С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Заменяя в (2) радиус и произвольным меньшим, найдем, что и Я) = — и (хо), 5 еп Ш, (хо) (3) Теперь докажем, что тождество (3) верно во всей области л). Возьмем произвольную точку х~ (о и соединим точки х„и х ломаной, целиком лежащей в ло (рис. 12, с, 209).
Пусть 6 — наименьшее расстояние от точек ломаной до точек границы 1' области ло, и 6 = — 6. Любой шар радиуса 6' с центром на ломаной лежит 1 2 целиком вместе со своей грипщей в области ло. Пусть Шм (у) означает шар радиуса 6' с центром в у. Внутри шара Шо (х,) возьмем на ломаной точку х„так, чтобы было 2!5 '! х,-х,! - — б', и построим шар Ш» (х,), Внутри нового шара 1 возьмем па ломаной точку х» так, чтобы было х,— х,1- — б' и 2 чтобы точка х, лежала между точками х, и х, Продолжая этот процесс, легко убедиться, что конечным числом таких шаров можно покрыть всю ломаную.
Пусть это будут шары 1Ц» (х,), 1=-0, 1, 2, ..., п, По построению, х, Е= Шы (х,,), /=1, 2, ..., и. Как показывает тождество (3), в шаре Ш» (х») функция и(х) имеет постоянное значение, равное максимальному, а тогда эта функция принимает максимальнос значение и в точке х,, так что и (х,) =- и (х,). По тому же тождеству (3) и (а) =- и (х,) = и (х„), а ее Ш» (х,). 11родолжая этп рассужден1и, в конечном счете придем к тождеству и($) =и(х,), Уе еи Ш» (х„). Но х ~ Ш» (х„), поэтому и(х) =и(х,). И Следствие 11.7.1.
Если функция, гармоническая в конечной области, достигает максимума или минимул<а во внутренней пчочке этой области, то эта функция — постоянная. Следствие 11.7.2. Если функция гпрмонична в конечной области и непрерывна в соорпветсаюующей замкнутой области, то эта функция прина.чает как максимальное, так и минимальное значение на границе области. й В.
ПОДПРОСТРАНСТВА ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Теорема !1.8.! (теорема Харнака). Пусть (ил(х)) — последовательность функций, гармонических в конечной области О.. Пусть еще функции и„(х) непрерывны в замкнутой области 1? =1? ()Г, Если аоследовптельность ',и„(х)) равномерно сходится на Г, то: 1) последовательность (и„(х)) равнолчерно сходится в замкнутой области О; 2) предельная функция гармонична в 1?; 3) в любой замкнутой подобласти 1?' области (? производные любого порядка от функции и„(х) равномерно сходятся к соответствующим производным предельной функции Последовательность (и„(х)) сходится иа Г равномерно, Это значит, что для любого е)0 найдется тако!1 номер 1ч", что при всех и- Л' и любом натуральном р справедливо неравенство !и„ер(х) — и„(х) ! е, Чх ен Г, (1) Под знаком абсол1отиой величины написана разность двух гармонических функций; следовательно, она сама гармонична, Более того, опа непрерывна в Й. Но такая функция принимает как наименьшее, так и наибольшее значение иа границе области.
Из неравенства (1) следует, что — е < пии (и„чр (с) — и„(й)) = п1ах (и„„р (Е) — и„(е)1( е, 216 а из принципа максимума для любого хек!! вытекает неравенство ППП (и„.,р (С) — и„(С)) - и„:,.р(Х) — и„(Х) ~П1аХ(иа р(Е) — и„(",-)). !ЯГ еег Но тогда — е < и„е р (х) — и„(х) < е, Ух ен Й, илп ! и, р (х) — и„(х), < е, ех ен г). Последнее неравенство означает, что последовательность (и„(х)) равномерно сходится в замкнутой области Гр, Сушествует, следовательно, предельная функция и (х) =! пп и„(х), (2) определенная и пспрсрывная в Й. Пусть хя 1!. Построим шар Шя(х) с центром в точке х и радиусом 77 столь малым, чтобы Ши вместе со своей гранппей— сферой Яя — целиком лежал внутри (!.
По прямой теореме о среднем и„(х) = — ~ и„(~) аЯя. ! (3) Пусть и -+.со, Так как последовательность (и„(х)) схо- дится е Й равномерно, то х!ожно перейти к пределу под знаком интеграла: и(х) = — ~ иД) г!Ял, 1 '~я зя В силу обратной теоремы о среднем функция и. (х) гармо- нична в Я, Остается доказать равномерную сходимость производных. Рассмотрим произвольную внутреннюю подобласть Р' области и. и обозначим наименьшее расстояние между границами областей Й и о' через 2а.
Воспользуемся формулой (6,6); применим ее к функции и„(х), предполагая, что х е= Р.'. и„(х) = $ и„(е) ге„(г) аЦ, (6) а Дифференцируя зто выражение по координатам точки х, полу- чаем для любого мультииндекса а Р"и„(х) = 1и„(е) Р,м„(г) г$; (6) о аналогично Р"и (х) = ~ и($)Р„в, (г)г(~, 217 Последоватсльность (и„Я)) равномерно сходится в Й к функ- ции и($), а функция Етого,(г) непрерывна при любых х и $, В таком случае интеграл в (6) равномерно сходится к инте- гралу в (7) и, следовагельно, Пии, (х) — 0"и (х) равно- мерно в Й'.
