С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 68
Текст из файла (страница 68)
В данном случае оператор 21 действует по формуле Р(и = — — „, Их! и определен на функциях класса С<о! (О, 1), которые обращаются в нуль при х=О и х=1. Формулы (9.3) и (9.4а) гл. 5 дают собственные числа и собственные функции оператора т( Х„= а'л', и„(х) = р'2 ейп ллх. По формуле (1.8) находим и (х, 1) = Я Ь„е-""'и з!'п ллх, л 1 где для краткости обозначено Ь„ = 2 ~ !р (х) з(п ллх !(х. (6) о Докажем вначале, что при О~х =1„1)0, ряд (5) сходится равномерно.
Для этого возьмем интеграл (5) по частям; учитывая условия (4), получим Ь„= — ', где р„= — ~ ф'(х) созплхс(х о есть л-й коэффициент Фурье функции — ф'(х) при ее разло- жении по ортонормированной системе ()/2созллх~. Ряд ззз Коэффициенты Фурье Ь„, очевидно, рируется рядом С У, 'и"е-и*и*!, С = сопз(, 2з ) и=! Далее, лм пгие-л'лд лм'"и (2и+ 2)! ограничены, и ряд (7) мажо- р+ 2д, з = сопз1. (2и+ 2)! ( ! )м+и (ий) ' ли и можно построить более сильный мажорантный ряд С, %~ ! и=! С,=сопя(, который, очевидно, сходится, ° Как видно из хода доказательства, сушсствовапие бесконечного числа производных при 1) 0 можно установить, предполагая лишь, что !р ееЕ(0, 1); дополнительные дону!цения о функции гр(х) понадобились только для доказательства непрерывности решения при Т=О.
й 6. СЛУЧАЙ НЕСАМОСОПРЯЖЕННОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЧАСТИ Пусть уравнение теплопроводности имеет вид ди д ( ди ! ди — — — 'Лги(х) д )+В (х)д +С(х)и=)(х, !). (1) В области 9= 1)х(О со) поставим для уравнения (1) смешанную задачу при краевом условии и ~а = О, В = д(й) х (О, оо)) (2) и начальном условии и;! о=Ч'(х) зв! сходится, а тогда в силу неравенства ~Ь„~( — (Ц+ —,; ~ сходится л' / и ряд Я ! Ь„~ Последний ряд — мажорантный для ряда (5), л=! который поэтому сходится абсолютно и равномерно; члены ряда (5) непрерывны, и его сумма также непрерывна при 0 ( х ~ 1, !.=: О, Докажем теперь, что функция и (х, () — сумма ряда (5) — имеет при Г)0 производные всех порядков по х и по Г. Для этого достаточно доказать, что после дифференцирования ряда (5) по х и ! любое число раз получается ряд, сходящийся равномерно при 0 ~ х - 1, 1)Т, где г' — произвольная положительная постоянная.
Продифференцировав ряд (5) р раз по х и д раз по г, получим ряд ( — 1)и ~', пи!'еп!чмд„е-и* "з!п(ппх+р — "1. 2)' (7) и=! Будем считать, что Ать~С"'[Й), а В„и С ограничены и измеримы в 11. Пусть еще 7 еи Сои ([О, оэ); ~.т (1?)). Как и выше, обозначим через тт! оператор д ! ди т(и= — — [А» — ), и !до=О дхт [ т дхх)' и положим Ки = В» — + Си, и 'до = О. ди дхи Рассматривая и (х, 7) и ! (х, () как абстрактныефункции от т, можно задаче (1) — (3) придать аид —," + Я и+ Ки = [ ((), и (О) = ~р. (4) Умножив это скалярно на произвольную абстрактную функцию т)(() со значениями в Нн, получим тождество (дт, т!)+[и т!Ь+(Ки т!) =Ч т!). (5) Функцию и ((), удовлетворяющую тождеству (5) и начальному условию (3), будем называть слабым решением задачи (1) — (3).
По-прежнему будем считать, что слабое решение есть абстрактная функция от Н принадлежащая классу (и) 3 1. Как и в 3 6 гл. 18, обозначим через 6 оператор, сопоставляющий функции 7~1,(!1) слабое решение и, задачи 6и=('. Используя формулу (6.4) гл. !8, приведем тождество (5) к виду Я т)) + [и тДн+ [Уи т(1и = Д т!) (6) где )т=ОК. (Это произведение обозначено здесь буквой )х вместо буквы Т, которая в настоящем параграфе играет другую роль, Напомним (см. 3 6 гл.
