С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Из начала координат как нз центра опишем сферу Яя столь большого радиуса тс, чтобы поверхность Г лежала внутри этой сферы (см. рис. 21) н чтобы одновременно С~Яя'-з -)ай где С вЂ” постоянная нз оценки (12). Тогда в конечной обласги (?я, ограниченной поверхностями Г и 8я, гармоническая функция а(х) достигает минимума в точке х, ее Г. Как и в случае внутренней задачи, введем в рассмотрение разность а(х) — о(х„), область (? и барьер тр(х), обладающий свойствами (8), Так же как в пред- шествующей теореме, докажем, что — ~ О, где и — нормаль до («ч) дл к Г и точке хе, внутренняя по отношению к Пя. Полученное неравенство противоречит краевому условию (12), Я Если размерность пространства ш=2, то для внешней задачи Неймана верна теорема !2.2,2 — та же, что и для внутренней задачи.
й 3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ШАРА Здесь н ниже в этой главе мы будем рассматривать только однородное уравнение Лапласа — неоднородное сводится к нему приемом, указанным в р 5 гл. 11; напомним, что этот прием основан на построении частного решения неоднородного уравнения Лапласа в виде объемного потенциала. Итак, пусть дан шар Шя радиуса тс с центром в начале координат. Поставим задачу об отыскании функции и ее С(Шя), гармонической в шаре и удовлетворяющей краевому условию и:вн =- ~1 (х), 225 В с.
г. м <чччч где 5я-граница шара и ~р(х) функция, заданная и непрерывная иа сфере Зл, Решать задачу будем следующим образом. Предполагая, что решение существует и удовлетворяет некоторым более жестким требованиям, построим формулу, определяющую решение по данным задачи. После этого докажем, что построенная формула на самом деле дает решекие задачи. Пусть поставленная задача имеет решение и (х), принадлежащее классу С"'(Шл). Напишем интегральное представление этого решения (формула (3.5) гл. 11) 1 Г/ 1 ди д 1 и (х) = ~ (=, — и — =,~ /(абая. (а — 2) (д~ 3 (г~ ~ дч дт г~ ~, зл (2) Возьмем точку х внутри шара, и пусть х' — точка, симметричная с точкой х относительно сферы Яя (рис. 14). Зто значит, что точки х и х' лежат на одном луче, проходящем через центр шара, и что 1х! (х'1=Я'. (3) Обозначим г=!х — $1, /'=1х' — $',.
Заметим, что г'ФО, когда точка $ движется внутри сферы или по се поверхности, Введем функцию о(в) = — „ 1 (4) оиа гармонична н любой области, не содержащей 1очкн х', В частности, функция (4) гармонична в шаре Ш„ К парс функций и и о применим формулу Грина (6,10) гл. 9. Обе функции гармоничны, поэтому объемный интеграл исчезает, и получаем Бл ' ~с /(Р Для дальнейшего важно то обстоятельство, что первые члены под интегралами (2) н (5) отличаются только множителем, не зависящим от $. Это можно доказать на основании того простого соображения, что треугольники Ох$ и Ох'$ (см рис. 14) подобны, Действительно, у этих треугольников угол в точке О общий, а заключающие этот угол стороны пропорциональны в силу соотношения (3), Из подобия треугольников след)ст, что г/г' = ',х,/Я, гта Подставив выражения (7) и (8) в интеграл (6), получим оконча- тельно ()= —,' ~ й)" —,,' йР' (9) зя формула (9) называется формулой Пуассона, а выражение йх — р» —, р -)т,— ядром Пуассона.
Из наших рассуждений следует, что формула Пуассона во всяком случае справедлива для любой гармонической функции класса Ссо (ШШя). Отметим некоторые свойства ядра Пуассона. !. Ядро Пуассона неотрицательно. При р=г( оно всюду равно нулю, кроме точки х = 1, вблизи которой оно неограничено. 2. Если точка х меняется внутри шара, то ядро Пуассона есть гармоничсская функция от х. Докажем это. Если точка х лежит внутри шара, то «~0 и ядро Пуассона имеет непрерывные производные всех порядков.
