С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 37
Текст из файла (страница 37)
г Аналогично получаетсч сингулярное решение для любого нечет- ного оп ! о(х-у, ! — т)= „, 6((-т-г). Нетрудно найти выражение о и для четного и. (15) и для сингулярного решения волнового уравнения в трехмерном пространстве получаем окончательно о(х — у, ! — т) = — 6(! — т — г). ! 4яг (14) Глава 11 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА И ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ й 1, ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Самое простое и важное пз эллиптических уравнений — уравнение Лапласа — имеет вид — Ьи =)'(х). (1) здесь ((х) — заданная функция, если г(х)=1ЕО, то уравнение (Ц называется неоднородным уравнением Лапласа. При у (х) = О имеем однородное уравнение Лапласа Ьи =О.
(2) Неоднородное уравнение Лапласа часто называгот уравнением Пуассона. В более подробной записи уравнения Лапласа — неоднородное и однородное — выглядят так: а=! ь=.! Рассмотрим. некоторую замкнутую поверхность Г, не обязательно связную, и пусть Г ограничивает область ь), конечную Рис.
1О Рис. 9 (рис. 9) или бесконечную (рис. 10). В обоих случаях предполагается, что сама поверхность Г конечна. Будем изучать поведение решений однородного уравнения Лапласа в подобных областях. Большой интсрсс представляет также исследование решений эллиптических уравнений и, в частиоств, уравнения Лапласа, в областях, ограниченных бесконечными поверхностями. Мы не буден заниматься в этой книге такими исследованиями; только в одном месте (гл. 14) будет рассмотрен случай полу.
пространства. 199 Функция и (х) называется гармонической в конечной области ь1, если она в этой области дважды непрерывно дифференцируема и удовлетворяет однородному уравнению Лапласа. Будем говорить, что функция и(х) гармоническая в бесконечной области (2, если в каждой точке этой области, находящейся на конечном расстоянии от начала, и (х) дважды непрерывно дифферснцируема, удовлетворяет однородному уравнению Лапласа и для достаточно больших )х! справедливо неравенство )и(х)',(, (3) где и — размерность пространства, а С вЂ” некоторая постоянная.
В случае двумерной области (т = 2) условие (3) означнет, что гармоническая в бесконечной области функция ограничена на бесконечности. Подчеркнем, что определение гармонической функции относится только к случаю открытой о бл асти, (т.
е. открытого связного множества); если говорят о функции, гармонической в замкнутой области, то под этим понимают, что данная функция гармонична в более широкой открытой области, Заметим еще, что определение гармонической функции пе накладывает никаких ограничений на поведение функции на границе о бласти. П р и м е р ы. 1. Если (2 — бесконечная область, то функция и (х) ая 1 гармоническая только при т=2, Есле т) 2, то в бесконечной области эта функция нсгармопична. Однако она гармонична в любой конечной области при любом т. !1) х 2. В двумерной плоскости фупнция и(х, у)=де ~ — ) = — где )г) х'+у' ' г=х+(у гармонична в любой области, которая не содержйт начала координат.
а. Функция ке ргг, г=х+(у гармонична в круге !г,'(й ()с — любое полонсительпое число), разрезанном вдоль какого-либо из его радиусов. 4. Функция двух переменных и =х'+у' не является гармонической ви в какой области, так как она не удовлетворяет однородному уравнению Лапласа: о (хз+ уз) = 4 ~ О. б. Функция и=х' — у' гармонична в любой конечной области. 6. Сингулярное решение уравнения Лапласа 1 1 — г='х — $!, т)2, (т — 2) ! из ! гм гармонично в любой области (конечной или бесконечной) изменения точки х, если эта область не содержит точки $. При т=2 сингулярное решение 1 1 — !п — гармонично в любой конечной области не содержашей точки Е.
2п г й 2. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ОПЕРАТОРЕ ЛАПЛАСА Пусть Я вЂ” конечная область пространства Е и пусть и ее ее С!з! (О). Обозначим Ь„и = — ) (х). (1) 200 Равенство (1) умножим на произвольную финнтпую в 1г функцию ц и проинтегрируем по гг. Применив формулу (6.7) гл. 9 н приняв во внимание, что ц (ао =О, получим интегральное тождество г ~ — -- — ~Ч ( =О, ~УЧ~33«"~(а)г lди дп (дх( дх( (2) Покажем, что уравнение (1) вытекает из соотношения (2) и, следовательно, соотношения (1) и (2) равносильны. Заменим в (2) обозначение х на $ н положим т(=-гэ„(г), где г=($ — х( и х — точка, расстояние которой до до нс меньше Л.
Тождество (2) тогда переходит в А,и„(х) = — )х(х). Положив (г-~-О и воспользовавшись теоремами 2.3.1 н 3.2.1, получим, что Ь„и (х) = — 1(х). Введем в 11 новые переменные гг=гг(х„х„..., х ), а=1, 2, ..., т, (3) Допустим, что преобразование (3) взаимно однозначно н дважды непрерывно дифференцируемо и что якобиац 0(х„х„..., х„1 0(г„г„..., г,„) отличен от нуля.