18), что т' — оператор, вполне непрерывный в Ни). Если слабое решение задачи существует, то при любом фиксированном т оно есть элемент каждого из пространств 6,((2) и Ни. Сохраняя обозначения Х„и и„для собственных чисел и собственных функций оператора х(, имеем разложение и (~) = ,У, 'си (() их, с, (~) = (и ((), ии), х = ! сходящееся как в метрике 1.,(Р), так и в метрике Н,. Подставив зто разложение в тождество (6) и положив в нем т(=и„, получим бесконечную систему для коэффициентов ряда (7) с„'(О+"„с„И)+ Х ["'мы п„[ест(!)=)„(2)' )„(О=ЧВ пи) х=! За2 Используя начальное условие, находим отсюда Ос Е„(()+ с)Е «И "~ (Ь'и, и (21 Е, [т)1(т= о 2=1 = (ср, и„) е ~ и+ с)е хсс11 11„(т) 1(т~ о п=1,2,3,...
(8) Введем в рассмотрение банахово пространство Я, элементы которого суть последовательности г = (г„(1)) числовых функций, для которых сс 1 1!2 Зпр ~ ~ 2'(с)) <,СО; 2<1< т (9) за норму элемента ген Л примем левую часть неравенства (9). Легко убедиться, что последовательность правых частей бесконечной системы (8) есть элемент пространства %; докажем, что последовательность искомых (с„(()), если она существует, принадлежит тому же пространству.
Действительно, слабое решение и с С((0, со); (.2(11)) и потому величина (и(1) 'х~,1п1 есть непрерывная функция от ( на сегменте (О, Т~. В таком случае она ограничена: со 102 знр ~,'и(())ы1а1 = знр ~ ~ч е"„-(()1 - оо О<1<тс О<1<т („ и утверждение доказано, Последовательность правых частей системы (8) обозначим через д= (д„(()), а последовательность (с„(()) — через с, В пространстве Я введем два оператора Один из них, порождаемый матрнней ('г'и„, и„1сх, обозначим через У, другой, который обозначим через Р, определяется формулой (Рт)„= ~е л1' '1 г„(т) 1(т. о Оба эти оператора ограничены в %: для Р это очевидно, а ограниченность К легко вытекает из того факта, что оператор Г вполне непрерывен и, следовательно, ограничен в Нн.
Очевидно также, что операторы Р и (г' коммутируют: Р1Р= ЖР. Систему (8) можно записать в виде с= РФе+д. (1О) 383 Докажем, что уравнение (1О) имеет в =® одно и только одно решение. Доказательство основано на следующей лемме, по существу вытекающей из вольтерровского характера оператора Р Лемма 22.6.1. Ряд Я (Ри) (1 !) 5=2 схадиасея аа норме арастрансасва Я. Операторы Р и (р' коммутируют, поэтому (Р(1т)5 = Рс ррс и 1(Р)р)сг1,.=='1Р5) !'(сс15 (!г). Найдем выражение Р', Имеем с (Рог)„= $ е ' " о! (Рг„) (а) да = о =1.-'и-" 1.-""-"* с !с.)5 = о о с (с = $ г„(т) ~(~е л~ '! до~дт=$ (Š— т) е оа 'сг„(т) дт, о о о по индукции легко найдем (Р'г)„= ~ (( — т)5-'е х5а 'г, (т) дт. о Лля дальнейшего окажется достаточной следующая грубая оценка.
11о определению нормы в 9 имеем !~ Р'г ~' = эар ~ ', ((Рсг)„(()12, окс<т„ нз формулы (12) получаем у т д о (14) 5=2 зав отсюда СО т Х T25 С С"25 ((Рсг)„(()12~ (, т р г„'(т)дт = ( ),,~~г12. о=! О 5=! Взяв точную верхнюю границу левой части, находим оценку нормы оператора Р'! (5 — !)! (13) Отсюда вытекает, что ряд (11) мажорируется по норме сходя%1 751ге(5 щимся числовым рядом 5=1 Нетрудно проверить, что ряд Х (Р ('с) я й 7. МЕТОЙ ФУРЬЕ ЙЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ Слабое решение и (х, () =и(() смешанной задачи для волнового уравнения (см.
