С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 69
Текст из файла (страница 69)
(12) Тогда, очевидно, и=о+и!. Из общей формулы (10) вытекают следующие формулы для о и цс: о(х, 1) = ~~~, ((ср„и„)соз)с Х„(+ р' "") з(п3/)!,„1~и„(х), (13) с!=! )/гс,с со с с*. сс = д " *' [ м ь'с. сс- ! с. сп с' )7 7. сс = ! В последующих двух параграфах проведем обоснование метода Фурье отдельно для каждой из задач (11) и (12) 5 8. ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА ДЛЯ ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ Как и для случая уравнения теплопроводиости 6 2), обоснование метода Фурье сводится к проверке нескольких утверждений. а) Ряд (7.13) сходится в метрике НН равномерно по г на всей оси.
Запишем ряд (7.13) в виде о (х, 1) = ~', [)с"г. (сро, ид) соз Р'Х. (+ сс=! + (ср„и„) 8 1п 'рс Х„7 [ — "" " = Хф ,'5', 6 срм — "" 1соз )/ Э,„(1)+ (ср„и„) зсп ')/"с,„с1 — "" ("). (1) , (у " ) )сг„' Последний ряд есть ряд по системе функций ) — "1, ортонорми- Ф'-.1 рованиой в метрике Нзс, и достаточно доказать, что равномерно по !' сходится ряд из квадратов коэффициентов (2) 387 Сумма этого ряда не превосходит величины 2 х' 1!р„— ".1 -1- „хи, [ У)„'1 +2 ~Ч', (ср„и„)'.
По неравенству Бесселя оба ряда сходятся, и=-! В то же время их члены не зависят от С По !сореме Вейерш- трасса, ряд (2) сходится равномерно. Ряд (7.13) сходится равномерно по 1 и в метрике й,(11) — это сразу вытекает из неравенства положительной определенности (неравенство (3,5) гл. 4). Из утверждения настоящего пункта вытекает также, что и (х, 1) = о (1) е= С (ггО, со), Нн), б) Ряд, полученный дифференцированием ряда (4,13) по 1 ~; ~ — ')/).„(сро, и„) з) п ')/) „1+ (!р„и„) соз )/).„1~ и„(х) = л=! = хт, ~ — ~!рэ фз(п)/3.„1+(ср„и„) соз)/);(~и„(х), (3) л=! сходится равномерно по 1 в метрике 1.,(11). Достаточно написать неравенство — ~!р„— "" 1з)п )/).„1+ (<р„и„) сов )/).„1~ =- 1- ' Ул„! ( 2~ ср„— ","— .1 + 2 (ср„и„)', а затем, как и в п, а), сослаться на неравенство Бесселя и теорему Вейерштрасса. Из доказанного в п.
а) и б) вытекает, что э(х, !)=п(1) ен ен С'!! (10, оо); й, (!!)), и, следовательно, о(1) е= К. в) Сумма ряда (4.!3) удовлетворяет начальным условиям(4.1!), Действительно, в силу доказанного в п. а) в ряде (1) можно почленно перейти к пределу (в метрике Нз!) при 1- 0; отсюда !-о 1)т)о(1) — срэ~=! У, басры "1 — "- — сро =О. Далее по доказанному в п. б) сумма ряда (3) равна —, и [ь (!) и! в этом ряде также можно почленно переходить к пределу прн 1-~0: ' д!! (!) ч'! заа г) Сумма ряда (4.13) удовлетворяет тождеству — $( !!,+!л-„$!.!>, л<к!!л — !л,.л(о!!-о.
!г! ' !!! !7Ч еи дг (4) которое получается из тождества (4.1) при 7=0. Обозначим для краткости через у„(г) коэффициенты ряда (4.13) у (()=(оро ил)соз3ГЛ„(+ ~' "" з!п3 Лл(, Лл тогда о(х, !) =о(() = ~', ул(() ил. Коэффициенты у„(1) удовлетвол=! ряют дифференциальному уравнению (4.7), в котором следует положить 7„(г) = — 0: тл (1)+Л„т„(Г) =О. Далее, — ( —, — ) й = — 7 у„' (~) ! и„, — 1й. Почленное инл ! тегрирование допустимо, потому что ряд (3) сходится равномерно по 1. Интегрируя по частям, получаем -)~(о( ..
