С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 62
Текст из файла (страница 62)
ди да д / дои( дхт,дх/ дх, [ ' дхтт/) т?т Последнее соотношение означает, что и есть слабое решение задачи (4). Е 3. СИЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ В ПРОИЗВОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ В конечной области »4 с: Е с кусочно гладкой грашщей дй = Г рассмотрим слабое решение задачи Дттрттхлс или Неймана для уравнения — Л,» „";+Си =) (х), ) ~ Ет (л.), (() 346 Краевое условие задачи предполагаем однородным. Козффициенты А,» и С подчиним требованиям гл. 17. В случае задачи Неймана и С (х) = 0 будем считать, что й сеть объединение конечного числа Д'с с') звездных областей. Теорема 19.3.1. Пусть и(х) — слабое решение задачи Дирпхле или Неймана ее с однородным краевым условием для уравнения (1) в области 11 и пусть х, Й, — произвольная внутренняя подобласть О, тогда и ~ 1Р'»Я (О,), а Доказательство распадается на 5 пунктов.
1'. Пусть ло — произвольная точка лс области О. Построим куб Я (рис. 23) Рис. 23 с ребрами, параллельными осям координат, с длиной ребра 4е и с центром в х,; число е возьмем столь малым, чтобы упомянутый куб вместе со своей границей лежал в 11. Построим функцию и »= Ж"'(О) так, чтобы а(х) =-1, х ~ Ш, где Ш вЂ” шар радиуса е', з'( е с центром в хо. Это можно сделать, например, выбрав число е', О«е'(е, и положив ( 1, ! х — хо~(2з', ~х ~ Е, оо (х) = ~ 1 О, )х — х»)~2е'. Функцию а,(л) усрсдним, взяв радиус усреднения меньшим, чем каждое из чисел з' и 2(е — е').
Сужение на 41 функции, полученная усреднением, можно припять за а(х). По доказанному в 9 2, произведение о=оп есть слабое решение задачи — д„-'А»»д„— )=р(х), х вне; о!да= О, д,' до 1 (2) дх» в которой свободный член г определен формулой (2.3). 2'. Дифференциальное уравнение (2) преобразуем: слева раскроем скобки, а затем нсвырожденным линейным преобразованием приведем уравнение к каноническому виду (см. гл, 9, 9 3) в точке х,. Если в», $„ ..., с„, --новые координаты, то уравнение (2) принимает вид д»о - до — А»» й) д» д. + А» д,— — — Г (х) =- и', Я).
Обозначая через со точку, в которую перешла точка х„имеем , А,» 5») =о,»б,», о» вЂ” — сопИ ) 0; остаются справедливыми включения А» ~ Сои (О) и А» е-=С(»1). Положив теперь у»= )/о»$», приведем уравнение (2) к виду — П,»(у) д — д+ Н»д-=- рЛ) = р»(у); д'о до (3) 347 (6) здесь В,» (у) = (т,т») — П» Л,» ф и, следовательно, В,» (у,) = 6,», где у,— точка, в которую переш.ча точка $». Наконец, выделяя слева оператор Лапласа, окончательно придем к уравнению д О до — цао — (В»»(у) — 6у»)д д + В»д — — Р» у) (4) В результате перехода от координат х» к у» куб Я и шар Ш преобразовались соответственно в косой параллелепипед ~' и в эллипсоид Ш'.
Если е достаточно мало, то в пространстве координат у» можно построить такой прямоугольный параллелепипед П, что Шс: П с:Я'. Функция о (преобразованная к переменным у») является слабым решением уравнения (4) при краевом условии о', еи =О. (5) 3'. Обозначим через 6 оператор, обратный оператору задачи Дирихле для уравнения Лапласа в параллелепипеде 11; явное выражение оператора б дается формулами (1.!) и (1,2), Как мы видели (формула (1.12)), оператор 6 ограниченно действует пз 7.» (П) в Ж"'Ы(И). Воздействуя на обе части уравнения (4) оператором б, получим новое уравнение о (у) — Ро — То = Ф (у), где Ро=б~(В,» — 6;») д, То = 0 В» д — ~, Ф(у)=ЮР,. (7) Так как Р, ~:.7.»(П), то Фен )е"з" (П).
Покажем, что операторы Р и Т действуют в Ж''»" (П), причем Т вполне непрерывен, а Р ограничен и при достаточно малом е имеет сколь угодно малую норму. Пусть М вЂ” множество функций из Ж"," (П), ограниченное в норме этого пространства. Вложение ег»'(П) в Уе'(П) вполне непрерывно, поэтому множества производных вида до/ду», о ея М, компактны в В»(П). Функции В, ограничены, поэтому множество функций В,до(ду, также компактно в Ц (П). Наконец, оператор 6, ограниченно действуюший из (.» (П), в Уд'е" (П), переводит последнее множество в новое множество, компактное Уже в йге'(П).
Этим доказано, что оператор Т вполне непрерывен в (Р'," (П), Обратимся к оператору Р, Коэффициенты Ву»(у) непрерывны, и В,»(у,) =б„„поэтому если е достаточно мало, то ~ В (у)— — бг» ~.с'а, где о — любое наперед заданное положительное число. Тенер»и по неравенствам треугольника и Коши, имеем '») ду»ду» (е, оп 2г ~~ дурак»!1е, (ш Величину е можно выбрать сколь угодно малой, и мы вправе считать, что е~1. По формулам (1.12) н (1.18) получаем теперь неравенство (Ро(~ у,п, ==о~/т7г,„'Ы Отсюда видно, что Р— оператор, ограниченный в йг," (П), и его норма при достаточно малом е сколь угодно мала. Пусть е столь мало, что о'1 'тК, ( 1/2.
