С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 48

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 48)

Прямое значение этого потенциала в точке х, обозначим через %'(х,). 26) Теорема 14.5.1. Пусть à — замкнртия ля!гуновекая поверхность и а ("„) — плотность, непрерывная на Г. Тогда для потенциала двойного слоя (3.1) справедливы предельные гоотнои!ения [Р'! (Х,) =- — (, ' ' ' а(Л;)-[- 'йт (Хь), х,~Г. )р' (хь) =-, ' ' а(хь)+ ЪР (хь) Формулу (3.1) перепишем так: В'(х) =- [(7,(х)+а(х,) Кь(х), Здесь [)гь — интеграл Гаусса, а 1)гл (х) = 1 [а (с) — а(хь)[ —.

—,, дьГ; д ! г (2) (3) У;(х) = ~ [аД) — а(хь)) — — =,е(ьГ. д ! гн Напишем очевидное неравенство [ )гл (х) — [и'л (хо) ! -- ~ %'1 (х) [ + ! Ф'( (хь)[ + + ~ %7 (х) — В'; (хо)[; (4) черта сверху означает прямое значение соответствующего потенциала. Оценим правую часть неравенства (4). Выберем т! так, чтобы при,'в — х, !( !) выполнялось неравенство [а Я) — а(х) [(е ЭС, где е — произвольно заданное положительное число, и С вЂ” постоянная, входящая в неравенство !2.6). Такой выбор !) возможен, потому что плотность а (с) непрерывна. Тогда при любом х ен Е имее л 1 й'~ (х) [=- ~ ~ а Я) — а (х.) [ ~ „„„- ( дГ ( ~,' ~! ' „„!,(д1 .,' ~~-',',~дг.=-,'.

(3) 7в7 Я', (х) есть потенциал двойного слоя, плотность которого а(с)— — а(х,) обращается в нуль при 5=-х,. ![окажем, что этот потенциал непрерывен в точке х,, Из точки х, как из центра опишем сферу некоторого радиуса гб тем самым поверхность Г разобьется иа две части: Г=1" [)1'", из которых Г' лежит внутри сферы, а Г' — вие ее. Соответственно потенциал )Р; (х) тоже распадается ца два: В'л (х) =- Иг; (х) + Чг (х), где В",(х) = !) [а(ь) — а(хо)1 й „, д11 р В частности, в ~,( е), 3. (б) Зафиксируем радиус т) п будем считать, что 'х — хв(~ — т), Тогда на поверхности Г" 1 ! «=) 6 — х ==. Ч вЂ” х,' — )х — хе)==т) — -- т)=--т); 2 2 подынтсгральная функция в интеграле йуг" (х) непрерывна и сам интеграл непрерывен.

В этом случае существует такое число б) О, что при (х — хогг(б необходимо (7) Из соотношений (4) — (7) следует, что ' ,)угг(х) — У',(х,) (е, если ,'х — х, - б, (8) т. с. что потенциал ук'г (х) непрерывен в точке х,. Если это так, то в указанной точкс совпадают предельные значения потенциала 1)кг (х) и его пргомое значение (егтг (хе) =- (егг, (хе) =- )с'г (хе) (9) Формула (4,2) показывае~, что предельные значения интеграла Гаусса 1Ро (х) существуют и равны соответственно ()пег (х,) = = — (гп — 2) Яг;, йуег (хе) =- О, а прямое значение Гсо (хе) =- гп — 2, 2 Теперь из формул (2) и (9) следует, что предельные значения Ррг (хг) и ПУг (хо) с)чцествУют, п)гичем )УгГ (ХЕ) =- Ю'Г (ХЕН- О (ХЕ) ®'ЕГ (Хе) = = )~'тъ ((ха) — (гп — 2) ' Зг! о (ха), (1О) Цт, (хе) = Кг (хе1 + о (хе) ЦУО, (х ) = Ж 1(хе).

