С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 51
Текст из файла (страница 51)
В силу альтернативы Фредгоззьма цеодпородцос уравнение (2) разрешимо при любой непрерывной функции !р(х). Вместе с тем для любой непрерывной граничной функпии ~р (х) разрешима и внешняя задача Дирихле; ес решение можст быть представлено в форме (1). 3 а и е ч а н и я. !. Исслс,юванис интегральных уравнений теории погсини- ала несколько усложняется, ко,да область 0 (или о'! ограничена пе одной, а несколькими замкнупами лнпунавскнчи пассрхнастил~и Результаты оказыва- ютсв несколько инымн, чем н случае адней граничной поверхности, Подробно вти папрасы нчлажшпз в [[41 2, й!стад потсвниалоа л~ожно применить н к некоторым другим краевым задачам [[усш, например, требуется найти функшпа и[х), гармоническую либо внутри.
либо вне замкнутой регулярной поверхности Г в удовлетворяющей краевому условию аида ~ди .. + Р(х) н1 — — се [х), (7) дп .[г где р (х) и ы(х! — функции, непрерывные на Г, п — внешняя нормаль к Г в точке х се Г. Такога рода задачу называют часто глрелмей краевой задачей Будем искать сс решение и виде потенциала простого слоя и (х) = !) [х Я) —,йьГ. ! гм 'г (8! Воспользовавшись теоремой о предельных зна ~енина нормальной производной потенциала (8), полу пш для р(с) интегральное уравнение со слабой особсп- 279 Пусть о, ~ 7 з (Г) — какое-либо решение уравнения (3).
Как и в ~ 1, можно доказать, что это решение непрерывно. Построим функцию д ! и, (х) = ~ оа(с) — —, с(йГ + =., т и, (х) г(йГ, (4) 1 г гармоническую в П'. Из уравнении (3) следует, что иа(х) 'г =— О; по теореме единственности для внешней задачи Лирихле и,(х) =О, х ен (а. Имея это в виду, умножим выражение (4) на [х "-' и положим [х[ — со. На бесконечности потенциал двойного слоя убывает как !х,™, поэтому в пределе первое слагаемое исчезнет, и ~ оо(й) с(йГ= О, (5) г Итак, любое решетп[е уравнения (3) удовлетворяет соотношению (5). Но тогда уравнение (3) упрощается и принимает вид о,(х) + 2 Г д ! (т — 2) ! 8г !,! дч гм г~,(а) д.г О (6) ностью р(Х)-$-, ~ ( -- —, + —.) И(с)дзг =- 2 Г Гд ! О(х)1 (ш — 2! 5,,1 (ди г"' ы(х) х сн Г (9) 2 (и — 2)!5,, Знак плюс соответствуег внутренней задаче, знак минус — внешней Еочн задача (7) для гармоннческон функпин имеет ве более одного реше.
пик, то уравнение (9) разрешимо прн любой ы(х), и наша задача имеет решение Если решение нссдипствсяно (именно, ес.чи однородная задача (7) имеет Я линейно нсзависнмых собственных функпий), то оно существует тогда и тзлько тогда, когда ы(х) удовлетворяет й условиям ортогональности По ~сореме Фрелгольма число й конечно Внутренняя (внешняя) задача (7) для гармоничесной фупкпии имеет единственное решение, если р (х) — О и р (х) - О па множестве полон,нтельной меры на Г (соответственно О(х) «О и р(х) со па множестве положительной меры на Г), Докажите! й 6. СЛУЧАЙ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ Если гп=-2, то сингулярным решением уравнения Лапласа ! является (с точностью до постоянного множителя) функция 1п —, г ' г=',й — х!.
В соответствии с этим потенциалы простого и двойного слоя на двумерной плоскости определяются формулами )г (х) = 1 1 (Е) 1п —, г(ЕГ, (1) г (Р'(х) = ~ о (й) —, 1п — „!(ЕГ; (2) г à — кривая, о которой мы предположим, что она замкнутая ляпу- новская. Неравснство (2.б) заменяется таким: ~ ~ - - 1п — ) с(ВГ ( С = сопя(. (з) .'г Плотности а(с) и р(х) будем считать непрерывными.
По!енциалы (1) и (2) принято называть логарифмишскими. Ло- гарифмический потенциал двойного слоя гармоничен как внутри, так и няе Г, на бесконечности оп имеет оценку О (,х,-'), Лога- рифмический потенциал простого слоя гармоничен внутри Г; вне Г он (в отличие от случая гп)2), вообще говоря, пегармони- чен: функция, гармоническая в бесконечной области на двулгер- ной плоскости, гголжна быть ограниченной на бесконечности, а потенциал простого слоя в общем случае растет на бесконечности как !п(х!, Лля потенциалов (!) и (2) справедливы теоремы, аналогичные (но нс всегда тождественные) теоремам, доказанным для случая лт)2: потенциал простого слоя нспрерывеп на всей плоскости, кроме, может быть, бесконечно удалешюй точки; имеют место предельныс соотношения для потенциала двойного слоя (Р',(х) = — по(х)+ ЪР (х), ГР',(х) = па (х)+ Ф(х) (4) 280 и для нормальной производной потенциала простого слоя д!'(х) д!'(х) !)!'(х) дн (х) — = и)) (х) (- —, —.
— =- — пр (х) + дл, ' дл ' до, дп Интеграл Гаусса вычисляется по формуле — 2п, х внутри Г, — !п — г(эГ=. О, х вне Г, д ! дх г — п, хепГ. (б) (б) Задачи Дирнхле н Неймана ставягся как обычно: мы сохраняем также обозначения )р(х) и р(х) для функций, заданных в этих задачах. Важно отметить, что прн т=2 вненшяя задача Неймана М, отличается некоторымн особенностями. Теорема единственности для задачи й'г в данном случае формулируется так же, как н для задачи У,: два решения этой задачи могут отличаться только па постоянное слагаемое. Верно и обратное: две функции, гармонические вне Г и разлпча)ощиеся только постоянным слагаемым, решают одну и ту же задачу М,.
Другая особенность задачи У, на двумерной плоскости определяется следующей леммой. Лемма 18.6.1. Для того чтобы при т=2 задача Л), имела решение, необходимо, чтобы ))р(х) г(х=О. (7) Допустим, что рсшепие и(х) задачи М, существует. Вокруг начала координат опишем окружность 5„столь большого радиуса К, чтобы кривая Г лежала внутри 5л. Функция и (х) гармонична вне 5л и непрерывна в соответствующей замкнутой области, поэтому справедлива формула Пуассона гх ! г рг )гг и(х) 2' ~ р~ 2д ~~(~ )! уи(К )г(о) (8) о Эта формула получается из формулы (3.9) гл.
12 при т=2, здесь К, ы — полярные координаты точки $, и(К, в) =и (й), р, 9 — полярные координаты точки х н р )Я. Продиффере)щируем формулу (8) по декартовым координатам точки х. Это проще всего проделать так. Положим г=кг+)х„ 4=$г+й„где х„, х, и Э„5г — декартовы координаты точек х и $. Тогда г=ре'з, ь= Ке'" и, как легко проверить, рг х)г г "ьй ,= Ке — ''; рг — 2йрсог(го — Э)+я' г — й ' отсюда о р- — Й' д г+С дх! рг — 2Г(р со! (ш — 6) + Дг дх, г — ! = Ке — — — — Ке д г+С 2С дгг — ( (г — С)' ' 2З! ди 1 Г ! ~ ди г за здесь и — внешняя нормаль к Г, соответственно к 5- в точке х; перед первым интегралом поставлен знак минус, потому что нормаль и на à — внутренняя для области ()а. Последней формуле можно придать вид — ~ ф(х) д„Г+ ~ — г(,5, =О.
! зя' (9) Из полученных выше оценок следует, что при )( достаточно большом на окружности он ди! 1 ди, ди с — - — соз (а, х!)+ — соз (и, хг) ~ ~ =, с=сопз1, да ~ ~ дх! дхг ~ Ф Но тогда — =Ю— —" гг' Яй ~ -- — 2п)7 = 2™- — О; да "й йг 'г! Я и' положив в формуле (9) й- сю, придем к соотношению (7), ® Как и в обгдех! случас, будем искать решение задачи Дирихле в виде потенпиала двойного слоя (2), а решение задачи Неймана — в виде потспциаг!а простого слоя (1). Это приведет к интегральным уравнениям о (г)-1- ~ (ь) д 1и ( 1 ! г(! (х Ф) й для задачи Дирихле и 1 ! д 1, 1 1!(х) ! — 1 р($) — (п — г1;1 =-! — г) (х) для задачи Неймана.
Ядра этих уравпсний име!от слабую особенность. В данном случае легко показать, что они ограничены, если показатель Ляпунова сг = 1, и непрерывны, сели кривая Г имеет непрерывную кривизну По-прежнему уравнения задач О! гаг теперь Зи д - — — — —. ~ и ()!, о) Ке г — „),г(и'=О~'х1г)' дх, (г — '„')г, х1г о ди,,' 1 Аналогично найдем, что и — = О ' †). Последние опенки верны дх! 11 х (г! при достаточно больших 1х~, Напишем теперь формулу (2,7) гл.
12 для области 1)я, ограниченной кривыми Г и о-„где Й >Й: (13) 2ВЗ и Аг„а такжс задач с), и М; образуют сопряженные пары, Ниже предполагаем, что кривая à — ляпуновская, Исследование интегральных уравнений ((7) и (М) проведем, опираясь па слсдую1цую лемму, Лемма 16.6.2. Если интегрильное уравнение аадичи М, р (х) — - ~ )с (Е) — !и — с(тГ =- — - - ф (х) 1 ' В 1 ! (ГО) г разрешимо, а ф (х) удовлетворяет равенству (7), епо патент!иал простого слоя (1) решает задачу Х„, Пусть уравнение (10) разрешимо. Взяв его решение за плот- ность потенциала (1), получим функцию, удовлетвориюшую крае- вому условию задачи У, и гармоническую вне Г всюду, кроме, может быть, бесконечно удаленной точки, где эта функция мо- жст оказаться неограниченной. Остается доказать, что если условие (7) выполнено, то потенциал (1) на бесконечности о~ ра- ничеп.
Обе части уравнения (10) умножим на д,Г и проинтегри- руем по Г. Учитывая условие (7), получим ~ р (х) д à —. - ~ ~ )с (с) — !и — дтГ д„Г = О. г г' г В двойном интеграле переставим обозначения х н ь; прп этом и заменится на т. Используя третье из равенств (6), найдем — ~ ~ и ($) — 1п — ь(ВГ д„Г = — ~ ~ р (х) — ! п — дтГ с(„Г = — р(х) 1 --!и — дтГ~с(„Г= — ~ р(х) д„Г. г г Теперь из равенства (11) следует ) р (х) е(„Г = О.
(12) г В равенстве (12) заменим обозначение х на 2, затем умцожим ато равенство на !и'х! и сложим с равенством (1). В резуль- тате получим новое выражение для потенциала (1) У(х) = ~ р(~)!п'~~ д=,Г. При !х ч-со интеграл (!3) ограничен (он стремится к нулю), ® Анализ интегральных уравнений (О) и ()ч) проводится, ио су- птеству, так же, как и в 6 3 — 5; вкратце наметим этот анализ. Прежде всего докажем, что уравнение (10) задачи М, разрешимо пРи любой пепрерывнои функции ф(х).
В соответствии с альтер- нативой срредгольма рассмотрим однородное уравнснпе рь(х) — — ~ р.ьЯ), !и дь1' =-О. (14) г Пусть р,(х) — какое-либо его решение. Свободный член уравне- ния (14), равный нулю, очевидно, удовлетворяет условию (7), и в силу леммы 15.6.2 потенциал )г„(х) =- ~ (г,(с)!п- ахГ решает однородную задачу лг,. По теореме единственности задачи Ф, )г, (х) = — С=сонэ( вие Г.
Будучи непрерывным иа всей плоскости, потенциал (г,(х) = — С и на Г, Наконец, из теоремы единствен- ности задачи О, вытекает, что )гз(х) С и внутри Г. Но тогда — = — = — О и из формул (5) следует, что дую(х) д1'о (х) дз, ди, Из леммы 15.6.2 вытекает теперь, что условие (7) не только необходимо, по и достаточно для разрешимости задачи Ф, на двумерной плоскости. Вместе с уравнением (!О) всегда разрешимо и сопряженное с пим интегральное уравнение задачи Пь Отсюда следует, что н на двумерной плоскости задача Вг всегда разрешима. Исследование интегральных уравнений задач (г, и Л(1 прово- дится так же, как в общем случае, и приводит к тем же резуль- татам: условие (7) необходимо и достаточно для разрешимости задачи Ж,; однородное интегральное уравнение задачи О, а,(х)+ — 1 а,(~) — !п — г(1Г = О 1 Г д 1 (! 5) г имеет решением только постоянную. Решение задачи Р, на двумерной плоскости можно построить, отыскивая его в виде суммы и (х) = ~ о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
