С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 53
Текст из файла (страница 53)
к классу 1Лрр(Г). 3 а меч а н и е. Утверждение настоящего параграфа ьюжно несколько уси- лить: любюе решение >равпнння (2.7) принадлежит к классу Ыро(Г). В самом деле, раз установлено, что р гм Ырр(Г), то, по теореме 7.6.1, производная а)(/вгеод В1рр(Г) и тем более ограничена, а тогда Хш 1(р,(Г), Слагаемые справа в (2) теперь принадлежат к классам Лнпшица с показателямн 1 н а. а тогда и ен ь)ро (Г), й 4. БОЛЕЕ ПРОСТОЙ СЛУЧАЙ ЗАДАЧИ О КОСОЙ ПРОИЗВОДНОЙ Если в краевом условии (1,5) о(г) =О, то задачу о косой производной можно решить до конца. Вместо уравнения (2.7) получается несколько более простое уравнение сох (). — д) р (г) + 1' к)п (й — Ь) (5)з) (г)— 2пт егж ~~ Р р (Ь) 10' 291 (8) (10) Метод, которым мы воспользуемся для его решения, бы.н впервые предложен Карлеманом в 1922 г.
и в последующем был широко использован в теории одномерных сингулярных интегральных уравнений Введем в рассмотрение функцию комплексной переменной Р (г) = - — ~ — дь; точка г может находиться как внутри, так с и (с? 2~и зь — г г н вне Г, Как и в гл. б, будем обозначать функцию Р(г) через Р~ (г) (соответственно Р,(г)), если точка г лежит внутри (соответственно вне) Г; предельные значения функций Р~(г) и Р,(г) при г — С ен Г будем обозначать через Р, (() и Р,(т). Из формул (5.8) гл.
6 следует р(()=Р~(1) — Р,((), (Яр)(1)=Р~(1)+Р,(1). Подставив зто в (1), придем к новому уравнению Р~ (1) — ель Р"е~ Р, (() — — „+1? с(ь =е пх е>ф ((). (2) Введем новые аналитические функции аг (г) Рг (г) 2 ) т Д~' 6 (г) (г)' г и(Ц г Очевидно, 6~(г) голоморфна внутри Г, а 6,(г) — вне Г, и а,(о) =о. (4) Уравнение (2) принимает более простой вид а(1)- "' '6.(()= -'"-"ф(1). (5) Формула (2.8), определяющая индекс задачи, означает, в частности, что — 21 (Х вЂ” б) = (хо+ ?, (1), (5) где функция Х,(1) однозначна и непрерывна на Г, Из допущения (см. 9 1) еплц ен Ско (Г) вытекает„что и Х,е= Спо (Г).
Обозначим Р (г) = — ~ — дь; г й Г, 1 гхой 2лю зь — г По формулам Сохоцкого — Племеля р,(1) — (1,(1) =1,,(1) Положим теперь % (г) = 6! (г) г "', Фе (г) = ае (г) г "есо (7) Подставив зто в (5), получим равенство Ф~ (1) — ("Ф. (() = ф (1). где для краткости положено (1) е ы~ а+в~<о ф ((? (9) Прежде всего исследуем однородное уравнение Фс" (() — (кФ~" (() =0' нуликом будем обозначать вообще величины, относящиеся к однородной задаче.