Далее, д ! )Згг (х„) =.- ~ [о (е) — о (х„)) — —, г);Г =- г ас гам — '/ (т — 2)( 5г =- 1)г (х,) + о (хо), г„ = ' $ — х„', (1 1) и формулы (!) сразу иьюекают из соотношений (1О) и (11), ф Из формул (1) вытекает простое соотношение, связывающее плотность потенциала двойного слоя с его предельными значениями (12) йрг(хе) — (ре( ) = — ( — 2) ~бе~о(хе). 3 а че ч а и и я 1 Если плогиощь о (й) иа Г ие непрерывна а лигиь суммирусма. то как окачьгвветси, ирсдсльиыс ткачеиия потеппивла двоапого слоя сущсг гвуют почти всюду па Г и выражаются ио тем же форму.гам (!).

2бз 2. )(ля нормальной производной яотенцналв двойного слоя верна следукзщая теорема Ляпунова. Г!усть Г-лянуновсквя поверхность н плотность о('„) нв Г нснрсрывнн. Если яорнальнвя нронзводнвя яотсннннлн двойного слоя ннеет нрсдсл, когда х-ьхся Г нзнутря (нзвяе), то существует рввный ем) пРедел тон >кс яронзводнон нзвнс (нзнутрн). Теорема 14.5.2. Если поверхность замкнутил ллпуновская, а плотность на ыпой поверхности непрерывна, то потенциал двойного слоя равномерно стремится к своим предельным значениям как изнутри, так и извне поверхности. Сохраним обозначения, использованные при доказательстве теоремы 14,5.1.

Плотность о(с) непрерывна, а потому и равномерно непрерывна на Г. В таком случае радиус т! можно выбрать независимо от положения точки х, на поверхности Г. Далее, потенциал Ю',"(х).на самом деле есть функция двух ~очек: точки х е- :Ем и точки х, ~ Г, Если радиус Л фиксирован, то ца ограниченном замкнутом множество, определяемом соотношениями ! х,ееГ, (х — х,',== -т), упомянутая функция непрсрывна и, следовательно, равномерно непрерывна, поэтому число б, фигурирующее в неравенстве (8), можно выбрать зависящим только от в, То же соотношение (8) показывает тогда, что %',(х),— —,.

'йг,(х,) равномерно относительно х, ее Г. Наконец, потенциал (Тгв(х) постоянен как внутри, так и вне Г, поэтому если х - х, либо изнутри, либо извне Г, то %'в(х) стремится к своему предельному значению равномерно. Теперь из формулы (2) видно, что тем же свойством обладает и потенциал К(х). ° 5 6. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛА ПРОСТОГО СЛОЯ Теорема 14.6.1, Если Г-замкнутал ллпуновскал поверхность, а плотность и(й) измерима и ограничена, то потенциал простого слоя У(х)= ~ р(е) „', с(,Г (1) г непрерывен во всем просгпранстве Е, Непрерывность потенциала (1) при х(- Г очевидна; остается рассмотреть случай х ее 1".

Докажем прежде всего, что при х ееГ интеграл (!) сходится и, следовательно, потенциал простого слоя 1'(х) на поверхности Г определен. Построим ляпуновскую сферу Е(х) н пусть Г' (х)— часть Г, заключешгая внутри сферы З(х); имеем 1'(.)= ~ р(е) —,.—. дьГ+ ~ р(й) — „,-- ГГ Гг сх) г,г и) Во втором интеграле подынтегральная функция непрерывна, и достаточно рассмотреть первый интеграл, Введем местную систему 264 координат (;„к,, ..., с„,) с центром в точке х и с осью ~„, направленнои по нормали к Г в этой точке. Положилт р'=й) -)- + Д+...+Ц, т Обозначая через 6' (х) проекцию поверхности Г'(х) па плоскость $ =О, касательную к Г в точке х, имеем равенство 1 а —,.': = 1 ~~) ",."".",.—;,"-Ы: (2) т й»1 а' м) если ) р $)) (М=сопз(, то подьштегральиая функция не превосходит величины 2М/р -', и интеграл (2) сходится.

»У Докажем теперь, что в любой точке х ~ Г потенциал (1) иепрерывеп, Пусть у — произвольная — — — -4 точка пространства Е„,. Вокруг точки х опишем сферу радиуса „О 1 т) ~ т(. Обозначим через Г„' и Г,", части поверхности Г, заключенные соответственно внутри и вне сферы. Интеграл (1) разобъем на два, взятые по Г;, и Г„", эти интегралы обозначим через $" и У". Тогда очевидно неравенство ) т' (у) — г (х) ) = ! г ' (у) ) + ) г ' (х) ' + ! т' (у) — т'» (х),'. (З) Осеним первое слагаемое в (3). Так как т)С т(, то Г„' с:1' ' (х), и па Г;, можно внес~и местные координаты с началом в х, Обозначим через у' проекцию точки у на плоскость, касательную в х (рис, 20). Местные координаты точки у' пусть будут (у,, у„ ...

т — ! ..., у „О). Положим р'= У', ($т — у»)т; р есть длина проекции *=! отрезка, соединяющего точки $ и у, на плоскость, касательную в х. Ясно, что р= $ — у). Далее, ттьг ) у (у) = ~ р Ф, „.„. т г' »»т ... лй~ ,1 р'» »сот(», "=~) ) рл~-т здесь 6' — проекция поверхности Г„' на касательную плоскость в точке х. ! Возьмем точку у столь близкой к х, чтобы |у — х)( — т(. 2 Тогда, если $ ев Г„', то Р ()  — У1~)  — х)+) х — У ) — т), »65 Это значит, что область 6„' целиком лежит в (пг — 1)-мерном 3 шаре р,- г! и, следовательно, 2 (4) 2 .3 В (и — 1)-мерном простраиствс введем сферические координаты с пснтром в точке у'. Тогда г(сг ... г!е г = р™ 2 г(р г(ог; здесь и ниже в настоящей главе через а, обозначена единичная сфера в (и — 1)-мерном пространстве, а через г(пг — злсмспт площади ес поверхности.

Формула (4) принимает вид з ч ! (г' (у) ' == 2й4 ~ г(ог ~ г!о =- ЗМ ' о, ' гь о, й Пусть е — произвольно заданное положительное число. Возьмем г)=- ",' . Тогда, ссли 'р — х',(----"-' —,, то, )г' (у) !.=.::.Р!3. иггг!О,!' ' ' ' гам а !' Последнее неравенство, очевидно, верно и для д=-х: ~ (г' (х) !=- == а(3. Теперь неравенство (3) дает следугощее: ' 'Р' (У) — )г (х) ' .= —, е+ Г' (и) — (г" (х) ь Выберем число б) О столь малым, чтобы б( —,4 и чтобы гВГН и, ! прн ! у — х ' ( б было ~ )г" (у) — )г" (х) ! ( — '. Тогда ! )г(у) — )г(х) ! (е ш й 7. НОРМАЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ПОТЕНЦИАЛА ПРОСТОГО СЛОЯ д!' (х) г' д Г Выкладка, аналогичная той, которая была проделана в 2 2, приводит к формуле д ! ггг — 2 — — = — = = — сов (г, п); да Г~ ' г'" (2) 11о-прежнему будем расстгатривать потенциал простого слоя (6,1), предполагая Г замкнутой ляпуновской поверхностью. Пусть х — произвольная точка пространства Е и и — внешняя нормаль к поверхности Г, проходящая через точку х.

Если х (: Г, то можно вычислить ироизводиуго потенциала (6.1) по направлснюо нормали и, просто дифференцируя под знаком интеграла: отсюда (3) г Пусть х с= Г. Гели плотность и (х) измерима и ограничена, (р(ь) (-л)М=-сопз(, то интеграл (3) сходится. Докажем э)о. Выделим часть Г (х) поверхности Г, лежащую внутри ляпуновской сферы 5 (х). Лостаточно доказать, что сход»тся интеграл сев(г, и) р (с) „', д-,Г. Введя местные координаты с началом в точке Гух) х, приведем последний интеграл к виду (4) ог(х) здесь б'(х) — проекция Г'(х) па касательиу)о плоскость в точке х.

Характеристики

Список файлов книги