Тогда (Р,| ~ 1)2, оператор (! — Р)-' (! — тождественный оператор) существует, определен на всем пространстве 1Ге" (П) и ограничен, именно, )(! — Р)-'~! =2. 4'. Докажем, что уравнение (б) имеет одно и только одно решение в (Р'е-"(П), Воздействуем оператором (! — Р)-' на обе части уравнения (6): о (у) — (! — Р)-'То = (! — Р)-'Ф.
(8) Оператор (! — Р)-'Т вполне непрерывен как произведение ограниченного и вполне непрерывного операторов, и к уравнению (8) применима теория Фредгольма. Это уравнение имеет не более одного решения. Действительно, пусть таких решений два. Каждое решение уравнения (8) есть сильное, а следовательно, и слабое решение задачи (4) — (5).
Возвращаясь к переменным хм получаем два слабых решения задачи (2), что невозможно, потому что оператор этой последней задачи положительно определенный. Итак, уравнение (8) имеет в )Р'," (П) не более одного решения. В соответствии с теорией Фредгольма, это уравнение разрешимо. Пусть о — его решение.
Возвращаясь к координатам хю найдем, что функция о есть сильное решение задачи (2) в Й, где П— образ параллелепипеда П при переходе от координат уе к хе; более того, о есть функция класса (Ре' (П). Доопределим функцию о нулем на множествеЯ' П; получим таким образом слабое решение задачи (2) в О.
Но задача (2) имеет в Я единственное решение о=и(х) о(х). Отсюда и(х) о(х) =о(х) и ио еп %'е". (Й). Но Ш с Й и, тем более, ивеп $7(Ш). Если хяШ, то о(х)=1, и окончательно и ~ (е'е ' (Ш). Справедливо неравенство 3 )1ез ш» ~)у~,Р3с,~ш (9) в котором М вЂ” некоторая постоянная. Докажем это. Из того, что уравнение (8) разрешимо единственным образом, следует, что резольвецта этого уравнения существует, а тогда она ограничена.
Пусть У, — се норма; в таком случае ()и()е,» ~ А~1((! — Р) ~Ф) ~ ( 2М~(Ф(! е По формуле (7) и неравенству (1.18) имеем далее '~~ о,1„.„- цп --2М1Ко'. Ре Ц,<ги. (1О) 349 Линейное преобразование декартовых координат не меняет про- странства (р" и лишь приводит к замене нормы на эквивалент- ную; в частности, ~)Р~ ш«с(г!< (й) с>Г)', «и с=сонэ! (! 1) и ~!и ~~,„<й) «с,~! <>1„,п>, с, =сонэ!. (12) Из неравенств (1О) — (12) находим ')о(<и,-: (й)=2сс,/</>К<>~<~),,<пг (13) Оценим норму справа.
Приняв во внимание, что функции а(х) и А>э(х) непрерывно дпфферепцируемы, а функция С(х) ограничена, найдем па основании формулы (2.3) ~Е)г,<п> -с,",/(ъ,и»+с,," ис,<п>+с,) и ~; (14) жирные черточки означают энергетическую норму задачи Дирихле или Неймана, решением которой является функция и (х). По не- равенствам (5.9) н (5,10) гл.
4 имеем <<и>с,<а>«у ">>/(ъ,<п>', !и!«у '<</<)с,<п>, где у — постоянная положительной определенности рассматривае- мой задачи. Подставив это в (14), получпм (Р >ъ,<п> '- сь ( /д сз = сонэ!. Теперь из неравенства (13) следует )>о(<„,а <>>) «<>/<,>/!< и; /</= 2сс>с>/><Хо' заменяя здесь величину <!о<<>и«.,<й> пе превосходяшей ее величи. ной <~<в<! .. <ш> — — !<и)>г>. <щ>, приходим к неравенству (9), 5'.
Пусть !!> — внутренняя подобласть <1. По доказанному в п. 4', каждую точку х~1>< можно покрыть шаром Ш, в ко- тором слабое решение и(х) является также и сильным, именно, и еп %', ' (Ш), и при этом удовлетворяется неравенство (9). По лемме Бореля, замкнутую область (), можно покрыть конеч- ным числом таких шаров. Докажем, что слабое решение и(х) является сильным в Я< так, что и еи %7' (Р<), и справедливо неравенство (!5) Пусть Ш<" и Ш<з> какие-нибудь два пересекаюшихся шара иэ покрытия области 1!<. По теореме 3.7,2, и еп Ж7'(Ш«>() Ш<'>), Если Ш'"> — шар того же покрытия, пересекаюшнй объединение з Ш«>1)Ш', то по той же теореме и си (Р," ) ) Ш<">).
Продолжая / ь таким же образом, мы убедимся, что и ~ %7'! () Ш<">), где А— м=< 350 число шаров покрытия, 1-!о область й, содержится в своем покры- тии; по теореме 2.4,2, и ~ Ж',""(Р,), Далее, 4 , сио ==- 2 ~и ~ ..; ( ) п=:! и по неравенству (9) ~ и)муцоо .=)Уь() )ь,~о~ й(ь=йй? И Огмстим, что в процессе доказательства была установлена оценка (15) для 1Р';"' — нормы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
