С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 56
Текст из файла (страница 56)
5 4. ВТОРЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ СЛАБОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА Теорема 17.4.1. Слабое решение задачи Дирихле в конечной области !! для однородноео уравнения Лапласа с неоднородным краевым условием есть функция, еармоническая в Лз. Для уравнения Лапласа Ахв= 6,„, С=О, и тождество (3.9) принимает вид (1) Мы заменили здесь обозначение х на $. Возьмем произвольную точку х ае !! и положим в равенстве (1)т»=ааь(г), где г=, 5 — х~, а ыь — усредияющее ядро (З 1 гл.
2); зат радиус усреднения й следует взять меньшим, чем расстояние от точки х до à — границы области 11, тогда аь„(г) ~г О. Функция каа (г) зависит только от разности $ — х, поэтому — = —— ди» (к) дна (к) дЦа дка и тождеству (1) можно придать следующую форму: д Р дьо — — юа (г) аа = О. дха б) д$а По теореме 2.4.1 — ььа (г) Л1 =— дьо дааа ОО аа дха и, следовательно, хааа = О. (2) Если й- О, то оьа — 1 оа в метрике Еа(й) (теорема 2.2,3). По теореме 11.8.2 функция иь (х) гармонична в й. Теорема 17.4.2. Если 1 ырра(г)) и и„(х) есть слабое решение задачи — Ли =((х), и!г= О, (3) то и гн и'(й'), где а1' — любая внутренняя подобласть 11. Построим объемный потенциал Из теоремы 11,5.3 вытекает, что ф~ В7'(Й) и — Лф=~(х).
Функция и,(х) решает задачу о минимуме функционала поэтомУ„если а) — пРоизвольнаЯ фУнкциЯ из пРостРанства Ни, то кР(и,+гц) ~ к(((, ь=О, или ~~ф дч -(ц~ Ц=О, Чц =Н,. Сделаем замену иь — — оь+ф: (4) В тождестве (4) положим т1 ма (г), где юа — усредняющее ядро, г= ~$ — х~, х — точка области й и радиус усреднения Ь меньше, чем расстояние от точки х до à — границы области а1, Второй интеграл в (4) возьмем по частям: зоа интеграл по Г, очевидно, пропадает. Тождество (4) принимает вид юге дыа (г) ихеэ д., Те же преобразования, что и в предшествующей теореме, дают, что Лиаз=О, и, следовательно, функция и, гармонична в й.
Тем более поен ]йзи' (й'). Но тогда и ио=(па+те) ен ]]т!'(й ) И Из теорем настоящего параграфа вытекает следующее утверж- дение: для уравнения Лапласа, однородного или неоднородного, слабое решение задачи Дирихле является также и сильным решением. Замечания.
1. Теорема 11.Б.З позволяет сделать также и следующее заключение: если в уравнении (3) функция 1(х) удовлетворяет в 11 условию Липшица с показателем и, О (и С 1, то вторые производные слабого реше- ния и„(х) задачи (3) удовлетворяют тому же условию и с тем жс показате- лем в любой внугренвсй замкнутой подобласти Й'. 2. Справедливо также следующее утверждение: если г ш 1и (Я), 1 < р <оп, то функция из — слабое решение задачи (3) — имеет псевозт!ожйые вторые обобд'из щепные производные — ш Бр(гз'). это утверждение вытекает из свойств дх дхз обьемного потенциала, сформулированных в замечаник к 4 Б гл.
11. й 5. ОБ услОВии пРОдОлжимОсти Теорема 17.5.1. Пусть конечная область й е= Е ограничена поверхностью Г енС!'1, Для того чтобы существовала функция тР ~ ]и",и (й), удовлетворяющая краевому условию тР (х) ]г ф (х), необходимо и достаточно, чтобы гр ~ Кч!'з! (Г).
Доказательство проведем для простейшего случая, когда т= 2 и й есть круг р(1; через р и б здесь обозначены полярные координаты. Если существует какая-либо функция тр, о которой говорится в теореме, то существует и гармоническая функция с тем же свойством, Действительно, если ф существует, то вариационная задача (З.З) — (3.4) имеет слабое решение па(х), принадлежащее классу ]йзи'(й) и совпадающее с гр (х) на границе Г области; по теореме 17.4.1 это слабое решение гармонично а й. На окружности Г: р=1 положение точки определяется заданием полярного угла б, поэтому будем писать гр (б) вместо гр(х).
Разложим гр(б) в ряд Фурье, и пусть гр (б) =аз+ ~ч (а„созпб+д„з(ппб), (1) а 1 Докажем прежде всего, что условие гр ~ ]]Рз~ ~ ! (Г) равносилыю следующему: В(гр) =,У', п(а,с+аде) (со; Р) и=! при этом с! (аз+ В (гР) ] «]] гР ]1*,„ч, ( сз (а„+ В (<Р) ], (3) 309 где с, и с, — положительные постоянные. Для того чтобы )ран ен (Р',п~) (Г) необходимо и достаточно (см, формулы (1.2) и (1.3) гл. 3), чтобы /()Р)= 1 '! 1)Р( 1 )Р( 11 )(ОМ 'оо. ( — О)» Л ~ Полагая В = ()+ Ь и пользуясь периодичностью функции Ч), получаем Х ()Р) = 1 —, ~ 1)р (6+ ))) — )р (О))»»(д ! )й.
—,й»,, (4) Используя разложение (!), получаем для у ()р) выражение »и Нп' —— па lЩ=4 ~, )п.)В,') ~ „, И» и 1 или, если сделать замену — -=1, п)! 2 СО пп рп)-2 т,! „-)-к) ~ — "'„' а. л=! Положив (8) зю г нп'! »)п! ! с'= т —,сУ, с"= ~ ', Й=п, получим 2пс'В ()р) =. У ()Р) ~ 2пс"В ()р); (5) неравенство (5) показывает, что включение и) ен Яг»)п') (Г) и нера- ненство (2) равносильны. Норму в (Р)п~'(Г) можно ввести по формуле ~)РПгоа) )г) =~)Ч)~Еа(г) + У ()Р); (6) эта норма, очевидно, эквивалентна норме (1.3) гл. 3, если в пос- ледней положить р=2, 1=0, Р,=!/2. Формула (3) вытекает из (5) и (6). Введем в рассмотрение функции: п )р„((1) = а, + ~ (а» соз Ю + ()» з)п Ю), (7) »-! и )р„(р, ()) =а»+ У', р'(а» соз))()+5»з)плб), » ! )р(р, 6) =а»+ ~к~ р»(а»созл()+5»з)пйб). »-! Функции ор„непрерывны на Г, а функции >р„(р, 6) гармоничны при р(1 и удовлетворяют краевому условию >рл (1, д) =- = >рл(б), Очевидно также„что >р„ен %'ол'(»1), а ор,(О) можно рассматривать как значения фл(1, д) в соответствии с теоремой 3.3.2.
Это значение будем называть следом функ>1ии >р„(р, 6) при р=1. Нетрудно убедиться, что ф он%7'(()). Действительно, для этого необходимо и достаточно, чтобы был конечным интеграл Дирихле Последний интеграл легко вычисляется и приводит к соотношению Р (ф) = и 2,' л (ао+ Ь„') = л В (ор), (10) л ! из которого видно, что величина Р(ф конечна. Будучи функцией нз %>.',"(й), функция ф(о, д) имеет след, который обозначим через >ро (д). По уже упомянутой теореме 3,3.2 оператор, который сопоставляет функции ее след, дей- ствует ограниченно из %'ол'(»о) в !'.»(Г). Существует, следова- тельно, такая постоянная с, что >! >рл — оро>>с>г> = с '>р„— ф'„,, =сР(ф — >р)+с>>ф — >р„"1,>п> = оо = сп ~> А (а»о+ Ь») + - —" ~„за+ — „О. »=л+ ! »=л+! Одновременно (>р„— ор>!.,>г, — „О.
Отсюда оро = >р, и функция >р (6) удовлетворяет условию продолжимости, Обратно, пусть Ч> (О) удовлетворяет условию продолжнмостн: существует гармоническая функция >р(р, д) ен й>7'(Й), след кото- рой >р(1, 0) = >р(О). По теореме 3,3.2 функция >р(6) суммнруема с любой степенью и, в частности, >р енто(Г). Напишем для функ- ции ф(р, д) ее ряд (9) и определим функции >р„(О) и >рл(р, 6) формулами (7) н (8). Положим еще >ро(д) =ао+ ~ (а»созйб+Ь»з(пйб), (П) »=! где а„а», Ь» — козффицненты ряда (9). Как и выше, найдем, что >> >рл — >ро 5.,>г>„— — 0 и >; Ч>л — >р)!.,>г>„— — 0; отсюда оро = >р. Формула (10) показывает теперь, что В (>р) ~со и следовательно, >р~%'>>л> (Г). Для рассматриваемого случая теорема доказана полностью.
