С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 66
Текст из файла (страница 66)
ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ ЗАДАЧИ КОШИ. ОБЛАСТЬ ЗАВИСИМОСТИ Теорема 21.4.1 Пусть поставлены две задачи Коши дои ! ди~ — Ьи =- ~ (х, Т); и ~ = сро (х),Т 1, о = Ч г (х); до о ! до о !с о фо (х), йс- !с = фг (х) Пусть в характеристи сеском конусе ~ х — х,, 'о-.: ссг — ! с вершиной (хо, го) совпадают свободные члены: 1(х, !) = о(х, !), а в шаре ~ х — х, ~ =-.:. го, который указанный конус вырезает из сгроспгранства ! == О, соответственно совпадают начальные функции: Чго (х) =— = — ф,(х), Ч:г (х) =ф, (х). Если обе задачи имеют решения, непрерывные вместе со своими производными первых двух порядков, то зти реисения совпадают внутри и на границе конуса 'х — хо/==Го — Е Разность ш (х, !) решений двух задач Коши, о которых сказано в условии теоремы, удовлетворяет однородному волновому уравнению д'со ; — гг ис = О (1) Збт н начальным условиям вида ис!с=о=О, — ! = О, 'х — хо',~(о.
дсь ! (2) Значения и',. о и ~ вне !нара !х — хо "(Тодля нас безразличны, Рассмотрим область 0 пространства (х„хо, ..., х, Г), ограниченную плоскостью Т='О и характеристическим конусом То— — ! == х — хо ~. Внутри или на границе этой области возьмем произвольную точку (х, Г) и построим новый характеристический конус с — ! = ' х — х . Через 0 обозначим область, ограниченную плоскостью ( =- О и новым конусом. Важно отметить, что область Р ограничена в плоскости 1=0 шаром )х — 2!'.-1', который составляет часть первоначального шара !х — х,',(1з, отсюда следует, что в новом шаре верны соотношения (2), ЙО Обе части уравнения (1) умножим на — и проинтегрируем по области Р.
Приняв во внимание очевидные тождества дв д!в 1 д /!!!х' ! дв д'-а! д,'дв дв 1 ! д (дв 'х д! дй 2 д! ( д11 ' а!ах1 дх, д!Вх,) 2 а! ~дх ) и применив формулу Остроградского, получим Ь в — 2 г —; — соз(п, х,) сБ=О. (3) %! дв дв х'! а) дх, х !" Здесь через Ш обозначен шар ~х — х',(), через К вЂ” характеристический конус ! — 1= , 'х — х ~, через !(5 — элемент меры на границе Ш() К области Р. В силу условий (2) в шаре Ш дв выполнены тождества —, =0 и в= — О. х(ифференцируя последнее тоа! дв ждество по координате хм получаем также — = — О, й = 1, 2, ..., и!, ах,— В среднем члене двойного равенства (3) интеграл по Ш исчезает, и получается более простое равенство %~ дв дв — 2 1 — .— соз(п, хх) !(3=0.
д! дхх х=! Умиожим обе части последнего равенства на постоянную !Я' 2 = = соз(п, 1), которую внесем под знак интеграла. Учитывая равенство (З.Б), получаем хх ~ — а. соь (п, хх) — — - сов (и, 1)1 !(5 = О, к х-! откуда следует, что на конусе К выполняются соотношения дв — соз(п, х„) — — — сов(п, 1) = — О, й= 1, 2, ..., и, дв ах, и, следовательно, ав , дв †, †: соь (п, х!) = ... = †, : соз (и, х„) = -;-: соз(п, 1). дв 368 Эти равенства означают, что на конусе К вектор егабщ парал- лелен нормали, На конусе К возьмем произвольную образующую 1. Очевидно, дю вектор егаб ш ортогоиален к 1.
В таком случае — = Пр, йгаб ю = О, д1 Отсюда следует, что ю = сопз( вдоль любой образующей конуса К, В частности, значение ю в вершине (Х, 1) совпадает с значе- нием ю в той точке образующей 1, которая лежит в плоскости 1= О. Но в этой точке ю = 0 по условиям (2). Отсюда ю (х, 1) =. О, и так как точка (Х, 1) была взята произвольно в В, то в(х, 1) =— =О, (х, 1) ее 0.
И Пусть и(х, 1) — решение задачи Коши для однородного вол- нового уравнения (1) при произвольных начальных условиях, Как это вытекает из теоремы 21,4,1, значение функции и в любой точке (х„1,) определяется только значениями начальных функ- ций в шаре )х — «„) 1,. Областью зависимости для точки (х„1,) называется то мно- жество точек плоскости 1=0, на котором достаточно знать зна- чения начальных функций, чтобы определить величину и(х,, 1,), Из сказанного выше ясно, что за область зависимости можно взять шар ~х — х,', (1,.
