С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 61
Текст из файла (страница 61)
2) и 3) Т' — оператор, сопряженный с Т. Условие (12) можно несколько упростить, Имеем !Р, о!д = = (6), о)д, по формуле (4) (г", о(д=((, о), и мы приходим к более простому необходимому и достаточному условию существования обобщенного решения уравнения (1): (!', и) =О, (1Зд 339 $7. ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА ДЛЯ НЕСАМОСОПРЯЖЕННОГО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ а !х.! 41~ !,' — "1--!.!~. 4=1 По неравенству Коши получаем ,ХЙ!-к"(ГЙ'1'"- - =('1 й(:-:) "Г'- Р' и„~,) ' дх! дхи ~ У и„ и Если у — постоянная положительной определенности оператора (3), то ~~и~~ =«! ~ и 14, и из неравенства (6) получаем 1Ки)~Я(ф !, + «)1и1А. (6) Неравенство (6) показывает, что оператор К действует из Нл в 4,,(х1) ограниченно, н )тверждецие доказано.
340 Рассмотрим уравнение д (А(4 (х) д — ) + Х (Ви (х) д —, + С (х) и ) = !Т (х) (1) и поставим для него задачу Дирихле и(г=О, (2) где à — кусочно гладкая граница конечной области ьх в про- странстве Е переменных х„хм ..., х . Будем предполагать, что А,и иеС!Т!(11), а Вх и С ограничены и измеримы в 11, а также что наше уравнение — невырожденнос эллиптическое в ь4, так что си А!А(х) (фи=-Ро ~~'., (4, Ра=сопз1>О.
4=! Введем обозначения Аи = — — -(АМ вЂ” !, и!Г=О, д I диТ (3) дх), ' дхх)' Ки= — Вх, +Си, и1г=О. ди (4) дхх Оператор А положительно определенный в Е, (14) (гл, 17, 3 1) и имеет дискретный спектр (настояшая глава, 4 2) Очевидно также, что оператор К действует из ни в 1.,(11), х(окажеу!, что этот оператор ограничен. Пусть 1Вх (х)1-=.Я, 1С (х)~ ~!4, !4 = сопз1, тогда Аи = — — ~А х — ~+ и, Фи=О, д дх~ 1 ' дхх) (9) Ки=Вх —. +Си, Ми=О; ди дхх (10) через й1и обозначена левая часть равенства (8).
Для слабого решения задачи (7) — (8) также справедливы утверждения 5 6. Таким образом, все условия 5 6 выполнены, и для обобщенного решения задачи (1) — (2) справедливы теоремы Фредгольма, сформулированные в конце 5 6. Упомянутое обобщенное решение будем называть также слабым решением задачи (11 — (2).
Задачу Неймана удобнее сформулировать для уравнения, записанного в форме д„-(А,„~„-)+и+) В„д— "+ Си) =1(х); (7) краевое условие напишем, как обычно: А,х -- соз (т, х,)~ = О. ди 'дхх ' 'г Удобно положить Глава 19 СИЛЬНЪ|Е РЕШЕНИЯ й |. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА ДЛЯ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА В Ч 1 гл. !7 было построено слабое решение и„(х) задачи Дирихле для уравнения Лапласа — би=)(х), и|зп=-О, (ее(з(П) в параллелепипеде П=-(х: 0<х!,(а~). Зто решение имеет вид (см, формулу (1.21) гл, 17) где а„, „, „= ~ ) (х) Ц з|п — "' " дх. 1! ь=! (2) Основной целью настоящей главы является доказательство утверждения, что слабые решения первой или второй краевой задачи для эллиптического невырождающегося уравнения второго порядка являются также и сильными решениямн; здесь предполагается, что коэффициенты и свободные члены уравнений и граничных условий, а также рассматриваемые области подчинены ограничениям, сформулированным в гл.
17. Напомким, что, по определению, данному в гл. 17, слабое решение сеть решение соответству|ощей варпашюнпой задачи (или, что то же, функция, удовлетворяющая соответствующему интегральному то!кдсству); об этом рсшепии известно, что оно принадлежит энергстическому пространству опсратора соответству|ощей задачи. Отс!ода следует, что в случае уравнения второго порядка слабое решенно имеет обобщенные первые производные, суммнруемыс с квадратом в данной области. Сильное решение, по определению, данному в той же гл.
