С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Если 1енГ" (х,), то ~3 — х„г — с( и $ — х~ =.- ( $ — х,~ — (л.— х,!)г(/2, отсюда г'(ха) рис гу ( д ! 1, 2~П '(вг-2) Г'(х„) ~ 2'" '(и-2) ~Г ) — —,~~Утг-.= х"' (л,г Остается рассмотреть интеграл ~--,'т —,„, ~ г(-,Г = (и — 2) ~ ' — ".',т) ' г1,1'. г'г г г гог 255 Построим местную систему координат с началом в точке х,; ось х направим по нормали к 1' в х,.
Положим 'х — х,(=б, 6(42. Местные координаты точки х суть (О, О, ..., О, (-6). Обозначим через С'(х,) проекцию поверхности Г(х,) на касательную пло- скость в точке х„, тогда ,ов(» р), 1 1 ( (срр(г, «)(!(1! ((1! ... !(бг~ г~! ' .) г"! !с05(У, з,д! н (г,! С' (г,) С (х! здесь применена оценка (1.11), Положим р'=Ц+Ц+ ... +$-;„!. Из формулы л т — ! г' = г,' ($» — хр)' = ~ Ц + Я,„— х,„)' = РР + Я,„+ 6)' Ф=! р=! вытекает, что г)р, С другой стороны, область 6'(х,) опреде- ляется неравенством г< ((. Но г)р, поэтому и р~((.
Это зна- чит, что область 6'(хр) лежит в (л( — 1)-мерном шаре р((( и из формулы (!0) получаем неравецство т (уч! р<Ы Если 6=0 (т. е, х=х, енГ), то по неравенству (1.10) (12) и, следовательно, !яу! $ с (! — ! а =сопз. с рт-г-К г (гн р<з Попутно доказано, что интеграл (6) существует при любом хан Г, Пусть теперь 6- О. Имеем цепочку неравенств ~ соз (г, т) (= Соз (г, $р) соз (р, 5„) (-- --а(т — 1)г",+ " (а(гп — 1)г„"+ га+! 6 гр~„+ 6 +с — "+ — (а(т — !) г„'"+а — "+— Здесь гр=($ — хр); мы воспользовались оценками (1,6) и (1,12), Лалес, справедливы соотношения р<з г!г ~ 2 (~ — 1) ) — ", (($, ((аа ()~,-(- р<з га+ ! +2а ~ — "((с! Д, ... ((5„,,-)- р<а +26 () —,„, ((5(((Ер ...
Щ„! !. (14) р<и Оценим величины «, и «через р. Величина «, оценивается по формуле (1.8), так как в последней «есть расстояние от точки $ до начала местной системы координат. Таким образом, «,=--2р. Чтобы оценить «, поступим так. Имеем равенство «'-.= 1 .=р»+6„',+61 !-2$„6, Далее (2$6( = — 61+2Е',. Отсюда получаем «' ==-. р» + —,- 6' — 3,-"„, ПО фОрМуЛЕ (1 6) ~ $т ~ =- Ср"" <-- С!("р. РадИуС Г( можно взять сколь угодно малым. Пусть он таков, что с«(" (1Д' 2; тогда «'== (р'+61))2. Теперь нетрудно оценить интегралы в (14) справа. Первые два оцениваются совсем просто: «," Ж!»1, ... »йт '( 2т» ~р" »»1!(11 „, »5т 1 «т. 1 (р'+61)~т» 1П» »<» --2т 1<т ~ »»1 =1 " »»!1~ 1 - Н1 т-1-т =с р<» р<» и аналогично ' =2 ' '-'" «2' -' т!-! е «т рт — 1-т =сопз . р<» р<» Перейдем к оценке последнего интеграла.
