С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Предмет курса 5 2. Некоторые определения и обозначения ,, ..., ....., .. 9 Г л а в а 1, Интегралы, зависящие от параметра ......,....... 13 4 1. Раввомсрно сходящиеся интегралы ............,... 13 6 2 Сферичесние координаты . 15 й 3 Интегральные операторы со слабой особевностью , ..., ... !9 4 4. Интегральные операторы со слабой особенностью (продотжение) 26 Глава 2.
Средние функции и обобщенные производные......, .. 29 6 1. Усрсдняющее ядро 29 4 2. Средние функции 30 6 3. Понятие обобщенной производной ................. 33 4 4. Простейшие свойства обобщенной производной ....., .... 37 4 5. Предельные свойства обобщенных производных ......... 39 6 6. Случай одной независимой переменной ..., ......, ... 40 й 7. Об одном свойстве функций, имеющих обобщенную первую производную 41 4 8. Проиаводные от интегралов со слабой особенностью....... 43 Глава 3.
Пространства функций с обобщенными производными .... 44 з 1. Определение пространства йг!а', Р 44 4 2. Соболевское интегральное тождество ...,,,...,..., . 46 6 3. Теоремы вложения ...........,...,.... 49 6 4 Распространение на более общие области.......,,.... 52 4 5. Энвивалентныс нормы в соболевских пространствах....., . 53 4 6. Неравенства Фридрихса и Пуанкаре ........,......
55 Глава 4. Положителыю определсвные операторы ......,...., 59 4 1, Квадратичные фуницноналы 59 4 2. Положительно определенные операторы.......,,..... 60 4 3. Энсргстнческое пространство . 64 4 4. функционал энергии и задача о его минимуме,...,..., 70 4 б. Обобщенное решение 72 4 6. О сепарабельностн энергетического пространства ..., .... 7о 4 7.
Расширение положительно определенного оператора ...... 77 4 8. Простейшая краевая задача для обыкновенного линейного дифференциального оператора 80 4 9. Более общая задача о минимуме квадратичного функционала 86 й 10. Случай только положительного оператора.....,,..... 88 Г л а в а 5. Собственный спектр положительно определенного оператора 89 4 !. Понятие о собственном спектре оператора ....., ...... 89 4 2. Собственные числа и собственные элементы симметричного оператора 90 4 3.
Обобщенный собственный спектр положительно определенного опсратора . .. ., ....... ...., ......, 91 4 4, Варнацнонная формулировка задачи о собственном спектре 93 427 Сшр. 6 5. Теорема о нзименыпсм собственном числе ...,,,...,,, 96 6. Теорема о дискрстностн спектра ..........., ...,,, 98 7. Разложение по собственному спектру положительно определенного оператора 101 $ 8. Задача Штурма — Лнувилля !01 9 9. Элементарные случаи 105 $10. Минимаксимальный принцип 109 6 11.
О росте собственных чисел зада ш Штурма — Лиувнлля ..., 112 Гл а на 6. Уравнения в банаховых пространствах и одномерные сингулярные уравнения,, 114 $ 1. Некоторые понятия 114 $ 2, Теоремы Нстера ., 115 4 3. Теоремы об устойчивогти индекса ......, ...,, ..... 117 4 4. Символ 120 $ 5, Сингулярный интеграл Коши .. 122 4 6. Оператор Коши в пространстве Ц(Г)......,...,..., 126 6 7. Символ н регуляризация сингулярного оператора ..., ..., 13! $ 8.
Вычисление индекса сингулярного оператора ..., ..., ... 132 Г д а в а 7. Элементы тсории многомерных сингулярных интегралов, . Г35 9 1. Преобразование фурье. 135 6 2. Определение и условия существования сингулярного интеграла !40 6 3. Теорема Жиро 142 4 4, Преобразование Фурье сингулярного ядра....,...,... 146 4 5. Сингулярные интегралы в !е 150 4 6. О дифференцировании интсгралов со слабой особенностью ...
154 Глава 8. Уравнсвия и красные задачи ...,,....,...,... 157 й 1, Дифференциальное выражение и дифференциальное уравнение 157 9 2, Классификация уравнений второго цорядна .....,..... 159 8 3. Краевые условия и краевые задачи...,...,,...,... 163 $ 4. Задача Коши 166 $ 5. Проблемы существования, единственности и корректности для краевой задачи 169 Глава 9. Характеристики. Канонический внд Формулы Грина..., 174 4 1„Преобразование независимых псремснных....,,...,...
174 $2. Характеристики. Соотношение между данными Коши на характеристике П5 3 3, Прнведсние уравнений второго порядкз к каноническому виду 178 $4. Формально сопряженные дифференциальные выражения ..., 179 6 5. Дифференциальные выражения высших порядков......,, 180 6 6. Формулы Грияа 180 Глава 10. Обобщенные решения дифференциальных уравнений.... 185 9 1 Локально сучмнруемые обобщснпыс рсшепия......,..., 185 4 2. Распределения и обобщенные функции ...,,...,,..., 187 4 3. Обобщенные функции конечного порядка......,..., ..
180 4 4. Решения из класса обобщенных функций Сингулярные рсшс. ния...,..........,, .... !90 9 5. Сингулярное решение уравнения Лапласа ......, ..... 190 6. Сингулярное решение уравнения теплопроводности ...., .. 194 7. Сингулярное решение волнового уравнения ....., ..., ., 106 Глава 11. Уравнение Лапласа н гармонические функции...,..., 199 4 ! Основные понятия 199 $ 2. Замена переменных в операторе Лапласа .............