В з>! й 6. ФУНКЦИЯ ГРИНА Для определенности будем рассматривать задачу Дирихле для уравнения Лапласа; относительно области й, в которой строится решение, будем предполагать, что она конечная и имеет кусочно гладкую границу, Заметим, что функцию Грина можно строить для значительно более общих уравнений и для других краевых задач. Рассмотрим задачу — й!и=)(х), хай; и~за =О; ~ен1н(й). (1) Оператор этой задачи, как и в предшествующих параграфах, обозначим через 2(. Как было выяснено„й( — положительно определенный оператор в пространстве 1,,(й); если (в„(х)) — система функций, полная и ортонормированная в энергетическом пространстве Ни, то (см. $ 1) слабое решение и, (х) задачи (1) дается формулой и« (х) = У ', Д, в„) а„ (х) = 'У,' в„ (х) ~ ( ф а„ ф й4. (2) «=! «=1 и Функции класса Спп (й), обращающиеся в нуль на границе дй, образуют область Р(М) определения оператора ц!; отсюда следует, что множество этих функций плотно в Нз! н функции в„ можно выбрать из указанного множества.
Поэтому ниже будем считать, что а„енС!'!(Й) и, конечно, в„(х) =О, х~дй. Введем в рассмотрение пространство основных функций Р(й) = =2!1! !(й) и соответствующее пространство обобщенных функций Р'(й), Рассмотрим ряд 'Я а„($) в„(х), «.—.. ! в котором будем рассматривать х как параметр, а $ как независимую переменную. Теорема 17,6.!. При любом фиксированном х ен й ряд (3) представляет собой обобщенную функцию из пространства .У" (й), которая на любую основную функцию действует по формуле (2).
Пусть (ен!2! (й); тем более 1" ~Е,(й) и ряд (2) дает решение задачи (1), Достаточно доказать, что сумма этого ряда при любом фиксированном х ен й представляет собой линейный непре. рывный функционал над в!! (й), Решение задачи (1) можно строить следующим образом. Построим объемный потенциал (4) Плотность Г($) этого потенциала, очевидно, суммируема с любой степенью, и йз теоремы 11.5,2 следует, что функция !р(х) непре- з!7 рывна. Докажем, что ф ен С'"' ((1). Действительно, — ~16) — —.4= дд ! Г д дх1 (х! — 2) ', 5, ~ ~ - дх1 гх' 1 Г д 1 интегрируя по частям и принимая во внимание, что ( финнтна в Р, получим дф 1 Г д) 1 — — сф. дх1 (т-2)~5,),) д11 г'х'з Таким образом, производная дф(дх, есть объемный потенциал с финитной плотностью дрд$1.
Прежние рассуждения показывают, что ~ ~С!" (й), или фСпо(й), и дх~ Уф 1 Г д21' 1 — — И$. дх дхх !м — 2) ~ 5, ! 3 Ятд$» ! Аналогично найдем, что при любом мультииндексе и будет ф~Сн" п(й) н 1)"ф (х) = ' . ВР ($) — ' %. (5) Утверждение доказано. Положим теперь и,(х) =ф(х) — о(х), где иа(х) — слабое реше- ние задачи (1). Тогда о(х) есть слабое решение задачи Ло=О, (о — !Р) ен нз1.
как было доказано в 3 4, функция о гармонична в 11. Теперь ясно, что и,(х) ~ С! >(11); тем более эта функция непрерывна в 11 и потому вполне определена в каждой точке кем 11. Это означает, что ряд (3), рассматриваемый при фикси- рованном значении х ен 11, приводит каждой основной функции 1 в соответствие вполне определенное число — значение п,(х) в этой точке. Таким образом, ряд (3) при фиксированном х ~ Й опре- деляет функционал (очевидно, линейный) в Ф'(11), Остается доказать, что функционал (3) непрерывен в В (11), Пусть 1„(х) — о — ) (х). Положим и„(х) = ~' ()„, ы„) вх (х), Ф-1 1 Р ! фл (х) = (щ 21 3 ~ ~ 1л 6),.п-2 ~%~ о„(х) = ф„(х) — и„(х). Ядро со слабой особенностью г'-" порождает оператор, ограни- ченный в С(Й) (теорсма 1.3.1), поэтому ф„(х)„-.-ф(х) равно- 313 мерно и, тем более, к каждой точке области г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
