С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 73
Текст из файла (страница 73)
эс 416 Просуммируем это по й. Замечая, что Л вЂ” =О, и используя 1 Г формулу (7), найдем, что (З()„=0. Таким образом, при любом нечетном л1~3, функция и(х, (), определяемая формулой (3.11) (обобщенной формулой Кирхгофа), удовлетворяет волновому уравнению (1.1). Докажем, что оиа удовлетворяет и начальным условиям (1.2). Полагая в (3.11) ( = 0 и пользуясь соотношениями (1) н (4), убедимся, что и(х, 0) =гр,(х). Теперь продифференцируем формулу (3.11) по ( и положим (=О.
По соотношению (4) д' Щ (х, 0) = -ду †, 7цр, (х, 8)(1 0 + Ч11(х). Функция Т, (х, () удовлетворяет волновому уравнению; используя еще равенство (1), найдем, что дз д тч (х ) 1А 0 Ьт (х О) О н, следовательно, и,(х, 0) =гр1 (х). 5 6. СЛУЧАЙ ЧЕТНОГО ЧИСЛА КООРДИНАТ Можно доказать, что и при четном и формула (3,!а) дает решение задачи Коши (1.1) — (1.2); можно также упростить упомянутую формулу и придать ей несколько более наглядное выражение.
Все это, однако, проще получить из обобщенной формулы Кирхгофа (3.11), На время допустим, что т=2з+3, а функции гр,(х) и 1р1(х) удовлетворяют требованиям (3.12). Тогда, как это было доказано выше, функция (3.11) удовлетворяет начальным условиям (1.2) и волновому уравнению м+з д'и 'ч1 Уи — — Р— =О. дГ Х~1 дк~ (1) х-1 Пусть теперь начальные функции ф,(х) и ф„(х) не зависят от координаты хммь Докажем, что тогда и(х, Т) тоже не зависит от Х„1м Этим будет доказано, что названная функция решает задачу Коши для четного числа измерений 2з+2.
Ниже будем считать Гп четным, т = 2з+ 2. Достаточно доказать следующее, несколько более простое утверждение: если <р(х) не зависит от х.„„, то и Тч(х, () не зависит от х„+,. В силу формулы (3.7) для этого достаточно в свою очередь доказать, что от координаты х„э, не зависит интеграл у(х, г)= 1 р(у)г(„Зь (2) 51 Представим интеграл (2) в виде суммы интегралов по двум полусферам, на которые сферу 3, разбивает плоскость, проходящая 4П через точку х перпендикулярно к осн х„хг. Каждая полусфера проектируется на указанную плоскость в виде (2з+ 2)-мерного шара радиуса 1 с центром в точке (х„х,, ..., х„,,).
Будем теперь обозначать через х и у точки пространства Е =Ег,.г и по-прежнему будем писать г=1х — у',, Мы вправе сохранить обозначение ~р(у), поскольку эта функция не зависит от у„гг. Упомянутый выше (2з+ 2)-мерный шар определяется теперь неравенством г г Е Функция гу (у) не зависит от у„хг, поэтому интегралы по полусферам равны между собой, и каждый из них можно (заменить интегралом по шару г ~1, если учесть, что г(УЕ, = ,, где т — внешняя нормаль к сфере Еь Таким ду 1огг (т Угггг)~ образом, г( 1) 2 ~ Ч(У) У , 'аког (~, у„„г) / ' гкг Нормаль к сфере направлена по радиусу, поэтому ) соз (т~ умгг)! = 1. Г, "+' р гг гг — (г — ~ (уг — хг)' = 4=1 отсюда У (х, 1) =21 (3) г< Интеграл (3) не зависит от х„,„и утверждение доказано. Таким образом, решение задачи Коши для четного гл по-прежнему дается формулой (3.11), но на этот раз у д Р1' 41 (1) ~ е(у) ду (4) (Зх) г 4.4 дгх И-г,1 Угг,г' 4=о <г В частности, если т=2, то получается решение задачи Коши для уравнения колебаний мембраны (, )= (,", ~)= — '-'-« ""'"'""'""' + дг 2Я й д У'гг — (у,— х)г — (у,— х,)г г(г + С С ° (" ') " (3) вх 5 3 7 и — (у,— х,)' — 1уг — хг)г АСС Формула (5) называется формулой Пуассона — Парсеваля.