200 9 3, интегральное представление функций класса С'з' н гармонических функций 205 428 64, 63. Глава 6 1. з 2. 4 3. $4. 4 5. 6 6. 8 7. Глава 6 1. й 2. 6 3. 6 4. 4 5. й 6. 6 7. Глава 4!. 6 2. 8 3. 4 4. 65 4 6. 4 7. Глава 4!. 82 $3 $4 45 56 й 7 Сер 207 209 2!2 214 2Г6 220 220 221 225 230 231 232 233 235 235 238 239 их функ- 241 242 246 248 25! 251 253 258 259 26! 264 266 27! уравнс- 271 273 274 276 278 280 284 Понятие о потенциалах Свойства объемного потенциала Теоремы о среднем, Принцип максимума .
Подпространства гармонических функций ......,,, 12. Задачи Дирихле и Неймана ......., ..., .. Постановка задач Теоремы единственности для уравнения Лапласа Решение задачи Дирихле для шара .......,, ... Теорема Лиувилля Задача Дирихле для внешности сферы Производные гармонической функции на бесконечности, Устранимые особенности гармонических функций 13. Сферическис функции Понятие о сферических функциях ....., ....... Дифференциальное уравнение сферических функций ... Вспомогатсльные построения и утвсрждения Оператор Ь и сго степсни. Ортогопальность сферическ ций Разложение сингулярного решения в ряд полиномов Интегральное уравнение сферических функций .
Полнота системы сферических функции 14, Теория потенциала .. Поверхности Ляпунова . Телесный угол Прямое значение потенциала двойного слоя Интеграл Гаусса Прсдельныс значения потенциала двойного слоя ..., . Непрерывность потенциала простого слоя ......... Нормальная производная потенциала простого слоя 15. Интегральные уравнения теории потенциала ...,, Сведение задач Дирихле и Неймана к интегральным пням , .
Задачи Дирихле и Нсймана для полупространства Исследование первой пары сопряженных уравнений ... Исследование второй пары сопряженных уравнений ... Решение внешней задачи Дирихле Случай двух независимых переменных Уравнения теории потенциала для круга ...,, .... Глава 4 1. 65, Глава 6 1. $5. 6 6. й 7. 287 287 288 290 291 295 297 297 302 306 аса... 307 309 312 3!7 429 16. Задача о косой производной Постановка задачи Случай двух переменных.
Индекс задачи ...,, ... О непрерывности решений .. Более простой случай задачи о косой производной Случай многих переменных 17. Вариационный метод. Слабые решения Задача Дирихле с однородным краевым условием ... Энергетическое пространство задачи Дирихлс ..., .. Задача Дирихле для однородного уравнения ...... Вторые производные слабого решения уравнения Лапл Об условии продолжимости . Функция Грина Задача Неймана с однородньш краевым условием ... Сглр. 4 8. Задача Неймана с неоднородным краевым условием,...,, . 32! 4 9.
Вллиптичсскис уравнения высших порядков; системы уравнений 324 6 1О. Задача Дирихле для бесконечной области............ 327 Глава 18. Спсктр задач Днрихле и Неймана.......,,...,, . 329 8 1. Об одной теореме вложения 329 4 2. Спектр задачи Днрихле для конечной области, ..., ...,, 330 6 3.
Элементарные случаи . 331 4. Оценка роста собственных чисел . .. ......,, ... 333 5. Спектр задачи Неймана для конечной области ........., 336 6. О весамосопряженных уравнениях ............, .... 337 7. Задачи Дирихле и Неймана для несамосопряженного эллиптического уравнения 340 Г л а в а 19. Снльныс решения 342 1 1, Решение уравнении Лапласа для параллечспипеда ..., ... 342 2. Умножение слабого решения на гладкую функцию ....,,, 345 3. Сильные решения в произвольной области .......,, ... 346 4 4. Неоднородные краевыс условия , , 35! 4 5. Случай достаточно гладкой границы , ............., 352 Глава 20.
Уравнение теплопроводпостн ..., ...., ..., ..., . 35 1 й !. Уравнение теплопроводности и его характеристики ..., ... 354 2. Принцип максимума 356 3. Задача Коши н смсшапаая задача . . . ., ..., ..., 358 6 4. Теоремы единственности . . ...., ..... 358 6 5. Абстрактныс функции вещественной переменной ......,, . 360 6 6.
Слабое решение смсшаниой задачи ........, ....., .. 361 Г л а в а 2!. Волновое уравнение 363 4 1. Понятие о волновом уравнении 863 6 2. Смешанная задача и ее слабое решение .............. 364 8 3, Волновое уравнение с постоянными коэффициентами. Задача Коши. Хзрактсристичсский конус..............., 366 4 4. Тсорема единственности для задачи Коши. Область зависимости 367 4 5. Явление распространения волн . ...., ..., ..., ... 369 Г л а в а 22. Метод Фурье ..
371 5 1. Метод Фурье для уравнения теплопроводности....,,..., 371 4 2. Обоснование метода Фурье ......... ., ........ 372 6 3. О корректности смешанной задачи для уравнения теплопроводности 376 6 4. О стабилизации решения 377 4 5. О существовании классического решения ....., ....., . 379 4 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
