С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 41
Текст из файла (страница 41)
(2) Внутреннюю задачу !-1еймапа для того же уравнсния (1) сформулируем таким образом. Найти решение и (х) ) равнения (1), обладающее свойствами." и ~ С'(»?) Д С((?); па множестве тех точск хек Г, в которых существует нормаль ч к поверхности Г, выполняется равенство В п1 А,» (х') —, соз (ч, х») = ~р (х). (3) Здесь х' — точка„лежащая внутри»? на нормали ч, х» — декартовы координаты этой точки, а»р (х) — функция, заданная на упомянутом множестве точек поверхности Г, 770 Краевое условие задачи Неймана мы будем ниже записывать короче в виде А,а (х) — - соз (у, ха) (г = зР (х).
(3) Запись (3,) можно понимать буквально, если и ~ С(с) (гс). Если А а = б,а, то старшие члены уравнения (1) образуют оператор Лапласа; само уравнение принимает вид — Ли + Аа в "-+ Аои = г (х). (4) Заъгечаине. Приведенные формулировки красвых задач Дирихле и Нсйчана не являготся соверщенно общими. Так, например, можно рассматривать случай, хогда в краевом условии (2) задачи Дирихле функция <р(х) разрывпа на Г. В этом случае нельзя требовать, чтобы и ы С (О), — это условие надо заменить некоторыч другим, краевое условие (2) должно выполняться только в точках непрерывности функции гр (х). Можно также отказаться от требования кусочной гладкости границы.
Внешние задачи отличаются от соответствующих внутренних только тели что па неизвестную функцию накладывается добавочное требование и(х)=0~,— „„,1, х со. (б) й 2. ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА Теорема 12.2.1. Ксск внупсреннсся, так и внешняя задачи Дирихле для уравнения Лапласа илсеет не более одного решения, Допустим, что задача Дприхле имеет два решения: и,(х) и и, (х), Тогда справедливы следующие две системы тождеств: — Лсст=с (х), ис|г=гр(х); — Ли. = г" (х), и, 'г = гр (х). (2) Введем обозначение и,(х) — и,(х) =о(х). Вычтем тождество (1) из (2): Ли=О, о г= — О.
(3) Рассмотрим внутреннюю задачу Дирихле. Дело сводится к отысканию гармонической в 11 функции о (х), непрерывной в ьс. По принципу максимума ее наибольшее и наименьшее значения достигаются на границе, но тогда оии равны между собой и равны и)лю. Отсюда следует, что о=О и ссс(х) = и,(х). 221 Краевое условие (3,) принимает в этом случае особенно простую форму: (5) Перейдем к внешней задаче Лирихле. Если т=-2, то коп- формным преобразованием (например, дробно-линейным) можно перевести бесконечную область в конечную.
Уравнение Лапласа при этом переходит опять в уравнение Лапласа, функция о, гармоническая в бесконечной области, переходит в функцию, гарлюническую в конечной области, и эта функция по-прежнему равна нулю на границе области. Дело сводится, таким образом, к уже доказанной единственности задачи Лирихле в конечной области. Поэтому достаточно рассмотреть случай т) 2.
В силу условия (1.6) разность решений о = и, — и, гармонична в [2. Окружим границу Г шаром радиуса )т с поверхностью Зли рас- смотрим функцию о(х) в кольцевой области Ря, заключенной между Г и Яя. Нам известно, что и ~г=О, кроме того, на доста- точно большом расстоянии от начала координат, которое мы поместим в центре сферы Яя, ! о (х) ! ~ С/[ х ! -', С = сопзЕ Следовательно, на поверхности шара 5я, если только ра- диус Р достаточно велик, [и (х) [== СЯ"' '.
Зададим произволь- ное число в О и выберем гс настолько больцгим, чтобы Сгсэ- ( в. В кольцевой области Оя наибольшее и наименьшее значения функция п(х) принимает либо на Г, либо на 5я, эти значения, следовательно, по модулю не превосходят и. Пусть х — произвольная точка области й, При достаточно большом Й эта точка попадет в область йя и потому [о (х) [ "'в. Но е — произвольное положительное число, поэтому п(х)=О н и, (х) = и, (х), ° 3 а меч а п и е. Об условиях едииствеииости решения задачи Дирихле для общего эллиптического уравнения второго порядка (!.!) см.
[231. Если матрица старших коэффициентов, положитсльио опрсдслсипая в замкнутой области () и А,(х) ) О, то единственность решения задачи Дирихле вытекает иэ прииципа максимума (4 9 гл. !!), Обратимся к задаче Неймана и начнем с рассмотрения внут- ренней задачи. Пусть в конечной области О с границсй Г постав- лена задача Неймана — би = с" (х), х ев й; и е= С(" (О) П С (О) ! 1[ш — =ф(х), хан Г. (4) Очевидно, что решение внутренней задачи Неймана для уравне- ния Лапласа (если оно существует) нс единственно: если функ- ция и (х) решает задачу (4), то, как легко видеть, функция и(х)+С, где С вЂ” произвольная постоянная, решает ту же задачу. Теоремой единственности в данном случае является утвержде- ние, по которому выражение и (х)+С исчерпывает все решения этой задачи, Теорема !2.2.2.
Два решения внутренней задачи Неймана для уравнения Лапласа могут отличаться только на постоянное слагаемое, Мы докажем эту теорему, предполагая поверхность Г ляпуновской: Г ен Со 'ч, 0<а(1 (см. Введение, з 2). Пусть задача (4) имеет два решения. Их разность о(х) удовлетворяет уравнениям (5) причем вен Сна (Г)) ДС(Й), Допустим, что о(х)=„йсопз(. В силу принципа максимума функция о(х) принимает наименьшее значение иа Г; пусть это значение принимается в точке х, ен Г, Разность о(х) — о(х„) также удовлетворяет уравнениям (5); заменяя о(х) на о(х) — о(х„), можно считать, что и(х) удовлетворяет еще соотношениям о(х) ~с==О, о(х,) =О. (б) Введем местные координаты у„у.„..., ут с началом в точке х,; ось ут направим по внутренней нормали к Г, Обозначим еще у = (ув у21 ..., ут М) И у = (у, ут).
В некоторой окрестности точки х, можно представить поверхность Г уравнением вида у =г" (у'). (7) Ниже (гл. 14, 4 1) будет показано, что если Г~Со, т>, ут 0 а:==1, то ~ г(у')~~с у' и . Отсюда.. следует, что !) (у') !.== 47 : с'уй ", так как ~у' =)у), Пусть Ь вЂ” достаточно малое хо г число. Введем в рассмотрение областьб=- ',у: 2с,'у~'-"< у„( Ь). При Ь достаточно малом 6 есть подобласть Г2; она ограничена но- рис. !3 верхностями а, и о,, на которых соответственно у =2с~у '" и у =Ь (рис. 13) Введем в рассмотрение функцию ~р ~ Соп (6) П Сги (б), обычно называемую барьером и удовлетворяющую условиям а) гр(х,)=0; Ь) гр(х) О, хека,; с) Ага~О, х~б; б) "," : О. (8) В качестве барьера можно взять, например, функцию гь(х) =у'(у + — му'~ "— 4с(у(""( и = т — 1+ се, у = сопя( ~ О.
Действительно, условия (8; а, е() выполнены. Далее, если х ~ о„ то у =2с~у,'~ и гр(х)=у~ — у +4тса'у' ' "1, что неположи- 223 тельно, если величина у достаточно мала; условие (8; Ь) также вьшолнено. Наконец, используя формулу (:) % 5 гл. 1О и нера- венство у -- у,', найдем йир = 4тйс (1+ сс) у (у —,У ~ ) =-" 0 и условие (8; с) также выполнено, Из принпипа максимума (2 7 гл.
11) вытекает существование такой постоянной сл)0, что о(х) гасы хапае. Выбрав постоян- ную у достаточно малой, можно добиться того, чтобы была ~р (х) ..= .=: с,, хеиат. Отсюда и из (8; Ь) следует, что а(х) — ер(х).=0 па дб. Одновременно Л[о(х) — ф(х)1:='О в области С; по тому же принципу лтаксимума о(х):-.в ф(х) в ст и, следовательно, до(хь),, о(О, у ) 1, лр(О, у,„) дф(х ) В первоначальных координатах х„хе...., х можно последа (х) — в (л,) нее неравенство записать так: 1пп ( ' ) О, где х †точ х — «в,' на нормали к 1', проходящей через хв, По формуле Лагранжа а(х) — п(хе) =- " „— )х — х,', О(д(1; до («+в (х — х,)) . отсюда )ип о(«'+в(» «)))О, л' х, дп Это противоречит второму неравенству (5), из которого вытекает, что существует и равен нулю предел до (хе ' В (х--ле)) дп к х, 3 а и е ч а н и с.
Если предположить, что искомое решение имеет в Й непрерывные вторые производные, то теорему )22.2 нетрудно доказать, пред- ав»агав повар»ность Г ~~~око кусочно гладкой В заключсннс отметим, что внутренняя задача Неймана (4) в общем случае неразрешима, и выведем необходимое условие сс разрешимости, предполагая для простоты, что решение и ен С") (11).
В этом случае можно применить формулу (6.10) гл, 9, которая в данном случае дает ~ Г (х) т(х+ ) тр (х) йГ = 0; (9) и г эта и сеть искомое необходимое условие. В частных случаях однородного краевого условия или одно- родного' дифференциального уравнения должно выполняться соот- ветственно одно из двух равенств: ~ Ли л(х =- ~ г (х) е(х = О, (!0) Я и ' '"',(1 ~ ф (х) (Г = О. (11) Для внешней задачи Неймана справедлива следующая теорема единственности. Теорема 12.2.3. Если размерность пространства т 2, то внешняя задача Неймана для уравнения Лапласа имеет не более одного решения, Как и в случае внутренней задачи, проведем доказательство, предполагая, что граница рассматриваемой области — ляпуповская, Пусть бесконечная область Е? ограничена ляпуцовской поверх- ностью Г и пусть в этой области задача 11сймана имеет два решения, Их разность и(х) удовлетворяет соотношениям о ~ Сон(!?) ДС(!?) и Ли=О, хе= П; ~ о(х), —,,„х-+оо; , «Рл -'* .= О.
(12) 2!опустим, что о(х)цйО, Тогда о(х)Е?20 прн «~ à — в про- тивном случае, по теореме единственности внешней задачи Дирихле, было бы о(х) — = О, хее О. Обозначим а= пйпо(х), и пусть этот «шг минимум достигается в точке х ееГ. «т(окажем, что можно счи- тать а ( О. Действнтельцо, если а ~ О, то а, = шах о (х) > О. «шг Функция — о (х) удовлетворяет соотношениям (12) и ппп [ — о (х)1 =. «сг = — а, О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
