Главная » Просмотр файлов » С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977

С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 73

Файл №1120421 С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977) 73 страницаС.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421) страница 732019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 73)

эс 416 Просуммируем это по й. Замечая, что Л вЂ” =О, и используя 1 Г формулу (7), найдем, что (З()„=0. Таким образом, при любом нечетном л1~3, функция и(х, (), определяемая формулой (3.11) (обобщенной формулой Кирхгофа), удовлетворяет волновому уравнению (1.1). Докажем, что оиа удовлетворяет и начальным условиям (1.2). Полагая в (3.11) ( = 0 и пользуясь соотношениями (1) н (4), убедимся, что и(х, 0) =гр,(х). Теперь продифференцируем формулу (3.11) по ( и положим (=О.

По соотношению (4) д' Щ (х, 0) = -ду †, 7цр, (х, 8)(1 0 + Ч11(х). Функция Т, (х, () удовлетворяет волновому уравнению; используя еще равенство (1), найдем, что дз д тч (х ) 1А 0 Ьт (х О) О н, следовательно, и,(х, 0) =гр1 (х). 5 6. СЛУЧАЙ ЧЕТНОГО ЧИСЛА КООРДИНАТ Можно доказать, что и при четном и формула (3,!а) дает решение задачи Коши (1.1) — (1.2); можно также упростить упомянутую формулу и придать ей несколько более наглядное выражение.

Все это, однако, проще получить из обобщенной формулы Кирхгофа (3.11), На время допустим, что т=2з+3, а функции гр,(х) и 1р1(х) удовлетворяют требованиям (3.12). Тогда, как это было доказано выше, функция (3.11) удовлетворяет начальным условиям (1.2) и волновому уравнению м+з д'и 'ч1 Уи — — Р— =О. дГ Х~1 дк~ (1) х-1 Пусть теперь начальные функции ф,(х) и ф„(х) не зависят от координаты хммь Докажем, что тогда и(х, Т) тоже не зависит от Х„1м Этим будет доказано, что названная функция решает задачу Коши для четного числа измерений 2з+2.

Ниже будем считать Гп четным, т = 2з+ 2. Достаточно доказать следующее, несколько более простое утверждение: если <р(х) не зависит от х.„„, то и Тч(х, () не зависит от х„+,. В силу формулы (3.7) для этого достаточно в свою очередь доказать, что от координаты х„э, не зависит интеграл у(х, г)= 1 р(у)г(„Зь (2) 51 Представим интеграл (2) в виде суммы интегралов по двум полусферам, на которые сферу 3, разбивает плоскость, проходящая 4П через точку х перпендикулярно к осн х„хг. Каждая полусфера проектируется на указанную плоскость в виде (2з+ 2)-мерного шара радиуса 1 с центром в точке (х„х,, ..., х„,,).

Будем теперь обозначать через х и у точки пространства Е =Ег,.г и по-прежнему будем писать г=1х — у',, Мы вправе сохранить обозначение ~р(у), поскольку эта функция не зависит от у„гг. Упомянутый выше (2з+ 2)-мерный шар определяется теперь неравенством г г Е Функция гу (у) не зависит от у„хг, поэтому интегралы по полусферам равны между собой, и каждый из них можно (заменить интегралом по шару г ~1, если учесть, что г(УЕ, = ,, где т — внешняя нормаль к сфере Еь Таким ду 1огг (т Угггг)~ образом, г( 1) 2 ~ Ч(У) У , 'аког (~, у„„г) / ' гкг Нормаль к сфере направлена по радиусу, поэтому ) соз (т~ умгг)! = 1. Г, "+' р гг гг — (г — ~ (уг — хг)' = 4=1 отсюда У (х, 1) =21 (3) г< Интеграл (3) не зависит от х„,„и утверждение доказано. Таким образом, решение задачи Коши для четного гл по-прежнему дается формулой (3.11), но на этот раз у д Р1' 41 (1) ~ е(у) ду (4) (Зх) г 4.4 дгх И-г,1 Угг,г' 4=о <г В частности, если т=2, то получается решение задачи Коши для уравнения колебаний мембраны (, )= (,", ~)= — '-'-« ""'"'""'""' + дг 2Я й д У'гг — (у,— х)г — (у,— х,)г г(г + С С ° (" ') " (3) вх 5 3 7 и — (у,— х,)' — 1уг — хг)г АСС Формула (5) называется формулой Пуассона — Парсеваля.

