С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Теорема 20.2.1. Пусть функция и (х, () принадлежит пересечению С Ят) () С" и Ят () (? т) (1) и удовлетворяет в ь?т однородному уравнению теплопроводности (1.6), Тогда как наибольшее, так и наименьшее свое значение в замкнутой области 1?т функция и (х, ?) принимает на 1? () Вт, Достаточно провести доказательство для случая максимума: если функция и (х, ?), указанная в условии теоремы, в некоторой точке достигает минимума, то в той же точке достигает максимума функция — и (х, г), также удовлетворяющая условиям теоремы. Обозначим М = гпах и (х, (), р = гпах и (х, ?), Очем ото-т со омацвт видно, р~М.
Утверждение теоремы состоит в том, что р=М, Допустим противное: пусть )ь(М. Тогда функпия и (х, (), непрерывная в С?т, достигает максимума в некоторой точке (х„(ь), которая лежит либо в ьгт, либо на Г?т. 'и(хь. Уд=М, (хь. ?ь) ев е-:ЮМт Построим вспомогательную функцию о(х ~) и(х 1)+ 22 (~ь ")' (2) Если (х, () ен 1? 0 Вт, то (ь — 1 =.(в~Т и, следовательно, М вЂ” и М+и о (х, т) ~м, ом ацвт~ р+ 2 — 2 (М. С другой стороны, о (х„гь) = и (х,, (,) = М. Итак, вне 1? 0Вт есть точка, в которой функция о принимает значение М, тогда как па 1?()Вт значения о строго меньше, нежели М. Отсюда следует, что о(х, () достигает в От максимума в точке, принадлежащей либо Г?т, либо 9т.
Обозначим через (х,, Г,) точку, в которой функция о(х, ?) достигает максимума. Допустим сперва, что (х„(,) ыЯт. При 356 любом выборе ортогональных осей Ох„Ох„..., Ох в точке (х„))) выполняются необходимые условия максимума (3) Обозначим для краткости через )'. дифференциальное выражение в левой части уравнения теплопроводпости (1,6), Вычислим величину ~о в точке (х,, 1)): Выберем такое направление координатных осей Ох», чтобы )1, я=и( в точке х, матрица ) Аг» ~,' оказалась диагональной; это возможно в силу ее симметричности. Но эта матрица еще и положительно определенная, поэтому в выбранной системе координат А„.
(х,) ~ О, А;» (х,) = О, / чь й, и Ы = — т Аи;-т )О. — )»--; (»~, ь) )=) (»~, ь) С другой стороны, + 27 Е( ) 7 и из полученного противоречия следует, что (х„Г,) () Пусть теперь (х„()) я()г. Это значит, что )(=Т, х,ей. Тогда 1, есть граничная точка интервала (О, Т), а х, — внутренняя точка области Я; необходимые условия максимума в точке да до ды (х„()) имеют внд й-)0, ~— — — О, ~ —,(О, я=1, 2, ..., т; теперь » ди 1 ъ' дъ1 ьп = л) — ~ ~ Ал а-,т ~О. (к,, ),) (»„ь) /=) (х,, ь) С другой стороны, как и выше, ('.о С 0; новое противоречие показывает, что (х„(() й (2г. Итак, точка (х„1,), которая должна принадлежать объединению ЦгЦ Йг, не принадлежит ни (',)г, ни 5»г.
Из этого противоречия следует, что допущение )»(М неверно и, следовательно, р=М. ° Теорема 20.2.1 называется принципам максимума для уравнения теплопроводиости. Из хода доказательства ясно, что для случая максимума оио останется в силе, если уравнение ).и=-О заменить неравенством Аи:О. Справедливо поэтому следующее усиление принципа максимума. 357 Теорема 20.2.2. Пусть функция и(х, () принадлехсит пересечению (1). Если Еи ( О всюду в ~г, пто функция и (х, Т) достигает максимума на 1!() Вг, Если же Еи~О всюду в 9г, то на О() Вг достигается минимум функции и (х, Т). 4 3.
3АдАчА кОши и смешАннАя зАдАчА (4) й 4. ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ Теорема 20.4.1. Смешанная задача для уравнения теплопро- водности ди д ! диТ -- — — ~АМ- — ~ =)(х, !) дТ дхт 1 дхь) 358 В 3 2 гл, 9 было показано, что для уравнения теплопровод- ности можно задавать только одно из данных Коши, поэтому задача Коши для уравнения теплопроводности (1.5) ставится так: определить решение этого уравнения при снобом х ен Е и любом Т ) О, если задано значение этого решения при Т =- О и ~ь „=- ~Р (х), х ее Е„,. (1) Важную роль играют так называемые смешанные задачи, кото- рые формулируются следующим образом, Пусть 1! — область евклидова пространства Е, à — ее граница и  — цилиндрическая поверхность с направляющей Г и образующими, параллельными оси 1; точнее, за В принимается та часть этой поверхности, на которой !) О, Смешанная задача для уравнения (1.5) ставится так: требуется найти решение этого уравнения, определенное в полубесконечпой области !! х (О, со) пространства переменных х„х,, ..., х, Т с границей !1 () В.
При ! =О это решение должно удовлетворять условию Коши ив ь=тр(х), хее(1, (2) а на цилиндрической поверхности  †то или иному краевому условию. Различные типы краевых условий приводят к различным смешанным задачам. Наиболее интересны следующие три типа краевых условий: 1) условие первой краевой задачи и 'в — -ф(х, !); 2) условие второй краевой задачи ~ А„- — сов (и, х~) ~ = у (х, !), 3) условие третьей краевой задачи ~А,ь - — "- соз (и, х,) + о (х, Т) и $ = ьз (х, !).
