с единичным ребром, которую можно вписать в первый октапт шара !!!и (на рис. 22 изображен случай двух измерений), Объем сетки Т меиыпе объема самого октанта." ~~'№ 2 2сат Построим теперь шар Шл, радиуса У вЂ” т — 1 с центром вначале Нетрудно убедиться, что первый октант этого шара содержится в сетке Т . Для этого достаточно доказать, что для любой граничной вершины (п„п„..., и„,) сетки Т '~~ п~!.
) (М пп 1)з Ф=1 Граничная вершина характеризуется тем, что для иее одновременно Т~~ п! № ,5, (пь+1)з= У', п1+2 ~ пг+п1~№. 334 Из второго неравенства (8) вытекает, что т П! У', пг ь № — 2 ~', пь — пт) № — 2тМ-т=(М вЂ” и)' — т' — т; ь=! ь =-.! это больше, чем (У вЂ” и — 1)', если У достаточно велико. Теперь Я т') — '' ' (й1 — ш — 1)' (6) (8) 335 неравенства (3) и (б) показывают, что при М, достаточно большом, верна оценка = — М'"+ о (Л~'") = ' + о (Ф"'). Я ( птйфт (7) 2~т 1 (т1 ~2) Оценим величину т,.
Очевидно, т, =т, — о, где через и обозна- чено число точек с положительными целочисленными коордипатамн, т лежащих на сфере ~х~ п~,=№, ограничивающей шар Шн. Прой--1 ведем через указанные точки прямые, параллельные ш-й оси. На этих прямых первые п — 1 координат — пелые положительные; в пересечении с плоскостью п = 0 названные прямые дают сетку точек, позволщощую построить кубическ) ю сетку Т „анало- гичную сетке Т, по размерности па еднйицу меньшей. Отсюда ясно, что число а не болыпе об ьема ((гп — 1)-мерцого) сетки Т, и, следовательно, справедлива формула Ч~т 11'2дт 1 о ' ' +о(Д/т — 1) 2т' з(т — П Г ) Из соотношений (7) и (8) и равенства т,=т,— а вытекает, что (9) Напомним, что ыы обозначили через п любой номер„для кото- рого Л„'=№, и что т, =и="т,.
Из равенств (7) н (9) вытекает, пт( и,ут что п= „, + о(М'"). Отсюда 2т 'тГ ( — ) Л„=стп' +о(п' ), (10) где с — постоянная, которую нетрудно вычислить, Общий случай, Рассмотрим оператор 21 задачи Дирихле (~ 1 гл, 17); коэффициенты А,„и С пусть удовлетворяют усло- виям (1.3) и (1Л) гл. 17, так что справедливо нсравеиство (1,11) гл. (17), Для дальнейшего важно, что справедливо неравенство обратного вида, Коэффициенты А „(х) непрерывны и, следовательно, ограни- чены в замкнутой области Й. Отсюда следует, что наибольшее собственное число матрицы коэффициентов А„(х) также ограничено. Пусть М,— его верхняя граница, тогда т А,„(х) г!!л =М, '~', !лэ ° з=! Коэффициент С(х) также непрерывен и ограничен в ьй. Пусть С(х)-.—.-М,. Теперь, если и ее1т(Е!), то Применив ко второму интегралу неравенство Фридрихса, получим окончательно: (Р(и, и) (и, ~ ~~) (---! с(х; Н,=Ме+хМ„.
(12) и е=! Построим два куба ф! и Я„первый из которых содержит область 1э, а другой содержится в этой области. Обозначим соответственно через Р(! и Р!з операторы задачи Дирихле для уравнения .'!апласа в кубах Я! и !',!з. Обозначим еше через л, Х'„", А„э' собственныс числа опеРатоРов Р(, Р(„Р!!з, Расположенные в порядке неубывапия. Эти операторы связаны неравенствами р!;.'1, -=, 21 = )!ту(э (докажите!). Здесь р, — постоянная неравенства (!.11) гл. !7.