И Теорема !1.8.2. (теорема о сходимости в среднем), Пусть 1?— конечная область. Пусть (и„(х)) — ггоследовательность гармойи- ческих в 1? функций, сходни(аяся в лгетрике Е.»(1?), где 1 ( ра со. Тогда 1) предельная функция гармонична в 1?; 2) в любой внут- ренней подобласти как данная ггоследовательность, так и после- довательности, полученные из нее дифференцированием, сходятся равномерно. По условию теоремы, существует предел и (х) = !пп и„(х) л о» в смысле сходимости в среднем с показателем р, Это значит, что и~Г. (Й) и ~ ( и ($) — и„($) )» с($ „— — О, Воспользуемся формулой (5): и„(х) = ~ и„($) а, (г) г($, 'в'х ы 1?'; иь(х) = $гг»(с) го,(г) с$, отсюда /и„(х) — и„(х)(ч- $~ и„Я) — ио(я);м,(г) с$.
При фиксированном радиусе усреднения а функция ог, (г) ограничена. Пусть ы,(г) =.К, тогда (и„(х) — и„(х) '~К(!и„— иь?г--Кгг!и„— иь(», (8) где К,— некоторая новая постоянная, По условию теоремы, '1и„ вЂ” и»'~» †„ „ О. А тогда из неравенства (8) следует, что последовательность (и,(х)) сходится равномерно в 1?', Отсюда следует, что в 1?' функция и(х) непрерывна; так как 1?' — произвольная внутренняя подобласть, то и(х) непрерывна в открытой области 1?. В формуле (3) положим и -»-оо, что приведет к формуле (4); как и выше, отсюда можно заключить, что функция и(х) гармонична в 1?.
Утверждение о сходнмости произвольных последовательности (и„(х)) доказывается так же, как в теореме 11.8.1, ф Из теорем настоящего параграфа вытекают такие следствия. Следствие 11.8.1. Пусть 1? — конечная область. В пространстве С(Й) гармонические функции образуют надпространство, Оз сходимости в этом подпространстве вытекает равномерная сходимость производных мобого порядка в мобой внутренней замкнутой подобласти. 2!в Следствие 11.8.2. Пусть й — конечная область и постоянная р з кшачека в пределах 1== р(со. В пространстве С (й) гарма ни«вские функции образуют псдпространство.
Из схсдимости в этом подпространстве вытекает равномерная сходимость как самих функций, так и их производных любого порядка в мобой внутренней замчкнутой подобласти. Теорема 11.8.3. Локально суммируемое обобщенное решение однородного уравнения Лапласа есть функция, гармоническая в этой области. Пусть й — конечная область пространства Е и пусть и ~ ~ Ем, (й) есть обобщенное решение однородного уравнения Лапласа в й. По определению, ~ и (в) Ль ср ($) с$ = О, Ч~р ~ Ю1са (й). (9) Пусть Л> 0 — достаточно малое число, и хан Р', йеа. Положим в тождестве (9) <рД) =еэа(г), г=(Ц вЂ” х'.
Заметим, что г зависит только от разности векторов $ и х и потому Леьь(г) =Л„юа(г). Теперь формула (9) дает Лиа(х) =О. Таким образом, средняя функция иа(х) гармонична в области й'~йеь; если зафиксировать число 6н.О и выбрать Л(бу2, то и„(х) гармонична в й~йь. В этой области функция и (х) суммируема. По теореме 2.2.3 иа(х)- и(х) в метрике Е,(й ч йь). По теореме 11.8.2 и(х) гармонична в й',йь, так как 6 произвольно, то и (х) гармонична в й. ° Замечание. Справедлива более общак теорема; если некоторая о. ф, удовлетворяет однородному уравнению Лапласа в конечной области, то в этой области данная о.
ф. есть обычная гармоническан функция. Глава !2 ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА 5 К ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ Основные задачи теории эллиптических уравнений — так называемые задачи Дирихле и Неймана — будут сформулированы для общего эллиптического уравнения второго порядка; начиная с э 2 мы опять будем заниматься только уравнением Лапласа, Будем рассматривать области двух типов: конечныс и бесконечные, В обоих случаях граница области оказывается конечной; как обычно, будем предполагать, что граница состоит из конечного числа кусочно гладких поверхностей (см. рис. 9 и 10).
Краевая задача для эллиптического уравнения называется внутренней, если искомая функпия должна быть определена в конечной области, и внешней, если эта функция должна быть определена в бесконечной области. Важнейшими краевыми задачамп для эллиптического уравнения второго порядка являются задача Дирихле (первая краевая задача) и задача Неймана (вторая краевая задача). Рассмотрим эллиптическое уравнение общего вида Внутреннюю задачу Дирпхле для этого уравнения сформулируем следующим образом. Пусть Π— конечная область с кусочно гладкой границей Г и ~г(х) — функция, заданная и непрерывная на границе Г. Требуется найти решение уравнения (1), которое принадлежало бы классу С'(<?)()С(»?) и совпадало бы на границе с заданной функцией ~р(х): и(х)=~р(х), хеиГ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
