Главная » Просмотр файлов » С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977

С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 72

Файл №1120421 С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977) 72 страницаС.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421) страница 722019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 72)

ДиффеУй '~ дт дг ренцируя формулу (7.9) гл. 1О и приняв во внимание уравнение 1 — т=г, определяющее конус К, убедимся, что выражение (2) равно нулю. Из сказанно о следует, что интеграл по К, в фор- муле (1) исчезает. 408 На цилиндрической поверхности Ео выполняется равенство г=з, и фУпкциЯ уо имеет оценкУ, вытекаюЩУю из фоРмУлы н — т~ (! — т)"' ' (7.9) гл. 10: до ~:~ =. „, . При этом на поверхности посох(т, т)=0 и о(Г=итт(5о=о"'о(тд5,, Отсюда следует, что Гди ди о,) ~дт ' дуо 1! гп т у, ! — соз (т, т) — — — соз (о, у„)1 т(Я, = О. йе Рассмотрим теперь интеграл ~ и (у, т) ~ -д- соз (т, т) — д — соз (т, у~) ~ ~(~~ = ! дно дуо ~ и(у, т) -~-'сох(т, уо) Юот(т= дуо о з, ~-е ~ и (у~ т) д- то т ) Н5о (т~ (3) о з что на поверхности Ео НаХОДИМ, ЧтО На 4',о последнее равенство вытекает из того, направления т и г противоположны.

Дифференцируя формулу (7.9) гл. 1О, иь — 3 д (г — 1 ! — ~(! — тР (! т)т-2 ои-1 + ''' ) многоточием обозначены слагаемые, содержащие в знаменателе з в степени, меньшей, чем и — 1. Полагая теперь у = х+ е0, !0! = 1, находим, что интеграл (3) равен о — е ~ (! — т)" 'и (х+е0, т) Н5, т(т+0(е). о з, Отсюда сразу следует выражение предела этого интеграла прн е-~0 ! ! 5, ! ~ (( — т)"-о и (х, т) бт.

(4) о Столь же прост предельный переход при в-о.О в формуле (1) слева: достаточно О, заменить на О. Собирая результаты, при- 409 Наконец, на части границы Ш~~Ш„где т = О, имеем соз (9, т) = 1, сов(т, у„) =0; предел соответствующего интеграла при во-0 равен ходим к следующей формуле: [ 51 ) 1 (! — т) -т и (х, т) с(т о -~ ас —,)и ° (а )Фс ~. + '! ~ д ~ = Чю ) д сос'1 )') сс(у, 0) )с(у. (6) йсс Продиффереицировав формулу (6) лт — 1 раз по (, получим основ- ную для дальнейшего формулу и(х, 1) = 1 дсс ' 1' СС вЂ” т1 1 д~т т с Г ~11 ->г-тгт ~' [,ь, тд.,—,)— с — ') -( — '.",'1,—..1"' (7) Остановимся на следующем частном случае.

Пусть функция и (х, 1) финитная; как и в случае уравнения теплопроводности, можно считать, что вирр и лежит в полупространстве 1) О. Тогда в формуле (7) интеграл по Ш, исчезает, а интегрирование по,0 можно заменить интегрированием по всему пространству Е „„ потому что при тс 0 будет и (У, т) =О, а при т)с вне конуса М вЂ” т1 К обращается в нуль функция с),! —; теперь и .,1 1 Г д -,сС вЂ” т1 и и (у, т) др„..~ с)о ' с ) с(у с(т. (8) Р$+1 й з. сну[Ай начьтного числА кооРдинАт. оьоьщьннАя ФоРмулА ИИРХГОФА Рассмотрим задачу Коши для волнового уравнения (!.7) при начальных условиях (!.2).

Лопустим, что решение этой задачи существует и принадлежит классу С"1 (Е„Х[0, оо)). Тогда фор- ао Формула (8) показывает, что функция о (х — у, 1 — т), определен- ная выражениями (7,11) и (7.9) гл. 1О, действительно является сингулярным решением волнового уравнения.

мула (2.7) сразу дает зто решение~ Ь +и"-й-т'~( [~ г~)~ ( ) а~~ ( ' ]~ (1) Ш, Для простоты ограничимся случаем однородного волнового урав- нения, так что речь пойдет о задаче (1.1) — (1,2); отметим сразу же, что рассмотрение неоднородного уравнения пе привносит никаких сколько-нибудь существенных трудностей, Формула (1) принимает более простой вид: и(х, () = =...', ° Ы1~"() (-,')-'(у) -Ж~,=.1' ( ) Ш, Займемся упрощением формулы (1а).