17, имеет обобщениыс вторые производные (речь идет по-прежнему об уравнении второго порядка), Мы докажем, что в общем случае слабое решенис задачи Лирихле илн Неймана нмсст в рассматриваемой области обобщенные вторые производные (и, следовательно, является снлы|ым решсинем) и что эти производные суммнрусмы с квадратом в любой внутренней подобласти. В гл. 17, Е 4 такое утверждение было доказано для уравнения Лапласа, 11акопсц, будет доказано, что вторые производные сумчпрусмы с квадратом по всей области, сслн ее граница достаточно гладкая, Цель настоящего параграфа — доказать, что и»~ (р",т(П), и получить соответствующие оценки.
Обозначим Г ~п „! — 1 1» и ~ «1 л»пх п »1» и » ! (3) так что и»(х)=- ~~)' Ьил ..и Изш — "' ". (4) л, л„.... и » =.1 Формально дифференцируя ряд (4) по хь получим новый ряд .'и т (5) Величины аи „и суть с точностью до постоянного множителя и!п! 'т 2»ггхф''! П~ коэффициенты Фурье функции 7(х) по ортонормироги г 2тгх 'а' ° . л»пх»! ванной в (х(Л) системе (=лй1зйп — »»~. Отсюда следует, (1')П) - а» что сходится ряд «л л ..л г! т' и, лп п„; — ! Одновременно сходятся также ряды Пг!Ьгггп „,л, )=1, 2, ..., гл (6) (7) и и,...,п =1 З4Э 111!111»Ьп л ..и ° ), (=1, 2, ..., гп. (8) п!'л'" 'пт Сходимость ряда (7) означает, что в норме йх(П) сходится ряд (5); обозначим его сумму через о,(х).
В той же норме сходится, очевидно, и ряд (4). Из сходимости указанных здесь рядов вытекает следующее: если обозначить ИЛ (Х) = ~~ Ьи,п ...и Д а1П вЂ”, (9) л,п...,,л -1»=1 Г и"'' лг' ди, то илг(х)-, -,— ип(х) и — „- —,пэ 1'=1, 2, ..., т в норме Еп(П). По теореме 3,3.1 функция ип ен (!г1" (П) (зто вытекает также из общих свойств слабого решения), причем С т дан «Г«хГ .а-а- а»пх» и Ьл „., соз — И ейп —. (10) дхг аг луг г игл»'"иг» аг аа аа «» п,п, ...,л =-1 1' !' "'' пг »=1, »и'-! Теперь формально продифференцируем ряд (10) по х,. Используя сходимость ряда (8), мы точно так же докажем, что воен ен 1(Уо"'(П), пРичем втоРые пРоизводные можно полУчкть, дважды дифференцируя почленно ряд (4): доло ло дх, дхт а,ат и!пхЬ» и ...п Х 1 о"' и! и!' пл "' «и! л лх! птаху 'а ° лплхо хеопс — соз — и з!и —, ! Ф)'.
(11) а! ау И ао о=!,~~с,! дх' а' л!Ьп,„, „~ла жп I е й='!- В заключение докажем, что имеет место неравенство (14) 1ио,"о,о==- К,~!'~, К= сопз1. (12) Норму в йг"-,(П) зададим формулой 1и!!1,=!!и!р 1 1, ! — ! Из формулы (1,21) гл. 17 следует равенство 111 =, :п~,~, '"Л" " (13) п.п,,п =! С другой стороны, по формулам (11) и (3) по ш „— 2 Очевидно, †„ „ ~ 7 †, ( — и, следовательно, и=! 'дх!дхт ! (П! п,,пл ...,и„=! Далее, по формуле (1), А=! 1 $ 'и! Неравенство (!2), очевидно, следует из соотношений (15) и (16) при (17) 344 7 и! 1-о о=! Для последующего важно, что величина К остается ограниченной, если аи-а.О.