"'— „'0)а-)л!л!., лоо Ул (!) (ил, л) (г)) !г= т т =$ул(!) (ил, т) (!)) Ш+(орм ил) (ил, т)(0))„ о отсюда ~(~й ~~~!л <л т лл = ~ ~у,"(() (ил, л) Р))Ж+~Ч, '(!р„ил) (ил, Ч(0)). л=!о л=! Но по равенству Парсеваля,У'„(ори ил) (ил, т) (0)) = (!р„Ч (0)), и, л=! следовательно, ~ ( ду д~ )о(" = ~, ~ ул(Г) (ил Ч(())о((+(!ум л)(0)); (6) л=-! о 389 далее т $(и(Е), т)(Т) )й= У, '$У„(Г)(и„, т1(!)1т((= о а=то о» т ~ )т„у„(!) (и„, т) (!)) Ж, (7) о=-! о Если теперь сложить равенства (6) и (7) и воспользоваться уравнением (5), то получится тождество (4).
5 9. ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА ДЛЯ ОДНОРОДНЫХ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ Докажем теперь, что сумма ряда (?.14) есть слабое решение задачи (7.12), С этой целью докажем, что для ряда (7,14) справедливы все утверждения а) — г) предыдущего параграфа с той, однако, разницей; что равномерная сходимость имеет место не на всей оси т, а только на любом сегменте вида [О, т1, ) = = сопз1 >О.
Доказательство утверждения а) сводится к проверке того, что ряд со т! 12 ~ ~~з(п3~")„(Т вЂ” т))„(т) т(т~ л=! о сходится равномерно на сегменте 10, т1. По неравенству Буня- ковского В силу равенства Парсеваля )) (т) = ~~ (т) (о. л=! (3) ~х и. (х) ~ соз у'). (! — т)). (Т) (т.
о=! о 390 Ряд (3) с непрерывными неотрицательными членами сходится к непрерывной функции. По теореме Дини ряд (3) сходится равномерно, Но тогда и проиитегрироваиный ряд сходится равномерно. Из неравенства (2) следует теперь, что ряд (1) также сходится равномерно, Из доказанного следует, что ряд (7.!4) равномерно на сегменте 10, т] сходится в метрике 7.т(т!), а также, что и!(х, 0) =О. Перейдем к утверждению б).
Формально продифференцироаав ряд (4,14) по Д получим новый ряд В заключение отметим, что корректность смешанной задачи для волнового уравнения исследуется по той же схеме, что и для уравнения тсплопроводности. Формулировку и доказательство соответствующих предложений предоставляем читателю. й об. УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ. УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ КЛАССИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ Вопрос о том, при каких условиях ной задачи для волнового уравнения классическим, исследуем только для струны '. — — — =О, 0<х(1, !)О, дом д!и дп дхо слабое решение смешан- будет одновременно и простейшего уравнения Будем решать это уравнение при краевых условиях и(0, !)=и(1, () =0 (2) и начальных и !х-о = !ро (х) ду ~ = ор~ (х) ° (3) В данном случае ).„= лоло, и„(х) =1 2 з!и лпх! по обшей формуле (4,13) обобщенное решение имеет вид и (х, () = о (а„соз лн(+ —" з!п пну) з(п ллх, л=! где ! ! а„= 2 ) оро (х) з(п ппх г(х, Ь„= 2 ) !р! (х) з!и плх с(х.
о о (5) Заметим, что условия согласования необходимы для того, чтобы решение (4) было классическим. Первые два условия (6) ! По поводу общего случая си. !!81. Решение (4) назовем классическим, если при О~х(1, () 0 оио непрерывно вместе со своими производными первых двух порядков. Это будет иметь место, если ряд (4) и ряды, полученные из него одно- или двукратным дифференцированием, будут сходиться равномерно.
Локажем, что названные ряды действительно сходятся равномерно, если выполнены следующие условия: 1) функции ср!о! (х), и=О, 1, 2; !р!'>(х), й=О, 1, абсолютно непрерывны на сегменте 10, 1); 2) сро ' е= Ео (О, 1), ф!' е= Бо (О, !); 3) выполнены условия согласования оро (0) = !ро (1) = О, (р! (0) = ор! (!) = О, !ро (0) = Ч>о (!) = 0 (6) вытекают из непрерывности функции и (х, 1) в точках х = О, 1=0 и х=1, 1=0; вторые два условия (6) — из непрерывности ди в тех же точках производной —. Третью пару можно получить д'и ~ так. Полагая в уравнении (1) 1=0, получим,1, — !ро" (х) =О.