В 2 гл. 21) есть абстрактная функция от С принадлежащая классу К (формула (2.9) гл. 21) и удовлетворяющая тождеству — ~ ( — ""„,'", "— — "„(т)~Й(+ ~(и(), ЧМ((-(йы Ч(ОН= т = ~ Ч Р), Ч Р)) й, т) ее Кт, (1) о и начальному условию и (0) =тсо. (2) Здесь тр„ее НВ, тр, ее ?.о (11). Примем, что ) (() =7'(х, () — абстрактная функция класса С(!О, со); (.о(11)).
Условие (2) понимается в смысле предельного перехода в энергетической метрике: 1! Гп ( и (() — ~ро ( = О. о-о Допустим, что решение и (() задачи (1) — (2) существует. Разложим его в метрике 7., (11) в ряд по системе собственных элементов оператора Е( и (() = ~ Сл (!) ил, сл(() =(и (1), ил), (3) л=! = ~~, рл3.„с„® — "", дает ) х-„ л=-1 Ои по полной ортонормн- Этот же ряд, записанный в виде и(() разложение решения и (() в метрике лл рованиой системе =. у~,„' 365 дает решение уравнения (10).
Это решение единственное: если спо и сон — два решении уравнения (10), то разность с=сии — сон удовлетворяет уравнению с= Р о(7с. Отсюда с = (Р%")ос = ... = = (РЖ')'с, где з — любое натуральное число. Теперь !1с))=((Р!р)'с(!()(Р",! ( )Е71" (с((( 1 )! ~)с(1 —,0 и, значит, с=О, или с'о'=с'". Итак, решив уравнение (10), находим единственную последовательность коэффициентов с, и формула (7) показывает, что слабое решение задачи (1) — (3) единственно. С другой стороны, рассуждая, как в В 2, убеждаемся, что функция, определяемая рядом (?), в котором коэффициенты с,(() найдены из уравнения (10), является слабым решением задачи (!) — (3).
Нетрудно также доказать, что эта задача корректна в парах пространств, построенных в В 3. ® = $ (Т вЂ” () !„(() йг, (4) о где 1.Р) =(ПО, и.). (5) Уравнение (4) продиффереицируем по Т и заменим обозначения Т и ! соответственно на ! и т: с„'(() — (~„и„)+Х„~с„(т, дт=)1„(т) дт. (6) о о Уравнение (6) показывает, что существует вторая производная с„(г), Дифференцируя, видим, что с„(г) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядкз с постоянными коэффициентами Д (О + хФ (!) =)„в (7) начальные условия для этого уравнения получаем из соотношсний (2), (6) и (6) со (0) =('ро ил)~ сп (0) = (~Рь и~). (6) Решение задачи имеет вид с„(!) =((ро и„) созе )о,(+ ~'."" э(п)/3„~+ ~'л„ 1 + = ~ зйп)т ~,„(1 — т) ~„(т) г(т.
(9) )тк. о Отсюда и(х, !) =,~, (~ро л=! и.) созе') „(+ чь "." ейп 3l~.„(+ )тЪ„ + = ~ э!и 'р' ~.„ (1 — т) )„ (т) дт и„ (х). (10) хл а о Таким образом, если слабое решение смешанной задачи для волнового уравнения существует, то оно необходимо имеет вид (10). Как и для уравнения теплопроводностн, отсюда вытекает единственность слабого решения, Формула (10) несколько громоздка, поэтому ее обоснование проведем следующим образом. эаь В тождестве (1) положим т1 (0 = (Т вЂ” !) и„. Вспомнив, что 1и ((), и„| = Х„(и (!), и„) = Х„с„(!), получим уравнение для неизвестного коэффициента с„(() т т ~ с„' (() Й вЂ” Т (~р„и„) + ).„~ (Т вЂ” () с„(() Й = о о Пусть функции о(х, 1) и цс(х, г) суть слабые решения следующих задач: однородного волнового уравнения с неоднородными начальными условиями с!ссс сСсс [ -, +г(о=О, о[,,= р., „-,! = р, и неоднородного волнового уравнения с однородными начальными условиями "— ',-+г( =)((), ш„,=О, '— '[ =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