Используя оценку для «, находим 2»6 т' ) (р» 1 61)т,» р<» С2 6 ~ "-'"'*"-"-- (Р'+ 61)!»!1 т-1 "'л»61 ... »$ «т »<» В последнем интеграле положим т-! 6»=6«)», й=1, 2, ..., и! — 1; ~~ т)»»=р,', »=! тогда »61»=1 д т. 1 (»ч1»ч2 (Р1-П6')т "" » (р" + ))т ' и е т-1 т-1 АГ =.-: С', О = 6 ~ 42. 1 (т) 9 С. Г. М 1. »» 257 Последний интеграл сходится и равен некоторой постоянной. Теперь ясно, что при О <- 6 ( гО2 интеграл (14) не превосходит ъ!екоторой постоянной. Но зто утверждение верно п при 6=0 (формула (13)). В таком случае сучцествует такая постоянная С', что Приняв во внимание неравенство (9), видим, что теорема 14.2.1 верна н при 6) —; при этом можно положить 2 ' С 2'ч [(в[ — 2) [!' + С, ° В[в 1 й х г(еямое знАченне потенциала двойного слоя В 4 4 гл, 11 был определен потенциал двойного слоя как пнтсграл вида В'(х) =.
~ о (с),,-т —,„, .;дзГ, д ! (1) и где м — внешняя нормаль к поверхности Г в точке с. Было доказано, что Ф'(х) - -функция, гармоническая как инутри, так ц ш)с Г; на самой поверхности Г потенциал (1) не был определен, Будем считать теперь, что à — замкнутая ляпуновская поверхность и что плотность а(с) непрерывна на этой поверхносчи. Прн таких )словиях справедлива след)ющая теорема. Теорема 14.3.1. Поп)ен!(иол двойного слоя (1) имеепг вполне определенное значение при любом х, лежаи(еж ни поверхности Г.
Это значение непрерывно л)еняет.я, когда х пробегает поверхность Г. То, что интеграл (1) существует, если х е- =Г, доказывается просто. Плотность о(з) непрерывна на компактном множестве Г и потому ограничена. Пусть (и Д) (===М= — сопя(, тогда (о(ь) д', щ-а~ =М)д ш — [~ (2) В предыдущем параграфе было доказано, что интеграл (2,6) существует при х~Г, иначе говори, что при хе=Г функция д ! — — —., ~ с)ммируема на Г. Но тогда суммнруема на Г н левая дч ел[ часть неравенства (2) и, следовательно, для указанных х интеграл (1) существует.
Локажем теперь, что при х ~ 1' интеграл (1) нспрерьп!ен. Оценка (1.!0) показывает, что потенциал (1) есть интегральный оператор со слабой особенностью над функцией о(с); ядро этого д ! (и[ — 2) сов (и ч) оператора,„з = — „, ' представим в виде д ! ([и — 2)г з [[ъ(п тд дч г[[' и [и †г з Обозначая числитель через А (х, $)„видим, что при х~ 3 функция А(х, $) непрерывна на Г.
Если хе-:Г и х-~$, то в силу неравенства (1,17) А(х, с) — [-0 Положим Л(х, х)=0, тогда А(х, 4) непрерывна на Г прн любом по.южении точек х и с. 258 По теореме !.3.1 оператор (1) переводит любую функцию класса Ер(Г) в непрерывную, если р достаточно велико. Непрерывная на компактном множестве Г ф) пкция ограничена и, следовательно, суммируема с любой степенью, поэтому оператор (1) псрсвоппт непрерывную функцию в непрерывную. Но а(ь) по предположению непрерывна, а тогда и потенциал двойного слоя непрерывно меняется, когда точка х движется по поверхности Г. (й$ Значение потенциала двойного слоя при х ее Г называется прямыя зничением этого потенциала.
Теорему 14.3.1 можно, очевидно, сформулировать так: Ес аи à — заикнвтая ляпрновскал поверхность и плотносгпь о (с) непрерывна на Г, то прямое значение потенциила двойного слоя (1) существует и непрерывно на Г. 4 4. ИНТЕГРАЛ ГАУССА Так называется потенциал двойного слоя, плотность которого тождественно равна единице: )Г, ( ) = ~ — ...йвг. д 1 г Здесь à — замкнутая поверхность и т — внешняя к пей нормаль в точке $. Теорема 14.4.1. Если поверхность à — замкнутая ляпуновская„ то значения интеграла Гаусса определяются формулой — (т — 2)(5,(= —, ' для х внутри Г, 2(т — 2)п г( — ) 12 ) О для х вне Г, (2) В'ь(х) = м — 2,, (ь~-2) и е 151' = Г~— 121 для хееГ, 259 Сразу же заметим, что первые два равенства (2) верны для любой замкнутой кусочно гладкой поверхности Г, — это и будем доказывать.