В силу минимаксимального принципа ра)'л ~ ) л ~ рт)чл . (13) НО ЧИСЛа А'„' И Л„е УДОВЛЕтВОРЯЮт СООтПОП!ЕНИЯМ ВИДа (!0) Н 'для чисел ),„— собстве!Рных чисел оператора Р( — получается двусторонняя оценка стпз~'" а-. Х,„с-" селе""; с„с, =- сопз1. (14) Замечание. Справедливо более точное утверждение: существует предел!!гп —, и этот предел равен величине л эт/2 ' 'л с!х р Ое! А (к) ' где А (х) — матрице коэффициентов Ауа(х), а с зависит талька от размерности щ пространства (см.
!46! и 1361, т. !Ч) $ 5. СПЕКТР ЗАДАЧИ НЕЙМАНА ДЛЯ КОНЕЧНОЙ ОБЛАСТИ Для простоты ограничимся случаем ~ ис(х=0. Потребуем, чтобы область ьв была объединением конечного числа звездных областей. Как было указано в гл. !7, энергетическое пространство Нн вкладывается в подпространство ЧУв ' (ь!), определяемое условием (2), причем нормы в На и в указанном подпространствс эквивалентны. Но по тсореме 3.3.3 пространство )Егв'(ьв) вполне непрерывно вкладывается в т'в( в), а тогда и Н,( вполне непрерывно вкладывается в !.в(О) (более определенйо, в подпространство Е,„(12), ортогональное к единице. В силу теоремы 5.6.1 оператор Мв имеет дискретный спсктр: существует последовательность О р, = рв ~..., р„„— — со, собственных чисел и соответствующая система собственных функций ют(х), и>т(х), ..., Ортонормированная в !.в(ьв), ортогональная в Ни и полная в (.в(ь!) и в Н>, .
Замечании. 1. Гели отбросить условие (2) и рассматривать оператор д! ди1 Г ди п> и = — — А и . — 1; ~ Ага - — сов (т, х ) 1 = О, дхг 1 ! дхв71 ~ дхл ' > )г то спектр оператора 'Я отлнчастсп от спектра оператора Гле добавленном одного собственного числа >м=-О н ссютнетствующей собственной функции юв (х) жсопв1. Отсюда легко вытекает, что оператор д I ди ) Г ди 9>ти= — - — ~ Л,а — +и; [Агл сов(т, х!)1 =О дхт( ' дхв! ' [ дхв ' ' )г (3) имеет дискретный спектр.
Собственные числа оператора (3) суть 1, рт+1, ив+1,, а соответствующие собственные функции суть юв=сопв>, ю, (х), юв(х),, где р„р,, ... и ю,, юю .„суть собственные числа и собственные функции оператора 1>1, 2. Нетрудно доказать положнтельну>о определенность и дискретность спектра оператора д ! ди> Г ди 9>и.= — ..; Л а — — Г +Си; 1ГА ь . сов(ч, х;)1 =О, (4) дх!', > йсв>' '[' дхв ' '1г где С(х)--О н на множестве полон<игольной меры С(х) ~О.
й 6. О НЕСАМОСОПРЯ>КЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ Рассмотрим уравнение (А+).К) и=!, Г ее Н, (!) где )с — численный параметр, А — оператор, поло>кительно определенный в сепарабельном гильбертовом пространстве Н, причем спектр этого оператора дискретеп; К вЂ” оператор, ограниченно действующий из Н„, в Н, где Нл —,энергетическое пространство оператора А. Предварительно рассмотрим самосопряженное уравнение Ац=Г (2) Обобщенное решение и, этого уравнения определяется (см.
гл. 4) как элемент пространства Н„, удовлетворяющий тождеству [ив, т))л=(! и), зут) ее Нл. (3) 337 Такой элемент существует и определяется единственным образом, каков бы нп был элемент ) е— : Н. Таким образом, соопюшеннс (5) сопоставляет каждому элементу Я си Н один и только один элемент и„~ Нд. Иначе говоря, соотношение (3) опрсдсляст оператор, который мы обозна шм через 6, тзк что 6)=и„действующий из Н в Нд и у;!овлствори!ощи!! тождеству [6), !11д=(), Ч); !ЯЧ в= Нд, '!г)е:— Н. (4) Как было выяснено в ф 5 гл.
