С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 46
Текст из файла (страница 46)
(8) + В< Интеграл в формуле (8) есть коэффициент Фурье непрерывной функции б'<р (6) по ортонормированной системе сферических функций: ряд из квадратов этих коэффициентов сходится, значит, они во всяком случае ограничены, и из формулы (8) следует, что ~ а'„"' ! -". —, с = с опз1. (9) «-'< Отсюда вытекает и оценка для коэффициента при р" в формуле (5).
По неравенствам (6.9) и (1.4) 'тт Х 21-; а— »=1 и 3'. Пусть 1 столь велико, что 21+3 — —,) 1. Рассматривая Зт 2 ряд (5) как ряд по степеням р, видим, что он удовлетворяет условиям теоремы Таубера '. коэффициенты ряда убывают быстрее, чем и ', и сумма ряда икгест предел (равный ф(й)) прн р- 1, Из теоремы Таубера вытекает, что ряд (5) сходится при р = 1 и что ам а»'т'й»' (6) = ~р (О), (10) н=е» =! Отметим, что при том же условии 2!+3 — — )1 рят (10) схоЗт 2 дится абсолютно и равномерно; тем более он сходится в метрике Е, (5»).
4 . Пусть теперь (ен(,р(5,), 1-= р(оо, Множество Сс >(5,) плотно в Ер(5,), поэтому найдется такая функция фя С~ ~(5,), Е что 11 — Ф1» 1за~ —, где и — произвольно заданное положительное число. По доказанному и и, 3', функцию ~р(0) можно разложить в ряд (10), сходящийся в метрике Т.р(5»); можно, следовательно, найти такое число Лт, что »тт '~р — ~~ ~ а„'*')'„„ и=-!»=1 с гза Теперь по неравенству треугольника имеем — ~', а'„'У'„"' ~ .с и, ° Отметим два свойства, очевидным образом вытекающие из полноты системы сферических функций. 1.
Сферические функции образуют полную систему собственных функций оператора 6. 2. Если некоторая функция удовлетворяет дифференциальному уравнению (2.7), то она сферическая, порядка и. 1 См, например. Марк ушсви ч А. И. Теория аналитических функцн» Гостехнадат, 1950, с 2бб. Глава 14 ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА й 1. ПОВЕРХНОСТИ ЛЯПУНОВА По определению (см. Введение, З 2) поверхности Ляпунова суть поверхности класса С!' "1, О~и=-:. 1. Напомним, что это означает следующее. Если à — ляпуновская поверхность, то прежде всего она имеет в каждой своей точке определенную нормаль. Далее, существуют такие постоянные а, а, и, где й) О, а ~ О, 0 ~ и ~ 1, что если х — произвольная точка на Г, то сфера Б,т (х) радиуса й с центром в х вырезает из Г участок Г(х), который в местной системе координат ВТ, $2..,., $„, связанной с точкой х, может быть задан уравнением вида $ =)(2')' (1) штрих здесь и виже обозначает проекцию данной точки иа касательную плоскость к Г в точке х, т. е.
на плоскость $,„=0. Можно рассматривать $' как точку (пт — 1)-мерного пространства с координатами Б„В2, ..., Е,. Наконец, если с и ,". — две точки участка Г(х) и 1 —.любое направление в плоскости с =О, то (т — ! (а:2 — — 1-=а,~ (Ь-ьх) д)(з) дК) 1 д! д! /с= ! (2) Сферу 5„(х) будем называть сферой Ляпунова. Заметим еще, что радиус й можно заменить любым меньшим. Плоскость $ =О касается поверхности Г в точке х — начале местных координат; отсюда)(0, О, ..., 0) =0; .
-) (О, О, ..., 0) =-О. д Введем следующие обозначения. Пусть Š— точка участка Г (х). Расстояние между х и Е обозначим через г; буквой р будем обозначать расстояние между х и $', очевидно, т — ! П1 р2= ~ ~В1, г'= ~ Е)=-р" +:,'„. 2=! /г=! 2, ..., Рп — 1. (4) 25! Полагая в (2) ь=х, функции ): %!=-- ' и тем более ( ==аг", 22=1, находим оценку для частных производных Оценим еще величину Е =)$'), 5Г(х), Проведем отрезок, соединяющий точки х и $', и обозначим через ь' =- (~о ".,„..., ь„,) переменную точку этого отрезка.
Пусть р' — расстояние между точками х и (,', По неравенству (3) ) ! ($') ) = ~ †,. о(р' — ~ †, Ф' = д!, д! о о о =а ~ р'аг(р'=ср":-', с= — (6) а -(- 1 о и, следовательно, (6) ( ! ($') ) ~ сг" "'. Неравенство (6) позволяет оценить г через р; именно го=ро+$' ~р'+с'р'""'((1+сЧ'") р'. Как было отмечено выше, радиус о( можно взять сколь угодно малым; пусть он таков, что ало (7) Тогда телг более сгР= — У' -1 и окончательно а 1+а г~)/2р =.2р, (8) Обозначим через и и т нормали к Г в точках х и ь соответственно. Допустим, что $ ен Г(х), и выведем оценку для величины ) соэ(а, г)1; г здесь обозначает вектор с началом х и концом $. Имеелг соз(п, г) =соэ ($„, г) =о„lг, и по неравенству (6) ) сов(и, г)! ~сг", (9) Поменяв местами точки х и э (это, очевидно, допустимо), получим еще одно важное неравенство: ) соз (т, г) ) ~ сг . (10) где т — направление градиента функции !, По неравенствам (3) и (7) соэ (т, о ) «(1+а'р'") ыо — (1+а'гР":)-и'= — == —.
(11) 1'2 2 252 Для дальнейшего будут полезны также оценки направляющих косинусов нормали ч. По известной формуле дифференциальной геометрии Если й = 1, 2, ..., т — 1, та по той же формуле дифференциальной геометрии П1 — 1 )-1)з ", В)-*Ф[ Х (ч')'~ ь 1 и по неравенству (3) )соя(у,Ез)(~) — )(ар' ч--аг", Ф=!, 2, ..., т — 1. (12) ч) й 2. ТЕЛЕСНЫЙ УГОЛ Рассмотрим кусочно гладкую поверхность 2.', вообще говоря, незамкнутую, на которой определено положительное направление нормали. Обозначим через $ произвольную точку поверхности Ъ' и через нормаль к ~, проведенную в точке Пусть точка х ен Е расположена так, чта в любой точке $ ен ~; радиус-вектор г, иду- Х щий от точки х к точке $, образует с нормалью у острый или в крайнем случае прямой угол, так чта саз(г, у) = О, Ю Из точки х проведем радиус-векторы ко всем точкам поверхности У, Эти радиусвекторы заполняют область, ограничен- ие ) ную поверхностью ю и конической по- т верхностью К, которую образуют радиус-векторы, оканчивающиеся в точках л края поверхности 2; (рис, 16).
Из точки х как из пентра опишем сферу произвольного радиуса )с. Обозначим через оя часть этой сферы, заключенную в упа. мянутом выше конусе. Отношение ы,,(Х) = — '„, 'о, ! (1) не зависит ат гг, Оно называется телесны.и углом, под которы.и поверхность Ъ' видно из точки х. Описаннбе построение можно выполнить и тогда, когда на поверхности ~", сов (г, т) ( О, В этом случае телесным углом ы„(~), под которым поверхность Ъ' видна из точки х, называется отношение (1), взятое со знаком минус.
В общем случае, когда соэ (г, у) может менять знак, будем предполагать, что поверхность 2." можно разбить па части ~;,, ..., на каждой из которых сов(г, у) сохраняет знак. Для такай поверхности телесный угол определяется формулой м (Х)=Хм (~'ь), (2) если только ряд (2) абсолютно сходится (например, если частей л;ь конечное число). 253 Докажем, что во всех перечисленных случаях телесный угол ы,(~;) определяется при и) 2 формулой Г д ы (х') = — — 1 — =г(ьХ' х ~.~ — а! 2 ) дт гб$ — 2 Х Достаточно рассмотреть случай, когда сов(г, ч) сохраняет знак на поверхности 2„. Выведем предварительно одну вспомогательную формулу, которая окажется полезной и в дальнейшем.
Имеем д 1 !я — 2 дг д 14 — хь дч г~ ~ г~1 д$» — — = — — — соз(т, $4); но — =" =сов(г,йь); 1 ' д 4 отсюда д ! м — 2 — =,, = — —,„, соз(г, сь) соз(т, $4), или окончательно д 1 ж — 2 — — — сов(г, ч). дч гт-а ге 1 (4) Пусть хЙГ и соз(г, т) О, Радиус Я возьмем достаточно малым, так чтобы поверхности ол и 2, нс имели общих точек (см, рис. 16). Рассмотрим область 11, ограниченную поверхностями т', ал и заключенной между ними частью конуса К. В этой области !/г -' есть гармоническая функция точки $, поэтому (формула (6,9) гл.
9) ч д ! Г д ! д ! а~~ Через ч* здесь обозначена нормаль к поверхности, внепшяя по отношению к области 0; так как соз(г, т) )О па 2,, то на этой поверхности т*=ч, 1-1а поверхности К сов (г, ч") =О, так как г направлено по образующей, а»* к ней перпендикулярно. В силу формулы (4) интеграл по К исчезает и д ь д ! „!' д 1 щ На пя нормаль ч* направлена д ! д дт" г~' ' дг ж 2 !о, ! — ) Йол = — (гп — 2) — ' я -,) Гдп-! = — (гл — 2) ы„. (2;) ф 254 Теперь имеем д ! — — !!,)' = дт га~ г против радиуса, поэтому ж — 2 ул-ь ' Если соз(г, т)(0, тот*=-.— т па ~", рассуждая по-прежнему, получим в этом случае д тя г~= ~~ 3 г я=( ) м1 ' Х "Оя = — (и — 2) вг„(У ).
Если поверхность 2; разбита на части ~"„2.'„..., па каждой из которых сов (», т) сохраггяет знак, то, очевидно т ы„(т „) = ~ ~ ' — ', ~ у- '. (й) Теорема 14.2.1. Если à — заикнутал ляпуновская поверхность, та существует такая ггоспгаянная С, что ~ Ф вЂ” -'= ~'=.у==' ""'- Пусть г( — радиус ляпуновской сферы для поверхности Г.
Может случиться, что расстояние от ~очки х до поверхности Г не меньше, чем --. Тогда г= 'х — $)~ —, по формуле (4) в -, и 2' 2 ' — „,(~Р~ „, )Г~. (7г Пусть теперь расстояние от точки х до поверхности Г меньше, чем Д2. Существует точка х,~Г такая, что (б) ) х — х„! =- щ(п ! х — $ ( «- —. (8) в дг 2' Как известно, точка х лежит па нормали гг„ к Г, проведенной через точку хо Построим ляпуиовскую сферу 5 (хо) Обозначим соответствгашо через Г (х,) и Г" (х,) части поверхности Г, лежащие внутри и впс сферы 5(л.„) (рнс, 17).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