Пусть Т вЂ” кусочно гладкая замкнутая поверхность и пусть точка х лежит внутри Г, Опишем вокруг этой точки сферу 5, радиуса е; последний возьмем достаточно малым, так чтобы сфера 5ь лежала внутри Г. В обласги, ограниченной поверхностнми Г и 5„функция 1(г" ' гармонична, поэтому в силу формулы (6.9) гл. 9 ~,', —,.— '., йг+ 1 —,'-,.'.—,й5,=-О, (3) г" Ь На 5, нормаль т направлена против радиуса, отс!ода д 1 Г т — 2 д г(5е=~ ~~ ~ й5е=(!и — 2) '~~ ~ =(!и — 2)'5!' (4) ье! дч а эе и первое равенство (2) доказано, Еще проще доказывается второе равенство (2); если точка х лежит вне Г, то функция 1)г -' .Г гармонична внутри Г и г Займемся третьим равенством аг (2).
Пусть à — замкнутая ляпуновская поверхность и х ен Г. Речь идет о прямом значении интеграла Гаусса, существование Рис 18 которого вытекает из теоремы пред- шествующего параграфа. Остается это значение вычислить. Возьмем число е, 0(а<о, и опишем вокруг точки хенГ сферу 5,радиуса е. Часть поверхности Г, лежащую вне сферы, обозначим через 1'„', а часть сферы, лежащую внутри Г,— через 5,' (рис. 18). Так как интеграл Гаусса сходится при х~Г, то )Р.
(х) =1 1 — — „, (ь1, д ! (5) д» ге Точка х лежит вне области, ограниченной поверхностями Г; и 5;; в этой области функция 1/г"-' гармонична и, следовательно, д 1 Г д 1 — —,, !(!Г+ — —,, 1(15,=0. 11о тогда Е Ко(х) = — 11гп 3 Ж =Д.5' Г д 1 (6) 6 О Зр В интеграле (6) нормаль т направлена против радиуса, поэтому (7) Прн з, достаточно малом, поверхность 5,' близка к полусфере, опирающейся на касательную плоскость (см.
рнс. 18); величина идат ! (5;! отличается от площади поверхности полусферы на площадь (взятую с тем или иным знаком) поверхности пояска, Я„заключенного между Г и касательной плоскостью. Высота 260 пояска равна максимальному значснию ' Е ! в точках пересечения поверхности Г н сферы о',. Так как е(е(, то эти точки лежат внутри ляпуповской сферы и для них верна оценка аг (1. 6): ) й„, ~ == сг" 2 2 =- сз" г '.
Обозначим через и упомянутое выше наибольшее значение (В '„тогда й==.сз -'. Площадь поверхности пояска Ь', не превосходит площади поверхности сферического пояска Х вы- к соты 2й, симметричного относительяо диаметральной плоскости. Изменяя нумерацию оссй, как показано на рис. 19, и введя соответствующие сферические координаты, найдем, что площадь ~Х ~ поверхности пояска Х равна интегралу пг2 —; агеяп Гсе ~ с(,Уе = з". г ~ 5(п'"-22т, г(()2 х х п(2 — агап~ай,е гп гг 2п ."- а,...а.а.а паап...аа..,).
а а а Правая часть имееточевиднуюоценку О е -' агсз!и — '~=0(з"-га"), а / Отсюда ясно, что 1,.-'.-' ° = '"' ('-'"" э„ и, следовательно, (пг — 2) я )Р.(.) =- —,; "", ° Г. ° г (т)В) й 5, пРедельные знАчения пОтенциАлА ДВОЙНОГО СЛОЯ На примере интеграла Гаусса ясно, что, вообще говоря, потенциал двойного слоя терпит разрыв, когда точка х пересекает поверхность 1'.
Вместе с тем, как мы сейчас увидим, при довольно широких условиях существуют пределы значений потенциала двойного слоя, когда точка х стремится к произвольной точке х, ~ Г либо изнутри, либо извне 1', Будем обозначать через К, (х„) и %',(х,) соответственно предельные значения потенциала двойного слоя Ж'(х) в точке х, ее Г, когда х-ах, изнутри, соответственно извне Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