Как и в случае нечетного числа координат, решение задачи Коши и ен С1г' (Е„к[0, со)), если начальные функции удовлетворяют условиям (3.12). Заметим, что как для нечетного, так и для четного лг условия (3.12) в известном смысле необходимы: если они нарушены, то может оказаться, что решение задачи Коши не имеет непрерывных вторых производных. 41з В заключение отметим, на приводя доказательства, что формула (3.11) дает решение задачи Коши (1.1) — (1,2), если оро и ЧЧ вЂ” любые обобщенные функции класса Ф' (Е ); само собой разумеется, в общем случае решение есть также обобщенная функция.
Это утверждение относится к случаю как четного, так и нечетного числа координат. 8 7. УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ Из формулы Пуассона — Парсеваля можно получить решение задачи Коши для уравнения колебаний струны д'и дои дТ дхо (1) если пРедположить, что ~Ро(х) и тР, (х) не зависЯт от х,; пРоще, однако, получить это решение непосредственно.
Нетрудно получить формулу, содержащую все решения уравнения струны, Для этого введем новые переменные $ = х+1, д'и Ч=х — й Уравнение (1) преобразуется к следующему: — =О, дьдч д Тди1 Представив последнее уравнение в виде — 1 — ) = О, находим дч ~д8) ди отсюда — е а($), где о($)-произвольная функция. Интегрируя по $, получаем и=д,($)+Ео(71), 9,(Б)=)о(Б) о(Б, где 9, и 9,— произвольные дифференцируемые функции.
Возвращаясь к старым переменным, приходим к общему решению уравнения (1): и(х, 1) =8,(х+1)+8, (х — 1). (2) Формула (2) называется интегралом Даламбера. Найдем решение уравнения 11), удовлетворяющее условиям Коши ди1 и 1Т-о = <ро (х), — ~ = <рх (х) дт ~г-о Полагая в формуле (2) 1=0, получаем ат (х) + 04 (х) = оРо (х), (3) Дифференцируя формулу (2) по 1 и полагая затем 1 О, получаем еще 81 (х) — 89 (х) = тр, (х). Проинтегрируем последнее равенство: 0, (х) — 0, (х) = ~ тр, (г) Иг + О.
(4) о Из равенств (3) и (4) находим о 04 (х) = ~ тро (х) + Фг (г) о(г + С , к Во (Х) — Е фо (Х) — ЧЬ (г) Т(г — С 11 419 Теперь формула (2) дает искомое решение л! т !-ьеэ-"4ь — '*=-"-~-,' ) тц а-! Формула (6) называется формулой Даламбера. (6) й В О КОРРЕКТНОСТИ ЗАДАЧИ КОШИ Нетрудно указать пару пространств, в которой задача (1,1)— (1.2) корректна. Так, например, введем в качестве В, пространство С"!(Е х(0, со)) функций, которые при любом хан Е и любом (.- О непрерывны и ограничены вместе со своими первыми и вторыми производными; за норму элемента и этого пространства примем величину т+1 т+! ! ! =,р (! т~-~ 2,' э —,"(-> ~ а-т т ~ ь=! ьь=! с~а к т+д= За В, примем пространство пар Ф=(ср„<р!) с нормой 1Ы+2 ~ — ]+1 /!Ф//,= зцр ~ '5', !,0 ср,(х)',(- ~Ч; /В"ср!(х)! ° "твт !а!=О;а,=О Обозначим через )2 оператор, который переводит пару начальных функций Ф=(!р„!Р!) в решение и (х, !) задачи Коши (1,1)— (1.2); этот оператор задается правой частью обобщенной формулы Кнрхгофа.
Из теоремы единственности для задачи Коши Ц 4 гл. 21) вытекает, что оператор Й существует, а из результатов З 5, 6 настоящей главы — что этот оператор действует из В, и В, и определен на всем пространстве В,. Используя представления (3.6) и (6.4) для функции Т„(х, (), нетрудно убедиться, что  — ограниченный оператор из В, в В,, Отсюда следует, что в паре пространств В, и В, задача Коши для волнового уравнения корректна. Литература 1. Бабич В. М.