Как и в случае нечетного числа координат, решение задачи Коши и ен С1г' (Е„к[0, со)), если начальные функции удовлетворяют условиям (3.12). Заметим, что как для нечетного, так и для четного лг условия (3.12) в известном смысле необходимы: если они нарушены, то может оказаться, что решение задачи Коши не имеет непрерывных вторых производных. 41з В заключение отметим, на приводя доказательства, что формула (3.11) дает решение задачи Коши (1.1) — (1,2), если оро и ЧЧ вЂ” любые обобщенные функции класса Ф' (Е ); само собой разумеется, в общем случае решение есть также обобщенная функция.

Это утверждение относится к случаю как четного, так и нечетного числа координат. 8 7. УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ Из формулы Пуассона — Парсеваля можно получить решение задачи Коши для уравнения колебаний струны д'и дои дТ дхо (1) если пРедположить, что ~Ро(х) и тР, (х) не зависЯт от х,; пРоще, однако, получить это решение непосредственно.

Нетрудно получить формулу, содержащую все решения уравнения струны, Для этого введем новые переменные $ = х+1, д'и Ч=х — й Уравнение (1) преобразуется к следующему: — =О, дьдч д Тди1 Представив последнее уравнение в виде — 1 — ) = О, находим дч ~д8) ди отсюда — е а($), где о($)-произвольная функция. Интегрируя по $, получаем и=д,($)+Ео(71), 9,(Б)=)о(Б) о(Б, где 9, и 9,— произвольные дифференцируемые функции.

Возвращаясь к старым переменным, приходим к общему решению уравнения (1): и(х, 1) =8,(х+1)+8, (х — 1). (2) Формула (2) называется интегралом Даламбера. Найдем решение уравнения 11), удовлетворяющее условиям Коши ди1 и 1Т-о = <ро (х), — ~ = <рх (х) дт ~г-о Полагая в формуле (2) 1=0, получаем ат (х) + 04 (х) = оРо (х), (3) Дифференцируя формулу (2) по 1 и полагая затем 1 О, получаем еще 81 (х) — 89 (х) = тр, (х). Проинтегрируем последнее равенство: 0, (х) — 0, (х) = ~ тр, (г) Иг + О.

(4) о Из равенств (3) и (4) находим о 04 (х) = ~ тро (х) + Фг (г) о(г + С , к Во (Х) — Е фо (Х) — ЧЬ (г) Т(г — С 11 419 Теперь формула (2) дает искомое решение л! т !-ьеэ-"4ь — '*=-"-~-,' ) тц а-! Формула (6) называется формулой Даламбера. (6) й В О КОРРЕКТНОСТИ ЗАДАЧИ КОШИ Нетрудно указать пару пространств, в которой задача (1,1)— (1.2) корректна. Так, например, введем в качестве В, пространство С"!(Е х(0, со)) функций, которые при любом хан Е и любом (.- О непрерывны и ограничены вместе со своими первыми и вторыми производными; за норму элемента и этого пространства примем величину т+1 т+! ! ! =,р (! т~-~ 2,' э —,"(-> ~ а-т т ~ ь=! ьь=! с~а к т+д= За В, примем пространство пар Ф=(ср„<р!) с нормой 1Ы+2 ~ — ]+1 /!Ф//,= зцр ~ '5', !,0 ср,(х)',(- ~Ч; /В"ср!(х)! ° "твт !а!=О;а,=О Обозначим через )2 оператор, который переводит пару начальных функций Ф=(!р„!Р!) в решение и (х, !) задачи Коши (1,1)— (1.2); этот оператор задается правой частью обобщенной формулы Кнрхгофа.

Из теоремы единственности для задачи Коши Ц 4 гл. 21) вытекает, что оператор Й существует, а из результатов З 5, 6 настоящей главы — что этот оператор действует из В, и В, и определен на всем пространстве В,. Используя представления (3.6) и (6.4) для функции Т„(х, (), нетрудно убедиться, что  — ограниченный оператор из В, в В,, Отсюда следует, что в паре пространств В, и В, задача Коши для волнового уравнения корректна. Литература 1. Бабич В. М.