В частности, если аи (1, то м2 ! (18) й 2. УМНОЖЕНИЕ СЛАБОГО РЕШЕНИЯ НА ГЛАДКУЮ ФУНКЦИЮ Рассмотрим уравнение ы д (А ид +Си=((х); хееО, Генхх(й) (1) д I ди1 при краевых условиях задачи Дирихле нли Неймана, Пусть функция цен Сия(Й). Если и (х) имеет в й всевозможные первые и вторые обобщенные производные и удовлетворяет уравнению (1), то, как показывают простые вычисления, функция о (х) =о (х) и (х) является решением уравнения д ~А д.) где до ди д I да~ Е = о) — 2А „— — — и — ( А,и — -) — Сои. дха дхи дх! 1 ' дхи1 (2) Пусть теперь овей)по(й,), й, с: й, дй, енСио и что и— слабое решение задачи Дирихле или Неймана для уравнения (1) в области й. Покажем, что в этом случае произведение о=он есть слабое решение задачи — — (А,и — )=.г (х), хеей,; и'аа,=О.
д г ди1 дх,(, У дх„)— (4) Мы предполагаем при этом, что коэффициенты А,и и С подчинены ограничениям, принятым в гл. 17, и сохраняем принятые в названной главе обозначения. По доказанному в ~ 2 и в Э 7 — 8 гл. 17 и ее В',"'(й). Отсюда следует, что Р ее 7.,(й) и тем более г" я 1.4(й,). Справедливо тождество, определяющее слабое решение, 1и, Ч14=(1, т1), Ч~1 ее д Г ди~ ее Нл, здесь А — оператор — — (А и --)+Си при однородном дх~ (, Г дха) краевом условии задачи Дирихле или задачи Неймана. В более подробной записи А и — — 4(х = Д вЂ” Си) г1 дх; у т~ ~ Н„, ди дЧ дха дхт (8) а 345 Обозначим через Ни энергетическое пространство задачи (4); соответствующие скалярное произведение и норму будем обозначать через (,14 и ( 14 соответственно.
Очевидно, что о ~ и,. расслтотрим выражение ттт) Е- =Оо; [О т1]о= т) Ат» д д д(.) дч дхт, дх/ о, =~~ » -„„„",+ "',",:Д' тт, Первый член преобразуем: ди дч т' ди д (атт) Р ди да А,а - - — т(х = ~ А» — — — т(х — А» — — — т) т(х; т» дх» дх/,) т дх» дх/ ~ т дх» дх/ ит \ теперь ди д(аи) Г / да дп да ди'т [а, т))о= Ат»- - — т(х+ ~ А,» и — — — т)-- — —,дх. дх» дх/ д ' ( дх» дх/ дх» дх, Функцию т) распространим на всю область ло, положив т) (х) = О, х ее Р, лот. Очевидно, после такого распространения и ее Од.
Последнее тождество можно переписать так: [а, т)1~= ~ А» — т(х+ т) А»ти — --- — т) — —;т(х, (6) ди д(ач) (' / да дч оа ди1 ' дх» дх/,) ' т дх» дх/ дх»дх// й и, Очевидно, ат(ее О», первый интеграл в (6) равен [и, ат114, Но по тождеству (5) [и ат(!»=Д вЂ” Си, ат))= ) Д вЂ” Си)аЧт(х = ~ (/ — Си) ат) т(х, тт ит и получается равенство [о, т))о= ~ '[(7 — Си) а — А» -- -[т(т(х+ т А»и — — т(х. (7) ди да 1 т" да дч дх» дх/ [ 3 т дх» дх/ и, о', Можно доказать, что в О»для функций из В'." верна формула ин- тегрирования по частям. Применим сс ко второму интегралу (7) так, чтобы освободить Ч от дифференцирования, Поверхностный интеграл при этом исчезнет, потому что т) ее О, и, следовательно, тт ои, =О. Формула (7) приводится таким способом к штду [о, т)14= ~ [(/ — Си) а — 2А,» — — - — и — [Ат» — () т(/(х= ()т, т().
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