Обозначим еще дг( дгг дхг дхг ' тогда ди ди ди ди дхг дхг дг; дгг ' — — =ям-- —, чи, о, н, в частности, прн о=и, ди ди . ст (ди '~г дм — — — '— г ~ — ) = (вагаб и)'. дг( дгг ~~~ ~дхо) (=! Таким образом, я,, суть коэффициенты в выражении (дгаг(ц)г, преобразованном к новым переменным г„г„..., г . В переменных г тождество (2) принимает вид Цй(' д~" д" ~т(1 '7 "' = О' Первый член слева проинтегрируем по частям. Поверхностный интеграл при этом исчезнет, потому что т(!аа =О, и получается ~,— ~д,„,),— )+,(~ а = О.
(4) й Множитель при т( под знаком интеграла (4) обозначим через гр (х), так что ~ т((х) Ф (х) г(х = О, 20! (б) В дифференциальной геометрии доказывается, что .(=НН,...Н.. Для примера выведем выражение оператора Лапласа в сферических координатах. Из формул (2.3) и (2.17) гл, ! находим выражения Ну и 1. Если считать, что г,=г, г.=б„..., г = б„, „то Н,=1; Н!г х)' д; „2(/-=т; / Гт-! 51пт — 2 б! ч!Пш-зб з!и 0~ и формула (6) дает искомое выражение !Н т — 1д ! Л„. = — + — — — —.— 6; дг! г дг здесь введено обозначение !!! — ! 6- — ~ — — =!=гь=!у!« " '-'е,уь!.
!=! Представляют интерес те случаи замены переменных, которые не меняют вида уравнения Лапласа. Два таких важяых случая указаны ниже, 1. Иа двумерной плоскости конформное преобразование не нарушает гармоничности функции. Именно, пусть Я вЂ” область комплексной плоскости г =х+ !у, а  — область комплексной плоскости Ь =$ + !'!1, и пусть голоморфная функция г=г(ь)=х($, т1)+!У(з, г1) конформно преобразует область В в область Р.
Пусть, далее, и (х, у) — функция, гармоническая в 11. Тогда функция й($, !)) = = и (х(с, !1), уф, з1)) гармонична в В. (8) гог и заменим обозначение х на $: ~ п®Ф(й) (6=0. Положим теперь т1 = !в„(г), г = ~ х — $ '; х, $ ен Р; радиус усреднения й возьмем меньшим, чем расстояние от х до д(1, В результате получим тождество Ф„(х)=0.
В точке х и в некоторой ее окрестности функция Ф непрерывна, н по теореме 2.2.1 Ф(х)=0. Вспоминая, что 1'= — Л„и, находим отсюда выражение б,и в новых переменных: ! д ( ди!'! "~." = — !х,'-(Ууь) х 1. В случае, когда новые координаты ортогоцальпы, дд — — О, )тьй. Введя обозначение ду=Н;! (слева суммирование по конечно, не производится), получаем Для доказательства вычислим величину д'й д»й Л,й=-'- + —. да» о 1 .
Имеем дй ди дх ди ду д$ дх д$ ду д» д""й д'и!дх'» 2 д'и дхду Уи (ду'~» ди Ух ди д»у дз» дх» (,д»»( дхду дз д"; ду» ~д"-,1 дх д",-з ду дс» ' аналогично, йт -» ео (х') = „,, и (х). (10) Напомним, что точки х и х' называются еамлетричньсна относительно указанной выше сферы, если они лежат на одном луче, исходящем из начала, и если ~ х ~ ~ х' ~ =Р». Декартовы координаты симметричных точек связаны соотношением о» х„= х» —, (х',' ' 203 Уй Уи (дх1,» д»и дх ду д»и,~ду)» ди д»х ди д»у дп» дх» ~дна' + дхдудпде+ ду» 'дп/ + дх дп» + дуди»' Последние равенства сложим. Учтен при этом, что хЯ, »)) и у($, Ч) суть соответственно вещественная и мнимая части голоморфной функции г(Ь); поэтому х и у суть гармонические функции от с и гь связанные уравнениями Коши — Римана.
Справедливы, следовательно, соотношения дх ду ду дх У.=дч д$= дч' Теперь имеем Ьсй=~( —.'~ +,"-) ~ Ли=';г'(ь) 1'Ьи; Г дх',» (ду~»1 (»дз1 (9) здесь Если Л,и = О, то, очевидно, Л~й = О. ° Коротко можно сказать, что конформное преобразование переводит гармоническую функцию в гармоническую. 2. Если размерность пространства т ) 2, то существует некоторое преобразование, которое переводит любую гармоническую функцию в гармоническую же. Это преобразование Кельвина, которое переводит точку х(х„х„..., х ) в точку х'(х1, хв, ...
..., х,'„), симметричную с х относительно сферы данного радиуса Й и с центром в начале координат, а данную функцию и(х) переводит в функцию Найдем выражение оператора Лапласа Л„и в координатах га =ха, Ге=1, 2, ..., сп. Для этого вычислим величины ййа и з'. н1 н1 ))е ° ° )1з Обозначим у ха=р', у~ ха =р', тогда ха= — — ха, ха= — ха. р Р ь! а=! Отсюда дх' йз 2)(ех т е би— дхс и, следовательно, !у 2Р'х~х~ 1 Ят Мехахс ') Ы а= — 6'с — '( — бм— ! ( рз с рч рс Л4 2У 2)З! 4йс = —, буа — —,- бл хах, — —; бмхсх, + — — хсх„х,хь Как нетрудно видеть, второй и третий члены справа равны между собой и равны величине — 2)тср-ехахс. В четвертом члене х,х,=р', и последние три члена дают в сумме нуль.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