К вопросу о распространении функций. Успехи матем. наук, Ч1П, )[[«2 (54), !953, !11 — ! 13. 2, Бакельман И. Я. Геометрические методы решения нелинейных уравве- ний. «Наука», 1965. 3. Бернштейн С. Н. Собрание сочинений, т.

П( (Уравнения в частных производных). Изд, АН ГССР, 1965, 4. Браудер Ф. Е. Вариационныс красвыс задачи для квазнлвнейпых эллиптических уравнений произволышго порядка, перса. с англ. Сов.— Амер. симпозиум по уравн, с части. произв., Новосибирск, !963. 5. Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций.

Ч. 1, перев. с англ. ИЛ, 1949. б. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. Физматгиз, !959. 7. Виленкин Н. Я, Специальныс функции н теория представлений групп. «Наука», 1965. 8. Витии М. И. О сильно эллиптических системах диффсревциальных уравнений. Мат. обери., 29(71), 1951, б!5-676. 9. Гельфанд И., М. Шилов Г. Е. Некоторые вопросы теории дифференциаль.

ных уравнений. Фнзматгиз, 1958. !О, Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над пимн. Физматгиз, )958. 11. !'«льфаид И. М., Шилов Г. Е. Пространства основных и обобщенных функций. Фнзматгиз, 1958. !2. Гобсол Е. В. Теория сферических и эллипсоидальных функций. Пер с англ. ИЛ, 1952.

13. Гардинг Л. Зазача Коши для гиперболических уравнений. ИЛ. 196!. 14. Гюнтер 'Н. М. Теория потенциала и ес применение к основным задачам математической фвзкки. Гостсхиздат, 1953. 15. Зигл[унд А. Тригонометрические ряды, перса. с англ., т. !5 «Мир», 1965. !6. Курант Р. Уравнения с частными производными, перев. с англ. «Мир», 1964. 17. Курант Р., Гильберт Д, Методы математической физики, перев. с псм., т. 1, 2.

Гостсхиздат, !951. 18. Ладыженская О. А. Смешанная задача для гиперболического уравнс. ния. Гостехиздат, !953. 19. Ладыженская О. А., Солонников В, А,. Уральце«а Н. Н, Линейные и квазилинейные уравнения йараболичсского типа. «Наука», 1967. 20. Ладыхсенская О.

А., Уральцева Н. Н Линейные и квазилинейные урав- нения эллиптического тина, «Наука», 1973. 2!. Лалдхоф Н. С. Основы современной теории потенциала. «Наука», 1966. 22. Лере 7К., Шиудвр 70 Топология и функциональные уравнения, перев. с франц. Успехи матем. наук, 1, а!» 3 — 4, 1946, 7! — 75. 23. Миранда К. Уравпсния с частными производными эллиптического типа, перев, с итал. ИЛ, 1957. 24. Михлин С. Г.

Нскоторыс элсмспгарныс краевыс задачи для волн[» ваго уравнения. Труды Сейсмологнч, нн — та АН СССР, 55» 101, 1940. 25. Михлин С. Г. Распространение волн в областях с криволияейной границей. Труды Сейсмологич. ин — та АН СССР, Бй 110. 1941, 26. Михлии С. Г. Лекциа по линсйныч интегральным уравнениям. Физ- матгнз, !959. 27.' Маклин С. Г. М огол[ер ыс си .Узяриые и тетра,ы и вытегре.

Ьные уравнения. Физмат[из, 1962. 28. Миллим С. !. Проблема минимума квадратичного функционала. Гос- техиздат, 1952. 29. Михлин С. Г, Численная реализация вариационных методов. «Наука», 1966. 421 30, Му«гелашвили Н. Н. Сингулярные интегральные уравнения. «Наука», 1968. 31. Мюнв»»$ Г. Интегральные уравнения. Ч. 1. Гостехиздат, 1934. 32.

Пел«рог«хай Н. Г. О задаче Коши для системы уравнений с частнымн производными. Метем. Сборн., 2(44), !937, 815 — 870. ЗЗ. Петровский Н. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. Физматгиз, !96!. 34. Слободецкий Л. Н. Обобщенные пространства С. Л. Соболева и их приложение к краевым задачам для дифференциальных уравнений в частных производных.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
10,48 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6559
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее