С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 44
Текст из файла (страница 44)
В результате мы получилн однородный полипом д„(х) степени л, -лапласиан которого совпадает с заданным однородным полииомом 7(х) степени л — 2. Таким образом, оператор Лапласа осуществляет отображение пространства 11„однородных полипомов степсня л на пространство П,, однородных же полиномов степени л — 2.
Гармонические однородные полиномы степени л образуют ядро указанного отображения. Размерность этого ядра (выше она была обозначена через й„) равна разности размерностей пространств П„ и П„,: (л+ т — 1)1 (л+ гл — З)1 ~же — л,т л-г,т (2л+ т — 2) (л+ т — 31) (ки — 2)1 п) Формула (1) доказана.
Величина (1) допускает простую оценку, которая будет использована в дальнейшем, именно — О (л -г), (4) В случае т=2, л «О существует только два линейно независимых однородных гармонических полинома степени л, а именно полиномы Ке(г") и )гп(г"), где г =х,+)х,. 237 От декартовых координат х„х„..., х„, перейдем к сферическим координатам р, б„б„..., б „б„,, по формулам: х, =рсозб,, х, =рзшб,созб«, х =р«1п б«з1пб»... з(п б «сов б = р з(п б, з(п б» ...
з(п б» з(п б й 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Будем исходить из выражения оператора Лапласа в сферических функциях (формулы (2,7) и (2.8) гл. 11) д«и — ! д 1 »» = — + — — — — 6 ср' р др р' где 6= — ~~1, . — (з!и -1-'б,— . 1 д . » д 1 ду мп'» г «б» дбр 1 дбр )' 1 (2) Оператор Лапласа инвариантен относительно поворотов декартовых осей координат; формула (1) показывает, что тем же 2ЗВ Пусть Р„, (х) — однородный гармонический полинам степени и от переменных х„х„..., х .
Заменим последние по формулам (5). Так как данный полипом — однородный степени и, то оп примет вид Р„(х) — р" г'„„(В). (6) Здесь через В обозначена точка единичной сферы с угловыми координатами б„б„..., б Функция У„(0) называется т-мерной сферической функцией порядка и. В дальнейшем размерность т пространства будет оставаться фиксированнон, и мы будем опускать слово «т-мерная» в названии сферической функции.
Из определения сразу вытекает, что сферическая функция порядка и есть полипом степени и относительно синусов и косинусов угловых координат; в частности, 1', (В) = сопз(, Очевидно также, что существует )4 „линейно независимых сферических функций порядка и; будем обозначать их через У'„,„(6), и) й = 1, 2, ..., й„ „. Если т=2, то существуют две линейно независимые сферические функции порядка и)0. За такие функции можно прн.
нять сов иб и з(пиб, где б — полярный угол в двумерной плоскости. По этой причине случай т=2 не представляет особого интереса для теории сферических функций, и ниже в этой главе всюду предполагается, что т ~ 2. свойством обладает и оператор б. Подставим в однородно; уравнение Лапласа, Ли =О, вместо и выражение р"У~„,'„(6); сократив на р"-', получим дифференциальное уравнение сферических функций ЬУ~'~ (6) -п(п+т — 2) У~~~,„(6) =О. (3) Уравнение (3) показывает, в частности, что значения ),„= = и (а+лт — 2), я=1, 2, ..., суть собстветшые числа оператора б кратности (по крайней мере) л„; сферические функции У~~'„(6), 1 =- й -.=-= й„являются собственными функциями оператора б, соответствующими собственному числу и (и+и — 2), Ниже 6 7) будет показано, что других собственных функций оператор б нс имеет и, следовательно, кратность собственного числа а (и+ т — 2) в точности равна /г„, Как было сказано выше, произведение р"У„, (6) удовлетворяет однородному уравнению Лапласа.
Выясним вообще, при каких значениях множителя ~Р (р) произведение ~Р (р) У, „(6) удовлетворяет тому же уравнению. Приравняем нулю лапласиац указанного произведения: Г "()+,' '( 1',-(6) —,', () ',-(6)=' Исключая 6У„, (О) с помощью уравнения (3), получаем п1 — 1 ~, и (и+ ги — 2) Р Р' (4) Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка, типа Эйлера. Его линейно независимые интегралы суть р" и р-"- -', Первый нз них нам уже известен, второй жс дает функции У,,„(6)Гр"+"'-', гармонические в областях, не содержащих начала координат, й 3.
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПОСТРОЕНИЯ И УТВЕРЖДЕНИЯ Класс Сон(5,). Выделим класс функций, заданных па единичной сфере 5;, зтог класс, который обозначим через С'Ю(5,), определяется следующим образом, На сфере 5, возьмем произвольную точку О, и окружим ее достаточно малой окрестностью а (60) с:. 5,. В точке Оа проведем касательную плоскость к сфере; ортогопальпо спроектируем окрестность а(0,) на эту плоскость, и пусть 6(60) — полученная проекция. Очевидно, 6(6,) ~Е Обозначим через р точку области О(О,), полученную проектированием переменной точки 0 ~ о(0,). Пусть Г'(6) — функция, заданная на сфере 5,. Положим г" (у)=Г(6), 6 вел(6,). Будем говорить, что Г ~ Спп (5,), если г ее Соп (б (6ь)) для любой точил 6, =-5,, Классу С<И(5,) можно дать другое, равносильное определение. Пусть Т" (6) — функция, заданная на 5,, Построим шаровой слой Х=-(х: р,---(к~(рД, где р, и р,— произвольные, ио фик- гзз спрованпые положительные числа. Можно считать, что р, <, 1 ~ р„ так что 5, ~ Х.