Остается доказать, что оно удовлетворяет однородному уравне- нию Лапласа. По формуле Лейбница, д» Рг рх ~ д»»(о» г) д(У р»1 д ( ~ 1 д» дхг г»' гн дх» — — — +2 —: — 1' +(У вЂ”, ) — ( дх» дх» ';гм! ' дх„", г'х ~" др х» дг х» — х» Замечая, что — =, - — = — "-, и суммируя по й, получим дх» р ' дх» г Д'х „,Р = 2„,.~ — 1+-1 Ю»+р» — 2х,$„)1, что равно нулю, так как г' = (е — х, 5 — х) =- й»+ р» — 2 (с, х) = й»+ р' — 2х»я». 3. Справедлива формула — Й5„~1, р ~Я.
1 С гх» — гл (1О) ~ 5х за В самом деле, рассмотрим функцию, тождественно равную еди- нице. Она гармонична в шзре Шя и принадлежит классу Спо (ШШн); по доказанному, для нее справедлива формула Пуассона, которая в данном случае совпадает с форм) лой (10). Докажем теперь, что если функция ю (х) непрерывна на сфере Зп, пю формула Пуассона дает гармоническую в Шп функцию, которая имеет в любой точке х, сферы Зп предельное значение гр (х,). Пусть и (х) -функция точки х, определенная внутри шара Шп формулой Пуассона (9). Очевидно, что эта функция непрерывна, и имеет производные всех порядков внутри шара. Легко видеть, что она гармоническая: — ~ ~9% й — ' —,„ '5~ 1 йг Пусть точка х стремятся изнутри сферы 5<! к точке х„лежа<пей на этой сфсре.
Из формулы (9) вычтем формулу (10), предварительно умножепну<о на <Р(х„): ! <<г г и(х) — <Р(хв) = —;! ~ [фФ вЂ” ф(хв)1 ~,.а <(25л зп Функция ф (х) непрерывна па сфере 5а, 'выберем па 5н сферическую окрестность о точки х„столь малую, чтобы ! ,<Р(э) — <Р(хв) ( 2 е, )гз ~ о, где е — произвольно выбранное положительное число. Заметим, что в 5я'~о справедливо неравенство гь — х„!=б, где б — радиус окрестности о. Опеиил< разность и (х) — <р (х,), для чего интеграл (11) разобьем на два: по о и по 5л~,о: и (х) — <р (х,) = — ~ „! [ф (2) — <р (хв)) А5л+ )гг +, ~ ~,., '[ф(2) — ф( )) (25<. 3«',» Для первого интсграла имеем +/( г;„.~<»<г<-»<*,<!»,г, « а « — Л вЂ” <(15а ( ла — <(»5а = - .
е <" й' — рг 2 ! 5< !,) Ю'» 2)6<! а Щ»< " 2' зя Оценка для первого интеграла получена независимо от положения точки х. Второй интеграл можно сделать малым за счет близости точек х и хв. Возьмем эти точки столь близкими, чтобы выполнялось неравенство ',х — х,!(6)2. Тогда 6 г =.~ ~ — х ~ = Я вЂ” хв) + (хв — х); ~ 1  — хе~ †,хе — х ! ~ 2 , откуда 1/г(2/б; теперь <тг — !гг (и+ Р) Ж вЂ” Р) 2"" (й — Р) « « '" ( 6 Функция ф непрерывна на компактном множестве и потому ограничена. Пусть !<РЯ) <(М=сопз(, тогда <Р(с) — ф(х,) !(2М. Теперь имеем в 2»< "М (Я вЂ” Р) ! <и(х) — ф(хе)~ -2 + 6,,~ ~ ~ <(5л( зам» в + 2<»ггМй<»-г ()г Р) 2 6»< '2 +г и«<»-<а в Возьмем число <! 0 столь малым, чтобы ' „( —.
Тогда если !х„— х!(б, то <л — о=-,,'хе,'' — ,'х, --~хв — х, б н !и(х)— 229 — Ч>(хч) !(з. Отсюда следует, что 1(пт и(х)=~р(х,), Ух,е=5я, (! 2) к .ч Функцию и (х), определенную в открытом шаре формулой Пуассона (9)„доопределим на сфере 5н, положив и(х)=-гр(х), х ~ 5л. Лоопределениая таким образом функция гармонична внутри шара, непрерывна в силу формулы (12) в замкнутом шаре и удовлетворяет краевому услови!о (!).