К вопросу о распространении функций. Успехи матем. наук, Ч1П, )[[«2 (54), !953, !11 — ! 13. 2, Бакельман И. Я. Геометрические методы решения нелинейных уравве- ний. «Наука», 1965. 3. Бернштейн С. Н. Собрание сочинений, т.
П( (Уравнения в частных производных). Изд, АН ГССР, 1965, 4. Браудер Ф. Е. Вариационныс красвыс задачи для квазнлвнейпых эллиптических уравнений произволышго порядка, перса. с англ. Сов.— Амер. симпозиум по уравн, с части. произв., Новосибирск, !963. 5. Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций.
Ч. 1, перев. с англ. ИЛ, 1949. б. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. Физматгиз, !959. 7. Виленкин Н. Я, Специальныс функции н теория представлений групп. «Наука», 1965. 8. Витии М. И. О сильно эллиптических системах диффсревциальных уравнений. Мат. обери., 29(71), 1951, б!5-676. 9. Гельфанд И., М. Шилов Г. Е. Некоторые вопросы теории дифференциаль.
ных уравнений. Фнзматгиз, 1958. !О, Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над пимн. Физматгиз, )958. 11. !'«льфаид И. М., Шилов Г. Е. Пространства основных и обобщенных функций. Фнзматгиз, 1958. !2. Гобсол Е. В. Теория сферических и эллипсоидальных функций. Пер с англ. ИЛ, 1952.
13. Гардинг Л. Зазача Коши для гиперболических уравнений. ИЛ. 196!. 14. Гюнтер 'Н. М. Теория потенциала и ес применение к основным задачам математической фвзкки. Гостсхиздат, 1953. 15. Зигл[унд А. Тригонометрические ряды, перса. с англ., т. !5 «Мир», 1965. !6. Курант Р. Уравнения с частными производными, перев. с англ. «Мир», 1964. 17. Курант Р., Гильберт Д, Методы математической физики, перев. с псм., т. 1, 2.
Гостсхиздат, !951. 18. Ладыженская О. А. Смешанная задача для гиперболического уравнс. ния. Гостехиздат, !953. 19. Ладыженская О. А., Солонников В, А,. Уральце«а Н. Н, Линейные и квазилинейные уравнения йараболичсского типа. «Наука», 1967. 20. Ладыхсенская О.
А., Уральцева Н. Н Линейные и квазилинейные урав- нения эллиптического тина, «Наука», 1973. 2!. Лалдхоф Н. С. Основы современной теории потенциала. «Наука», 1966. 22. Лере 7К., Шиудвр 70 Топология и функциональные уравнения, перев. с франц. Успехи матем. наук, 1, а!» 3 — 4, 1946, 7! — 75. 23. Миранда К. Уравпсния с частными производными эллиптического типа, перев, с итал. ИЛ, 1957. 24. Михлин С. Г.
Нскоторыс элсмспгарныс краевыс задачи для волн[» ваго уравнения. Труды Сейсмологнч, нн — та АН СССР, 55» 101, 1940. 25. Михлин С. Г. Распространение волн в областях с криволияейной границей. Труды Сейсмологич. ин — та АН СССР, Бй 110. 1941, 26. Михлии С. Г. Лекциа по линсйныч интегральным уравнениям. Физ- матгнз, !959. 27.' Маклин С. Г. М огол[ер ыс си .Узяриые и тетра,ы и вытегре.
Ьные уравнения. Физмат[из, 1962. 28. Миллим С. !. Проблема минимума квадратичного функционала. Гос- техиздат, 1952. 29. Михлин С. Г, Численная реализация вариационных методов. «Наука», 1966. 421 30, Му«гелашвили Н. Н. Сингулярные интегральные уравнения. «Наука», 1968. 31. Мюнв»»$ Г. Интегральные уравнения. Ч. 1. Гостехиздат, 1934. 32.
Пел«рог«хай Н. Г. О задаче Коши для системы уравнений с частнымн производными. Метем. Сборн., 2(44), !937, 815 — 870. ЗЗ. Петровский Н. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. Физматгиз, !96!. 34. Слободецкий Л. Н. Обобщенные пространства С. Л. Соболева и их приложение к краевым задачам для дифференциальных уравнений в частных производных.