Рассмотрим случай нечет- ного т. Пусть т=2з+3, тогда д,(Л) есть полином от Л степени я — 2. Будем считать, что з~О, так что т~3. Случай т=1 совершенно элементарен, но требует особого рассмотрения. Обо- значим (*, ~ ь — зг~-~1~~о)а(-,')ч~ (2) ! выражение (2) отличается от первого интеграла (1а) заменой обозначения ф, на ф; примем, что фенСМ+м(Е )=СЪ1' ) (Е ).

Положим у=х+гз, )0~=1, и введем сферические координаты с центром в х. Тогда выражение (2) примет вид т,(,,О- -„',—, ~~ (((~~,+.9)„( — „'1ы).-а.(ч 1 Каждое дифференцирование по 1 создает два слагаемых: интеграл от производной по 1 и значение подыптегральной функции при г= г. Но формула (7.9) гл. 1О показывает, что функция д,(Л) имеет Л -1 корнем кратности з+ 1, поэтому при г =.1 будет до(1) =у<о> (1) =...=д','(1) =О, и при первых з+1 дифференцированиях исчезнут упомянутые выше вторые слагаемые. Иначе говоря, в формуле (3) можно первые з+1 дифференцирований выполнить под знаком интеграла, Заметим еще, что д'+' ! 1 '1 1 ~У+1 ды 1 У0~ г) гХНдЛхй%~( )» или, по формуле (7.9) гл, 10, Как было выяснено выше, интеграл ~ с)ос — ) ср(у) с(у можно прог(т 1с, '"с дифференцировать по 1 под знаколс интеграла: дрссо ~ ) сР (у) с(у = ду ') ссо ~ ~ ) Чс (у) с(у ш, шс и выражение (9) окончательно преобразуется к следующему.' д Г /11 д ( о)1, 5 дскб ) сР (У) Чо я с(у дс Тт (х г) (10) Ш, Функция (10), очевидно, принадлежит классу С141(Е,„х(0, со)), если ср еи Сс'"" (Е,„) = С'~ о.с ' (Е,„).

с 1 Рг 1+ 2 ) Теперь решение задачи Коши (если оно существует) опреде- ляется формулой и(х, () = —,То, (х, ()+То, (х, 1), (11) где Т, (х, с), в свою очередь, определяется формулой (6)'или (7), При этом функция и (х, с) имеет непрерывные вторые производ- ные, если С(~ И+') (Е.), Р, - =Сцо)+') (Е„). (12) Из формулы (7) вытекает, что в случае нечетного пс область зависимости есть сфеРа Ес: ~ У вЂ” х1=1.

Совокупность формул (11) и (7) (или (8)) называется обобщен- ной формулой Кирхгофа; сам Кирхгоф рассматривал только трех- мерный случай, для которого получил формулы (11) и (8). й 4. 3Адний ФРОнт ВОлны Обобщенная формула Кирхгофа позволяет обнаружить интересную особенность явления распространения волн в пространстве нечетного заднего числа измерений — возникновение так называемого заднего фронта волны, о котором было упомянуто в й 5 гл.

21, Указанную особенность нетрудно выявить, исходя из того, что в данном случае область зависимости есть не шар, а сфера. Ясно, что в формуле Кирхгофа и(х, () =О, если сро(г) =— О, ср, (г) = — 0 при г ен 5с, Допустим теперь, что начальные функции отличны от нуля только в некоторой области 0 пространства Е (рис. 31), Пусть точка х находится, например, вне области В.

Обозначим через 6 и 6, соответственно наименьшее и наибольшее расстояния ог точки х до точек границы области О. В моменты времени, близкие к началысому, именно пока 1 ( 6, сфера Ес ие пересекается с областью О, на этой сфере начальные функции равны нулю и и (х, с) =О, Если 6 <1(6„ 413 то сфера 3, пересекает область Р (сфера Яь на рис. 31); на той же части сферы Яь которая лежит внутри Р, начальные функции отличны от тождественного нуля и, вообще говоря, и(х, 1) ФО. Оба эти случая были выявлены в Ч 5 гл.

2! для волнового уравнения в пространстве любого числа измерений. Пусть теперь 1- 6,. Сфера 3~ не пересекается с областью Р (сфера Зп на рис. 31) и опять и(х, 1) О; точка х находилась в состоянии возмущения в течение промежутка времени 6 1 < ( 6, и затем вернулась в состояние покоя. 8с Если рассмотреть колеблющую- Ю ся среду в момент времени, не слишком близкий к начальному, то в этой среде найдутся точки трех типов: одни точки находят- Ю ся в покое, потому что возмущение до них еще не дошло, другие — в состоянии возмущения, третьи опять находятся в покое — через эти точки возмущение уже прошло, Передний фронт волны (см.

Е 5 гл. 21) определяет область, до которой возмущение Ряс. 31 еще не дошло, от области, на- ходящейся в состоянии возмущения. Поверхность, отделяющая область возмущения от области, через которую возмущение уже прошло, называется задним фронпюм волны. Через точку х задний фронт волны пройдет в момент времени ( = 6,. Если волновое уравнение имеет вид дси — „— а'Ли=О, а сопз1, то все сказанное в настоящем параграфе остается в сила, надо только заменить ( на аг. Е 5. ОБОСНОВАНИЕ ФОРМУЛЫ КИРХГОФА Докажем, что если начальные функции удовлетворяют условиям (3.12), то формула (3.11) дает решение задачи Коши (1.1)— (1,2).

Мы уже видели, что при выполнении условий (3.12) функция (3.11) имеет непрерывные вторые производные. Докажем, что эта функция удовлетворяет волновому уравнению (1.1) и начальным условиям (1,2). Если выполнить все дифференцирования в формуле (3.6), то получится сумма членов, каждый из которых содержит 1в положительной степени.

Отсюда следует, что Т, (х, О) = О. (1) 414 Найдем величину — То (х, 1) ~г о. Если продифференцировать д формулу (3.6) и затем положить (=О, то получится Б (2) а о Вычислим коэффициент при ~р(х), для чего поставим такую задачу Коши: -~~ — Льо=О; ю(х, 0)=1, гд,(х, 0)=0. решение (единственное) этой задачи существует-оно равно тождественно единице, и для него верна формула (3.11).

В данном случае Т,,(х, 1) = О и, по формуле (3.6), То. (х~ 1) = 2(2и)еы ~~ д(» 1 Ра (1) а=о Далее, по формуле (3.11), 5 (Яь~ ~ двм ь„о в 2 (2а)е+ь ~ы дй~~ е=о Выполнив здесь дифференцирование и положив 1=0, находим значение интересующей нас суммыт) 2(2л)аеь Х ( + ) а (3) а=о и окончательно д( То(х, 1) 1, е — — Ф(х). д (4) Докажем теперь, что функция Т„(х, () удовлетворяет волновому уравнению (1.1). Достаточно доказать, что этому уравнению удовлетворяет функция (см. формулу (3.3)) а) Тождество (3) равносильно числовому тождеству а-о 415 схоказательство проведем сначала для случая з~! или си~5, В этом случае, как мы видели в 5 3, до(1) = с!,',(1) = О, н двукратное дифференцирование по ( можно выполнить под знаком интеграла: ш, далее, с ) ш, Последний интеграл возьмем по частям.

Поверхностный интеграл при этом исчезнет, потому что при «=р, с)о!--)=с)о(1)=О и получается дгг, г д (1! — '= — ! р(у) — у.,— 1(у. дхо,! дуо '~ с,) (6) сн, дсГС, Г д, Г) Точно так же найдем — „= ~ ср(у) —,с)о,— с(у. Теперь дх- ".! д~~ о1,г/ сх дс С'С! Ч до ни,= ( !,, с,,-) — ~,— „*, с, —,))~<сСсс и так как функция уо(!сг) при гФО удовлетворяет волновому уравнению, то ()(с'„=О. Обратимся к случаю лс=З. В этом случае с)о(1.)=).— 1, и формула (5) принимает внд с У„ (х, Р) = $ ( — — ! 1 ср (у) с(у = ~ г' ~ — — 1) ~ ср (х+ гд) с(Я , ш, о з, Отсюда дорс',„ д,, 1(р(х+!9),Я,.

(7) При т=З по-прежнему с)о(!)=О, и формула (6) остается в силе. Преобразуя ее к переменным г, 9 и дифференцируя по хо, получаем далее дсы, г г д 1 дср(х+ г01 —.,~ = — Р 1 гх ссг ! — — 0Б, = дххс 1 )ду, г дх д ! дср Р до 1 — 1, — — — ~у= ~ 1р у) —.— у+ .! ду„ г дух ,1 дрс г с ш, +! ~ соьо(г, ус) Чс(х+(9) с(5с.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
10,48 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6552
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее