С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 52
Текст из файла (страница 52)
(ь) - — )п — г(ЕГ + ~ а (ь) !(ЕГ. г г Это приводит к интегральному уравнению а (х) + — ~ ~ - ! п —, + 1( а (ь) с(гГ = - гР (х) . (17) г Как и в й 5, доказывается, что уравнение (17) всегда разрешимо. й Т. УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА ДЛЯ КРУГА Пусть 1" — окружность х',+х1=гх', Вычислим ядро потенциала двойного слоя в предположении, что обе точки х (х„х,) н ~(е„$,) лежат на этой окружности. Имеем д 1 1 дг 1 дг сов(ч, г) — !и-- = — — — соз(у, $,) — — -.— соз(т, $,) =— дм г гдм г дзг На окружности направление у совпадает с направлением радиуса, проведенного в точку е. Из рис. 21 ясно, что (мы обозпачилн 284 угол (т, г) =()) л — 29 с=2)т з(п 2 — — 2Й сов(), отсюда д 1 1 д ° = М вЂ” !и — = — — х, ьен Г, Поменяв местами х н ь, получим д 1 1 дл г 2>1' — !п — = — — х, ь енГ.
Ядра уравнений (В) и (Ж) оказались вырожденными, и эти уравнения решаются элементарно. Разберем здесь уравнения внутренних задач; решить интегральные уравнения внешних задач предоставляем читателю, Обозначим через 8 и л> углы, которые радиус-векторы Ох и 0$ образуют с осью х,. Тогда дтГ=Й Йо. Далее, функцию точки х ен Г можно рассматривать как функцию от 9. Соответственно с этим будем писать о (9) вместо о (х) и т. и. Уравнение внутренней задачи Дирихле принимает вид (2) !>ис 21 о(8)+ - ~о(ь>)(( = — — гр(9). 1 !' 1 1 Г 1 Положим — () а (ь>) Йэ = с, тогда о (9) + с = — - - 9 (9), 2л ! и — и инте- 295 1 Г ! грируя, получаем с= — 4— ., ~ ((>(ы) ((е>.
Теперь а(8) = — ~Г(9) — с и и (х) = — ~ ~ -9>(ь>)+с~э !и- (((Г = г (' д 1 (' д 1 — — ! (р (а>) -; !п — ((а> — с ! -, !и — А,Г. л с д> г ,)д> г — л 1 Точка х теперь лежит внутри круга, по формуле (6.6) имеем Я Г д 1 ц(.х) .= — л- ~ %(а>) ч1п — (((> г2пс= ду Далее, д 1 1 !и — = — —, ((ьт — х~) со5 (м~ ф~) + (ь2 — хз) соз (ы, Цг)) =- яр ((зт — хд К~+ (ы хз) в~) = =,.цГ'— 1 ~Р <=,х, -'; с,х,) Имея в виду, что га == ("„— х )'+ Я вЂ” х )' = Й'+ р' — 2 Яф, +$~х2), ~Р =. х + х1, В ! ! 1<2 — р~ получаем — (2Й 1п -- — ) ! =-: и, следовательно, дт у л~ — р'- и (х) =- — ~ Ч (ы) —, йз.
Это уже известная нам формула Пуассона для круга. Уравнение задачи Л1, для круга имеет вид р. (Е) - 2'- ~ р (га) й = ' ф (а), <5) 1 Г 1 Полагая — ~ р(м) йз=с„, имеем )с(6) — с,=- — ф(О), Интегрирование зтого равенства приводит к уже известному необходимому условию $ ф(В)с<В=О! (6) постоянная с, остается произвольной. Если условие (6) вь1пол- 1 нено, то решение уравнения (5) имеет вид р(0) =--ф(е)+с,; решение задачи й1, дается формулой и (х) = — ~ ф (е1) 1п — йс+ с,)с ! 1п — йз. л с Г Нетрудно доказать, что второй интеграл есть постоянная, и мы приходим к формуле Дини и(х) =-- ~ !р(ы)1п- йз+С, С=-сопя<.
Глава 1б ЗАДАЧА О КОСОЙ ПРОИЗВОДНОЙ й ! ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Краевые задачи, рассмотренные в предшествующей главе, обладали «фредгол ьмо вски ми» свойствами: либо эти задачи допускали одно и только одно решение (задачи ГТ, и !»«, задача М«при т)2), либо нарушалась теорема единственности, и однородная задача имела линсино независимые решения- тогда число таких решений оказывалось конечным, а неоднородная задача была разрешима тогда и только тогда, когда заданная краевая функция удовлетворяла такому же числу условий ортогопальностп (задача М„задача А'„при и — 2).
В настоящей главе будет рассмотрена новая краевая задача, которая в общем случае не является фредгольмовской,— это задача о косой (иногда пишут «н а к л о н н о й») производной. В т-мерном евклидовом пространстве Е,„рассмотрим область !!. Для определенности допустим, что эта область конечная и что ее граница 1' есть ляпуновская поверхность. Рассмотрим некоторую окрестность поверхности Г. С каждой точкой х' этой окрестности свяжем некоторое направление ) .=. А(х'); будем считать, что ). (х') сеть непрерывная функция от х'. Подставим задачу: в области»! найти решение эллиптического уравнсния дх ' »»дх '+»дх (1) при краевом условии 1!1и -.дх — + о (Х) и (Х) =- ф (Х), Х е= Г, (2) где а(х) — функция, заданная на Г.
Задача (1) — (2) и называется задачей о косой производной, Если иа поверхности !' направляющие косинусы со» (А, х») пропорциональны величинам А,»со»(», х,), гдс ъ — нормаль к Г, то задача о косой производной переходит в задачу !1сймана. Задачу о косой производной будем решать в след)ющпх, су1цсствеппо более частных предположениях. Примем, что !! есть односвязиая конечная область двумернои плоскости (в дальнейшем будем писать просто «плоскость») координат х„ х, а уравнение (1) есть однородное уравнение Лапласа д»и, д»и (3) Допустим еще, что граница Г области !2 есть простая замкнутая кривая с непрерывной кривизной. Область !! можно конформно 287 отобразить на единичный круг. Конформное преобразование не меняет уравнения (3) (см.
3 2 гл. 11); нетрудно понять, что вид краевого условия (2) при этом также не меняется, Имея это в виду, будем в последующем считать, чзо ГЕ есть круг х+х!с 1. (4) Будем пользоваться обозначениями х, + !х. = г = — ре'ь, Е = Р' — 1, е'" — -Е; если $= — Яо ~,) — точка на окружности 1' круга (4), то будем также писать $!+4з=ь=е'", Далее, если д(х) — какая- либо функция точки х=(х„х) ~Г и Е=х,+!х,, то будем писать й (Е) ваьесто й" (х). Краевое условие (2) можно записать в виде (знак предела отбрасываем) соъ Л(Е) д— + з!и Л(Е) д +о(Е) !!=Ч(Е) (5) Здесь Л(Е) означает угол между направлением Л в краевом условии (2) и осью х,.
По смыслу задача функции е"">, п(Е), ф (Е) 2п-периодьшны по Ь. Примем дополнительно, что о (Е), !р(Е) ее 1!р (!'), 0<а<.1, а е""' е С"'(Г). Е 2. СЛУЧАЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ. ИНДЕКС ЗАДАЧИ Рассматривая задачу о косой производной, будем искать ее решение, принадлежащее классу С"! (11), Если такое решение существует, то оно имеет непрерывиу!о на Г=д(1 нормальную производную; из результатов 3 б гл, 15 следует, что искомое решение допускает представление в виде потенциала простого слоя, Пусть 1 Г 1, 1 Г ! и(хм х!) = — !) р(Ь) 1п — !ЕсГ= — д! р ф )п — !Ем, г т=!ь 3), хе=Я! (1) мы пишем здесь — р(ь) вместо принятого в гл.
14 и 15 р(Е). 1 Функция и есть вещественная часть голоморфной в О. функции ) (з) = — ~ 1! (Ь) !и — г((О, (2) г Положим Е(2) = и (х„х,)+ (о (х,, х,) и продифференцирусм равенство (2) по х,. Приняв во внимание уравнение Каши — Рнди ди мана — = — -, получим дх, дт., ' ди .ди ! !' дм 1 ГН(Е) А; -- — Š— = — т р(ь) (3) дх, дх~ я ,'! г х га т В формуле (3) устремим г к некоторой точке Е на окружности Г. По формулам Сохоцкого — Племеля (формулы (5.5) гл. 6) полу- 288 чаем — — — = — + — ~р(~) —, 1~1'.
ди . ди 1с(1) ! !' дм дх, дх„! и ~ (4) Отделим вещественные и мнимые части, для чего положим à — (=ге'т; напомним еше, что ь=е'", (=ем и что функция 11(~) по самому определению — вещественная. Совсем простые выкладки дают равенства = )х (1) соз 6+ — „)х (ь) — т с(~, — „" = (х (!) з! и 6+ — ~ (с (Ь) — 'т !(с». г Далее, — т=йе( ) — ( + .