Задача г(ирихле для шара решена. ° Формула (2), а с ней и все доказательство, требует, чтобы гп - 2. Однако формула Пуассона верна и для т = 2. В этом случае формулу можно получить, исходя из интегрального пред; ставления (3.6) гл. 11. й 4. ТЕОРЕМА ЛИУВИЛЛЯ Из формулы Пуассона как следствие вытекает теорема, дока. ванная Лиувиллем. Теорема 12.4.1. Функция, гармоническая в любой конечной обласша и огрпниченнал сверху или снизу, есоть посо!олннал. Если функция и(х) гармоническая и и(х) -.=М, М=сопз1, то — и (х) также гармоническая и — и (х) ==- — М. Следовательно, достаточно рассмотреть случай, когда гармоническая функция ограничена снизу: и(х)- )4=-сопз(.
Можно считать, что (4~0,— если это не так, то можно прибавить к и(х) достаточно болыпую положительную постоянную. Зафиксируем произвольную точку х и опишем вокруг начала шар Ш„столь большого радиуса !т, чтобы точка х оказалась внутри шара.
Ленная функция и(х), гармоническая в любой конечной области, гармонична и в шаре, и для нее верна формула Пуассона (х) = —, ~ — и (Е) г(ь5го 3 зн где 5н — граница шара. Легко видеть, что !т — рч='г=й+р, и так как функция и (х) положительна, то получается оценка й — р ! (,, ! $ и(В)г(5н(и(х)( зн зл По теореме о среднем и(0)=,з „, ~ иЯ) е(5н, и неравенство ! !з (лФ 1 вн (1) принимает впд (о р) Лпг2 (о.' р) !Тт-3 <,-и (О):-'и (х) --,„, и (О). зза Устремляя )х к бесконечности, приходим к неравенству и (О) ==.
-- и(х) и(0). Отсюда и (х) =и(0). ИВ й 5. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ВНЕШНОСТИ СФЕРЫ где, как и в $ 3, г=1с — х! к р=-'х'ь Как и в 3 3, доказывается, что функция и (х), определяемая формулой (1), имеет впе сферы 5я непрерывпыс производные всех порядков и удовлетворяет уравнению Лапласа. Исследуем поведение этой функции на бесконечности. Очевидно, г= р — )3. Отсюда / и (х)1==- с — "' — =,; с = —, $ ' <Р (Е) ( с(5я.
1 1~ зя Нас интересуют большие значения р. Будем поэтому считать, что 1 2'»с р) 2)»'. Тогда р — )» )-2 р. Теперь ', и(х) ( — „„и функция и (х) гармонична впе шара. Остается доказать предельное равенство 1пп и (х) =- ц (х„), чх„ее 5л. (2) к к, Для этого вычислим интеграл (1) при значении ~Р($) ~1. Вве- дем в рассмотрение точку х', симметричную с точкой х относи- тельно сфеРы 5я. Имеем (Р=-1х', Р'=1х'0 г' =,Š— х'0 р' =- Я'(р, 1/г — 1,'г )3/р, и ядро Пуассона можно преобразовать к виду Р» Я2 Я~»-2 е» Р .
йг'» Р'»» Йг» Точка х' лежит внутри сферы 5л, и по формуле (3.10) (3) Рк йа г — 1 ГЛ» — Р» Д— —: г(5я = — — ~ „д5л = —. (4) 3, ~~~» 1г»» ~ 5 ~ л дг Рт-» » и зя Умножим равенство (4) на ср(х„) н вычтем из формулы Пуас сопи (1): и (х) — — „,, ~Р (х,) = — ~ — „~~р (Е) — <р (х0) ) сЮя. "'зл 231 Пусть 11 — внешность шара радиуса )с с границей 5я и пусть требуется найти функцию и(х), гармоническую в г) и удовлетворяющую краевому условию и ~ь„=-ср(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