(5) Ниже мы будем рассматривать только одну из смешанных задач, а именно первую (краевое условие (3)). при начальном и краевом условиях и)~ о=гр(х), хан оо, и!в=ф(х, () (2) имеет в классе С(Я х (О, со))ПС!о п((г х (О, оо)) (3) не более одного решения, Пусть существуют два решения задачи (!) — (2).
Разность решений ш (х, г) удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности (1.6) и принадлежит классу (3). В силу принципа максимума как наибольшее, так и паименыцее свое значение функция ш(х, г) принимает либо в 1), либо на цилиндре В. Но функция ш удовлетворяет еще н однородным условиям — начальному и краевому: ш!о=о=О, хе= ог; ш!в=О. Отсюда следует, что как наибольшее, так и наименьшее значения ш(х, г) равны нулю. В таком случае ю(х, !) = — О, и оба решения задачи (!) — (2) совпадают. ° Единственность решения задачи Коши мы исследуем для простейшего случая, когда Ам = б„, так что эллиптическое выражение, входящее в уравнение теплопроводности, превращается в оператор Лапласа, Теорема 20.4.2.
Уравнение Еи = ~ — да=1(х, В имеет в классе С(Е х (О, оо)) ПС~- 'п(Е х (О, со)) (5) не более одного ограниченного решения, удовлетворяюи(его условию Коши и!,=о — -<р(х) с заданной функцией гр (х). Если таких решений два, то их разность ш (х, () решает однородную задачу Коши (ли= д — ДЖ=О (6) ш ~,=-о= 0 (7) и принадлежит классу (5).
Она ограничена как разность двух ограниченных функций; пусть ! ш (х, 1), :-=.М. В плоскости г'=0 (в евклидовом пространстве Е ) рассмотрим шар Шя радиуса В и с центром в начале координат; ограничивающую сферу обозначим через Зн. Построим цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси 1, и с направляя>щей Яя, часть этой поверхности„на которой 1)0, обозначим через В.
Область пространства (х„х„..., х, г) с границей Шн() В обозначим через Я„ 559 Рассмотрим вспомогательную функцию вя(х. О= р, ( — '+ Т), ! ~а=,~ л. (8) л .=! Легко видеть, что функция са удовлетворяет однородному урав- нению теплопроводпости. Далее, он, а = Мх'Я" = 0; в силу равенства (7) о„у=а=-',ю!', а и, наконец, ия!в=ья'„* и ~М=- ~ ! Ф 'и.
Последние два соотношения означают, что Пн !Фн цв.- , 'Ф !шнвв, и ясно, что каждая из величин он+ и и оя — ае на Шя () В неотрицательна. Кроме того, каждая из этих величин удовлетво- ряет уравнению (б), Но тогда по принципу максимума в замкну- той области Яг, в которой х ее ла, 0 ( ! ( Т, Т = сопз(, как сумма он+ ав, так и разность оя — ав достигает минимума на Ш„() () В, причем эти минимумы неотрицательпы, Отсюда следует, что пи+в~О, оя — ге~О, при (х,а~)т', Т-'~0. Таким образом, при !х)а=-)са, ГгьО выполняется неравенство — пл(авдея или, что то же, ( 0)~- ва ~е +') Произвольно зафиксируем х и ! и устремим В-васо. Из послед- него неравенства следует тогда, что ! Ф (х, !) ~ О, т. е.
что гв(х, г) =О. ° й 5. АбстРАктные Функции ВещестВеннОЙ пеееменнОЙ Будел» говорить, что на множестве Е числовой оси определена пбстрактнад функция и (!) со значениями в пространстве Х, если любому числу ! ~ Е по некоторому закону приведен в соответствие один и только один элемент и(!) ~ Х, Ниже будем предполагать, что пространство Х банахово. В банаховом пространстве существуют два типа сходимости: сильная, или сходимость по норме, и слабая. В соответствии с этим для абстрактных функций вещественной переменной можно установить понятия сильной и слабой непрерывности, сильной и слабой производной и т.
п. Имея в виду дальнейшие приложения, ограничимся рассмотрением сильной непрерывности и сильной производной; слово лсильная» дальше будем опускать. Абстрактная функция и (!) непрерывна в точке ! = Та, если !(тп !', и (Т) — и ((а) (!х = 0; а ( она непрерывна на некотором множестве значений Т, если она непрерывна в каждой точке этого множества, Абстрактная функция и(т) имеет в точке ! производную и'(т), если !! «(т+ л) —" О) ° (() 1 () ла 0 " 'ах Зла Как обычно, функция, имеющая в некоторой точке производную, называется дифференцируемой в этой точке. Очевидно, что функ- ция, днфференцируемая в точке, непрерывна в ней, Естественным образом определяются и высшие производные абстрактной функ- ции, Важную роль в дальнейшем будет играть следующая формула дифференцирования скалярного произведения: если и (1) и о(1)— абстрактные функции со значениями в гильбертовом простран- стве и если эти функции днфференцируемы в точке 1, то (и (1), о(1)) =(и'(1), о(1))+(и (1), о' (1)).
(1) Действительно, дг (ц(1) о(1)) =)пп-1 Ип (1+й), о(1+й)) — (м(1), о(1))1 (1+й))+' () ""'"' "(О'1 Г,, переходя к пределу под знаком скалярного произведения, полу- чим формулу (1). Естественным образом вводится и понятие интеграла от абст- рактной функции. Ниже мы будем пользоваться следующими обозначениями. Рассмотрим абстрактные функции, значения которых принадле- жат некоторому классу объектов к, и пусть эти функции непре- рывны на множестве Е значений переменной Е Множество этих функций будем обозначать через С(Е; К). Если на Е указанные функции й раз непрерывно дифференцируемы, то это множество функций будем обозначать через С'ы (Е; к) й 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