) и, следовательно, ссхт 1 1 — Ц дс с!по — сЬ= — — ' —. = — — с(1.—— х 2ь Ь вЂ” 1 Ь (,— ! 21Ь! ' отсюда — =р.(() соз6 — — рф — —— ди „„О Г дг ! ГИ(С) дх~ — 2ъс ~ (5) 1О с. г. миххин 2ат и аналогично — = р (!) 21п б + — ~ и (~) — — — ~~ —.
с(г, ди . сов Ь Г д( 1 Г И(,") дх~ и 3' Ь вЂ” ! 2и! (6) г г Подставив (5) и (6) в краевое условие (1.5), получим одно- мерное сингулярное интегральное уравнение для неизвестной плотности рк соь (). — 6) р (!) + ! 2 1п (Х вЂ” 6) (Яр) (1)— с«'-е т и(х) а(!) Г ! — —,„, ~ —,. а+ — „'р(~))п —,( =ф((); (7) Г здесь Я вЂ” сингулярный оператор Коши: (Ъ1х) (!) = -,-. ~ Р (с) ь — "!.
г Символ (см. гл. 6, 2 4 и 7) уравнения (7) !е'1х-е', 9 = —,'- 1, сок() — б)+!0згп().— б) =1 (е ' О=- — 1 нигде не обращается в нуль. Отсюда следует, что в пространстве А, (Г) уравнение (?) нормально разрешимо и имеет конечный индекс. Обозначая этот индекс через и, имеем по формуле (8.1) гл. '6 к = — '. ~ д!па-"'"и! ш =2 — --() (())г' (8) г через [ !г обозначено приращение величины, записанной в скобках, при обходе контура Г в положительном направлении, Заметим, что индекс (8) -четный.
й 3. О НЕПРЕРЫВНОСТИ РЕШЕНИЙ Теория сингулярных интегральных уравнений, развитая в гл. 6, позволяет делать заключения о решениях этих уравне- ний, принадлежащих к классу Е,(Г). Между тем соображения теории потенциала, которыми мы воспользовались в начале й 2, требуют, чтобы плотность р(!) была непрерывной. Докажем, что прн предположениях, сделанных в конце Е 1, любое решение уравнения (2.7), припадлежашее к классу Ц(Г), удовлетворяет условию Липшипа с показателем ()=т!и!а, — ~; в частности 2/' этому условию удовлетворяют решения однородного уравнения, которое получается при замене функции ф(Т) нулем. На обе части уравнения (2.7) воздействуем регуляризатором (см. $ 7 гл.
6), который в данном случае имеет вид )с=сов(Л вЂ” д) У вЂ” (з!п (Х вЂ” 6) 5; (1) здесь 7 — тождественный оператор, Тогда получим фредгольмоз- ское уравнение, которому удовлетворяют все решения уравне- ния (2.7), г 2л хЯ (е""- ') (() — )т — р (ь) !п — йо (!)+)с (ф) (т); (2) для краткости здесь обозначено сох(Л вЂ” д)=а(!), з!п(Х вЂ” д) = = Ь (!). По теореме Привалова (см. 5 5 гл.
6) функции )т (ф) (!) и )с(енх-ш)(!) удовлетворяют условию Липшица с показателем х, Далее, из теоремы 7.6.2, которая прн естественных изменениях верна и для однократных интегралов, вытекает, что функция Х (() = „- 1 р (ь) 1п —, ( (3) г 290 имеет обобщенную производную а)п — ' ас бх (Г г(б и ) )'(ь) ЗЬ =2ч ~)'(ь) к 2 1 С ы — Ю о 2п = а.) г 1 "ь+2;и 1'©"" г мы здесь воспользовались тем, что à — единичная окружность и, ы — 6 следовательно, г=2 ~в(п Сингулярный оператор Коши ограниченно действует в Ез (Г), и формула (4) показывает, что с(х!с(() ~~в(Г).
Отсюда следует, что д ееЕ1рыз (Г), Действительно, пусть, например, д, ) дз и (а=его, гзк вго „тогда о, 1)((1,) — )((1,) = "й~ бб «3'д,— 6,)г 1(л( зе )(ге!ф 6,— е,. ~5) Ог Теперь, очевидно, о)(я Ь(рр(Г); по теореме Привалова )т (о)() ее ее 1лрр (Г). Из условия ен-и) ~ С"' (Г) вытекает, что ядро имеет непрерывнъ|е первые производные по 1 н е †Отсюда вытекает, что произведение Ь (() р,(ь) цгь непрер а(г)-а(() рывно дифференцируемо по ( и, следовательно, принадлежит к классу Ырт(Г). Аналогично исследуется и второй интеграл в(2). Итак, каждое слагаемое справа в (2) принадлежит к классу Липшица с одним из показателей 1, и, (). В таком случае сумма )ь(1) принадлежит к классу Липшица с наименьшим из этих показателей, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