Фуикциго ?(Гд) продолжим на слой Х по формуле ?е (х) =?',— "'; здесь )е — продолженная функция. ясно, х(Д что ?" (х) постоянна па любом луче, проходящем через начало, и, сяедопательно, не зависит от р = ,'х,'. Класс С'е'(5г) можно теперь определить так: )епСге1(5з), сслп ) е ~ Спи (2), Усреднение па сфере. Для функций, заданных на сфере 5„можно разработать аппарат усреднения подобно тому, как это было сделано в гл. 2. При этом по сравнению со случаем евклидова пространства здесь будут иметь место некоторые упрощения, потому что сфера — это компактное многообразие без края. Пусть й и с)' — точки на сфере 5„а также соответствующие им векторы в евклидовом пространстве Е„„и пусть 6 =.
44 — 6'! —.— .= ! !д — 0'(к, 6?среднхнощиж ядром назовем функцию оза (6), удовлетворяющую условиям 1 и 2 9 1 гл. 2 и условию ~ озл (6) дн'5з = ) озь (6) с!в'5г = 1 (1) 3, е<а заменяющему условие 3 9 1 гл. 2, В качестве озе(6) можно взять фуикцшо го , „(6) ( сае "* — е', 6<?т, (о, 6 ==- ?г, (2) где се определяется из соотношения (1), Если функция ?(О) суммируема на 5„ то ее средняя определяется формулой ~е(0) = $ езл(6)~((гУ) с!в 5 . (з) 3 Отметим следующие свойства средних функций па сфере, они доказываются так же, как в гл.
2: а) ?а~Сг >(5з); б) если 1=р<,оо и )епТ.в(5г), то '?в — ) !ь (з )-„— —,„0; в) сслн ? еп С(5,), то (а(Р)) — «)(6) равномерно на 5,. Из свойств а) и б) вытекает, что множество С~'"> (5,) плотно в й (5,) при любом р, 1-.- р<, оо. неравенство Маркова. Пусть ! — вещественная переменная, ?(!) — полипом степени п и г!1= щах 1~(0!. Тогда спраа<г<ь ведливо неравенство Маркова ' щах ', !'(!)', ~-Ъ вЂ” -о ив.
2М (4) Р- г~ь геп г Доказательство сн., например, в книге: Н ата и сом И. Н. Конструктивная теория функций. Гостекиздат, 1949, с. !?4. Из неравенства (4) вытекает и сходная оценка для старших производных: 2'Ц шах ~)Н~(Т) ~,","' 9 4. ОПЕРАТОР д И ЕГО СТЕПЕНИ, ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Оператор 6 зададим на множестве Спи(5,), Докажем, что в пространстве Е,(5,) этот оператор симметричен, Действительно, его область определения плотна в 1,,(5,), потому что она содержит плотное (см. Э 3) множество С1 '1 (5т).
Далее, если Т", д~ ее С1м (5,), то (Ю, д) =(6|, д)г, 1зд- ~ дЬ~Н5т = ~ д'Ь~Л5~; звездочка здесь и ниже означает продолжение функции на шаровой слой Х 5 3). Из формулы (2.1) легко вытекает, что ЬТ'= — (р'Ж'1-т= — (Ж"'),- ' отсюда (6|, д) — (1, Ьд) = ~ ()" Ьй"' — й*Л)') а5,. Б~ умножив это иа р -тг(р и интегрируя в пределах рт р<;р„ получим л (1) Рз'-Р~"; Далее, по формуле Грина (6.10) гл, 9 Р дл" „,д~'1 54 йэя Нормаль т, внешняя по отношению к Г, направлена по радиусу на 54, и против радиуса на 5р,. Поэтому, например, де" ~ дд* ( дв' ( дп" в обоих случаях эта производная равна нулю, потому что д" не зависит от р. Теперь из формулы (1) вытекает, что (ЬГ, д) =- ((, Ьд), и наше утверждение доказано. Нетрудно доказать также, что оператор 6 неотрицателен, т, е.
удовлетворяет неравенству (6|, () ) О. Действительно, повторив предшествующие рассуждения, получим равенство (61, )) = — „,м,„~ (*Л(' дх Рзз Р~ 241 и далее по формуле Грина (6.7) гл 9 Р~,з= —,"„((ееа~г~ — ( ~".,"ы]- 5Р СЗР „~ (вагаб~*)'Их)0. Рз — Р| Из доказанного, между прочим, следует, что все собственные числа оператора б неотрицательцы. На множестве С"и (5,) определен оператор б', из уравне- ния (2.3) ясно, что сферические функции суть собственные функ- ции этого оператора, отвечающие собственному числу п'(и+ -'и — 2)', отсюда следует, что при любом натуральном ( сфери- ческие функции удовлетворяют дифференциальному уравнению Ь')гт,„(0) — и' (и + и — 2)' )г„,„(8) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