В гл. 24 будет показано, что в случае нечетного тп 1 можно область зависимости сузить: в указан- ном случае за область зависимости можно принять пе указан- ный выше шар, а только его границу — сферу (х — х,~ =1,, Если вместо уравнения (1) рассматривать уравнение †, — а'ци = О, а = сопз(, то областью зависимости для точки й""и (хо, 1,) будет шар ~х — х,~ ='а1, (сфера ~х — ха ~=а1а в случае нечетного и) 1). й 5 ЯВЛЕНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН Из теоремы единственности, доказанной в Э 4 (более определенно, из факта существования области зависимости и из характера этои области), вытекают некоторые следствия физического характера, о которых мы здесь коротко скажем.
Ри Рассмотрим однородное волновое уравнение —; — а'Ли = О, а= ди = сонэ(, при условиях и)~=ь=гр,(х), —, = ср, (х), х~Е . Допустим, что начальные функции Чь (х) и гр, (х) тождественно равны нулю вне некоторой конечной области Вс: Е (рис, 26); внутри этой области начальные функции предполагаются, вообще говоря, отличными от нуля. Будем считать, что поставленная здесь задача Коши имеет решение. Возьмем какую-нибудь точку хь ее Е, лежащую вне области О.
В начальный момент значение и в точке х, равно нулю, как это видно из начальных условий; в этот момент точка х„ находится в состоянии покоя. Рассмотрим момент времени 1„, доста- Збэ точно близкий к начальному, именно, пусть га(буа, где б— кратчайшее ог точки ха до границы области О. Область зависимости для точки хв в момент времени (а — шар радиуса а7а с центром в х,— не пересекается с областью О.
В таком случае в области зависимости начальные функции равны нулю; по теореме единственности и(х„(а) =О, и точка ха в момент времени (е остается в состоянии покоя до тех пор, пока (с(б/а. Рис. 27 Рис. 26 Пусть теперь ус~б(а. Область зависимости пересекается с областью 0 (на рнс. 27 это пересечение заштриховано), В этой области начальные функции отличны от тождественного нуля и, вообще говоря, и (ха, уа) ФО.
Таким образом, момент времени уе=б/а можно рассматривать как момент, когда возмущение приходит в точку х,; до этого момента указанная точка находится в состоянии покоя, после— в состоянии возмущения. Нетрудно ответить и на такой вопрос: дан момент времени (е; каковы области покоя и возмущения в этот момент? Пусть à †грани области начального возмущения О, Из каждой точки границы Г как из центра опишем сферу радиуса агс, Огибающая Г,, этих сфер (точнее, геометрическое место точек, которые лежат вне 0 и находятся на расстоянии аус от Г) отделяет область покоя от области, точки которой находятся, вообще говоря, в состоянии возмущения. Поверхность Г,, называется передним фронтом волны. Волной называется процесс распространения возмущения. Оче- видно, возмущение распространяется со скоростью а в направлении нормали к Г.
3 а и е ч а н и е. Если размерность пространства нечетная, большая единипы, то в одвородной среде при некоторых условиях наблюдается так называемый задний фронт волны: возмушснис а каждой точке исчезает после некоторого момента времени, Мы вернемся к этому вопросу в га. 24. 370 Глава 22 МЕТОД ФУРЪЕ По существу своему метод Фурье есть метод решения смешанных задач и задачи Коши, основанный на использовании спектральных свойств входящего в уравнение эллиптического оператора.
В классических работах самого Фурье и его последователей метод Фурье был связан с разделением переменных в дифференциальном уравнении; этот последний прием был применен в Ч Э гл. 18. В настоящей главе на основе метода Фурье будет дано решение смешанных задач для уравнения теплопроводиости и волнового уравнения. й 1. МЕТОД ФУРЬЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В этом параграфе будет дан способ построения слабого решения смешанной задачи теплопроводности; отсюда, как следствие, получится доказательство существования и единственности этого решения. Понятие слабого решения смешанной задачи было дано в 5 б гл. 20.
Напомним, что слабое решение в данном случае есть абстрактная функция от Т класса С(10, со); Ст(й))()С((0, со), Ни)()Сп'((О, оо); (-з((2)), (*) удовлетворяющая соотношению ( †,1 , т! (Т) ) + (и (1) т) (Т))и = Ч (Т) т) (Т)) (1) и начальному условию и(0) =ф. (2) Здесь В( — оператор задачи Дирихле (см. 5 1 гл. 17) для конечной области О с: Е с кусочно гладкой границей Г; т) (Т) — произвольная абстрактная функция от Т со значениями в энергетическом пространстве 011, ф — элемент пространства Ц (11). Наконец, )(() — абстрактная функция от Т со значениями в Е, (11); примем, что Те= Си'(10, со); (.,(й)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