днако д'и ! д'и Дифференцируя тождества (2), получим —, ( = —,, ~ = О. Полагая здесь 1=0, а в предшествующем соотношении х=О и х=1, получим третью- часть условий (6), Коль скоро условия 1) — 3) сформулированы, дальнейшее получается просто.
Интегрированием по частям легко получаем а„= — — „,, ) <ро (х)х ! хсозлпх!(х, Ь,= — —,, ~ !р," (х) з(пппх!(х. Обозначим 2 о ! ! ал — — — о ~ !ро (х) соз ллх !(х~ !!л — — ! ~ Ч!! (х) 3!и ллх !(х, о о тогда а„= —, д,= —,. Величины а„и р„суть коэффициенты ал илл л о л ло 1 ! Фурье функций — —,!ро'" (х) и — —,!р," (х), принадлежащих пространству 7о(0, 1).
Отсюда следует, что ряды У, а„',,,!,' рлсхол=! л=-! дятся. Формула (4) принимает вид и (х, 1) = т —, (а„соз пп1+р„з)п ли() з1п лях. 1 (7) л=! Мажорантами для ряда (7) и для рядов его первых и вторых производных служат ряды ~а,~+~5,~ О. ~! !а !+1Р ~ О, 1~д ~а,~+11,! ло ло л л=! л=! С, С"=сопз1, которые все сходятся. Отсюда следует, что сумма ряда (4)— функция и(х, 1) — непрерывна вместе со своими первыми и вторыми производными, что н требовалось доказать. Глава 23 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 5 1.
ФОРМУЛА ПУАССОНА Рассмотрим неоднородное уравнение теплопроводностн 1л = — —" — съсс=) (х, () (1) при начальном условии и ~,, = ср (х). (2) Для простоты допустим, что функции 1(х, 1) и ср(х) непрерывны и ограничены и будем искать решение задачи Коши (1) — (2), также ограниченное. Введем в рассмотрение функцию о(х — у, с — т), определенную формулой (6.8) гл. 10: г' е 4(с н ()г о(х — У, 1 — т) = (2~ п01 — с)) 0 1~т; г=!х — у!.
Напомним, что при (~т, хну функция о удовлетворяет урав- да до пениям — — сз о=Π— — — Ь о=О. дС х = ~ дт с Будем считать, что х — произвольная точка пространства Е„, а с — произвольное положительное число. Пусть и (д, т) — функция класса Са 0(Е х(0, со)) (обозначение см. $ 2 гл, 20). Примем еще, что и и ди/дх„ /= 1, 2, ..., т, ограничены. К фуйкциям и и о применим формулу Грина (6.12) гл. 9.
В соответствии с обозначениями, шс " ~ принятыми в начале настоящего раз- дела, в упомянутой формуле слепса ьс дует заменить и на пс + 1; кроме того, будем писать у вместо х и т с вместо х „. Область иптегрирова- ..-1- ., ния выберем следующим образом. 1ш, В плоскости т=-0 построим шар Шя радиуса )( с центром в начале координат. Зафиксируем точку х ен Е„ и выберем сс столь большим, чтоРас. 28 бы х ен Шл, Далее построим ци- линдрическую поверхность, образующие которой параллельны оси с, а направляющей служит сфера Ел=дШ„. Пересечем эту поверхность плоскостью т=( — е, где числа 1 и а связаны неравенствами 0 е(1, а в остальном 394 произвольны.
Шар, вырезанный из этой плоскости упомянутой выше цилиндрической поверхностью, обозначим через Шя(-(. Область ()((", границей которой служит объединение Шя() В("' () ()Шя(" (рис. 28), примем за область интегрирования в формуле Грина, Приняв во внимание, что Ми=О, получаем соотношение ~ о (х — у, ( — т) (.и (у, т) ((у ((т = (е] — о(х — у, () и(у, 0) ((у+ ~ о(х — у, е) и(у, ( — е) ((у— шя ш („е( ди де( — ~ ~о — — и — (соз(т, у,)((Зя((т. (3) дуе дуе (' (е) Заметим, что во втором интеграле справа можно писать Шя вместо Шя(о Пусть е- О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