4, оператору 6 можно дать явное выражение: если (ы„) — система, полная и ортоиормированпая в Нд, то 6!'=- ~". (!' вы)а' (5) а=! Уравнение (1) запшпем в виде Аи =Я' — г,Ки. Если решение этого уравнения существует, то оно )довлетворяет соотношению и = 6) — Я,6К). (6) Положим 6) =. Г, 6К = Т; пз сказанного вьппе следует, что Р ен Пд и что оператор Т действует в Нд. Таким образом, решение уравнения (1), сслн опо существует, удовлетворяет также уравнению и+Я,Ти=Р. (7) Введем определение; обобщенным решением уравнения (1) назовем элемент (если он существует) пространства Нд, удовлетворяющий уравнению (7) Лемма 18.6.1. Оперпгпор 6 вполне непрерывен в Н. Пусть Яп~ ==: Я,::...::-.Я.„-.: —....
суть собственные числа опсратора А, и и„ и.„..., и„, ... — соответсзвующис собствсппыс элементы, ортоноРмиРовапцые в Н, тогда (см, теоРемУ 5.4.2) (и!и ид)д = О, )вь/г, ~и„~!=-Яэн система (и,Д~Я,„) ортопормирована в Нд и, по теоре1!е 5.6.1, полна в том же пространстве. В формуле (5) положим ы„=и„()'Я.. Это дает следующее представление оператора 6: (6) и=! Введем обозначения 6=6п+6л 6п(= ' иы 6'„)=- У (~' ")иы (9) е=! й=д+! Первый оператор конечпомерный и, следовательно, вполне непрерывный. Оценим норму второго оператора. Имеем 16;Д= ',~ ' „""'.== — я.',У Д, и„)з. е и.;-! 4 в!,! д=-л+ ! 338 В силу неравенства Бесселя ,'6;,7!' ».
—.),')~'. Отсюда ~»»+ ~ (6„";:- —;,—, О и, следовательно,,' б — 6„' ~„„— —,О. »»»! Теперь оператор б вполне непрерывен в Н как предел (в смысле сходпмостп по норме) вполне непрерывных операторов. Теорема !8.6.1. Оператор Т=ОК вполне непрерывен в Нд, Оператор 6 вполне непрерывен в Н, поэтому если М вЂ” множество, ограниченное в Н, то из этого множества можно выделить такую последовательность (и„), что последовательность (бс») сходится и, следовательно, !бо„— бил!! — „„—.О. Рассмотрим теперь произвольное множество Ж с: Нд, ограниченное в энергетической метрике, !и(..- а=-сонэ!, чиен М. Оператор К ограниченно действует иэ Нд в Н, поэтому в норме Н множество КМ ограничено, Пусть 'Ки'~с, чи ~ М. Из ограниченного в Н множества КН можно выбрать таку!о исследо вательность (Кп„), что (, 6Ко„— 6К хе!, != ( Ти„— Тол (,— О (!О) Соотношение (10) означает, что Т вполне непрерывен как оператор из Нд в Н.
Остается показать, что Т вполне непрерывен как опсратор иэ Нд в Нд. Для этого достаточно показать, что (Т㻠— Тпь(л„—,„о, (11) Оцепим квадрат последней нормы. Используя формулу (6.6), получим ( То — Тп» (д =(Т (о — од) Т (о — ов)(д =(6К (и — ив), Т(с» — пь)!л =(Кп» вЂ” Кхв, То» вЂ” 7 гд) ~ = ' Кп„— Кпв ! Ти„— То»'!(( 2с( То» вЂ” Тпд( — „„— О. ° Из теоремы !8.6.1 следует, что для уравнения (7) справедливы теоремы Фрсдгольма: !) уравнение (7) и деет одно и только одно решение при всех значениях л, зз исключением некоторого их множества, которое пе более чем счетно и может сгущаться только на бесконечности; 2) подпространства решений однородных уравнений и + "лТи = = О и и +).Т»п = О копечномерны и размерности их одинаковы; 3) уравнение (?) разрешимо тогда и только тогда, когда (Р, п(л = О, (12) где о — любое решение уравнения о+!.Т»а=О, В п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