Уравнение (10) показывает, что функция г"Ф,' (г) является аналитическим продолжением функции Ф,'" (г) в область ~г; ') 1. Дальнейшее зависит от значения х; отметим еще, что Ф," (со) = = б'," (оо) = Р,"' (оо) = О. а) Если х~О, то функция Ф;" (г) =г"Ф,"'(г) на бесконечности обращается в нуль. Но тогда эта функция голоморфна на всей комплексной плоскости. По теореме Лиувилля,Ф,'"' (г) = = сопз1, но Ф,"' (со) =0 и, следовательно, Ф,"'(г) — О. Одновременно Ф',"(г)= — 0 и, следовательно, 6,"'(г)=0, 6,"'(г) — О, или г отсюда р.(1)=Р." (1)-Р." (()= — ', +) (~, (11) Р'"()=6;"()+,— '~ — "и(") (~; ~р()=К" (), и по формулам Сохоцкого — Племеля р. (1) — ~— „, ~ ~+ ~(ь = б'"' (1) — 6Р' И). г (12) Умножив это на Ж!( и проинтегрировав по Г, получим необходимое и достаточное условие разрешимости уравнения (12): 01 (') 01 (О,и=О, (13) 293 Уравнению (11) удовлетворяет функция ц~ (() = сопз1; других решений это уравнение не имеет, Таким образом, если х(О„то однородная задача о косой производной имеет только одно линейно независимое решение; нетрудно видеть, что это решение есть и (х„, х,) = — сопз1 Размерность подпространства решений сопряженной задачи или, что то же, число условий разрешимости неоднородной задачи о косой производной, равно 1 — х.
Ь) Пусть теперь х) О. Функция Ф'," (г) = г"Ф,'" (г) голоморфна на всей конечной плоскости и на бесконечности растет ие быстрее, чем полипом степени х — 1, По другой теореме Лиувилля Фг' (г) есть полипом степени — .х — 1; подпростраиство этих полиномов имеет размерность к. Условие (4) дает Ф,"'(0) =0; это означает, что в упомянутом полиноме не должно быть свободного члена, и размерность подпространства функций Фпо (г) уменьшается до к — 1. Такова же размерность и цодпространства функций бел (г). Если эти последние функции уже построены, то В силу условия (4) 6';"'з(1) = О, кроме того, 6,"' (со) = О. Отсюда следует, что условие (13) выполняется тождественно, и уравнение (12) разрешимо. Размерность подпространства функций р„ очевидно, на единицу больше размерности подпространства функций 6;"' и равна х.
Иначе говоря, в случае х)0 однородная задача о косой производной имеет х линейно независимых решений; условия разрешимости отсутствуют. Вернемся к уравнению (8). Здесь нам придется рассмотреть три случая: х=О, х 0 и х)0. 1) Если х=О, то уравнение (8) принимает вид Ф; (1) — Ф,(1) = = ф, (1); как показывают формулы Сохоцкого — Племеля, решением последнего уравнения является функция (14) Однородное уравнение (10) имеет в этом случае (см. п.
а) только триниальное решение, и формула (!4) дает в рассматриваемом случае единственное решение уравнения (8), Зная Ф(г), восстанавливаем 6(г) по формулам (7). Соотношения (4) и (7) дают необходимое условие разрешимости задачи: Ф~ (0) =О, нли Пусть это условие выполнено. По формулам (3) найдем Г,(г)=6,(г)+ —, +1)пь, Г,(г)= 6,(г). Формула р (1) = с'; (1) — Р, (1) приводит к интегральному уравнению для р р (1) — — „, — д~ = 6~ (1) — 6, (1).
(16) (15' решением которого, как мы видели, является единственным функция ! Ф(г) = —, 2:и' 1 — Д1, !г~Ф!, 294 Как и в п. Ь), докажем, что это уравнение разрешимо. Таким образом, при х= О условие (15) необходимо и достаточно для разрешимости задачи о косой производной. 2) Пусть теперь х(0. Введем функции Ф,(г) и Ф,(г), полагая Ф,(г) =Ф,(г), Ф,(г)=г"Ф,(г), Очевидно, Ф,(г) голоморфна в круге ',г,'(1, а Ф,(г) — во внешности круга, !э!~1, причем Ф,(со) =О.
Уравнение (8) приводится к уравнению Ф(1)-Ф. (1) =ф,(1), отсюда Ф«) =й ~ ~ —,~~ Г Еь (1) Ф, (г) = , 1 „ 1 % †'(1) (1, ! г ! ) 1. (17) На бесконечности Ф, (г) должна иметь нуль, по крайней мере, первого порядка, и это дает — х необходимых условии: ~ йЧ(Ц~зс(Ь=О, й=О, 1, ..., — х — 1, общее решение получим, прибавив к функции (!9) общее решение уравнения (10) (см. п. Ь)), подчиненное вытекающему из (4) условию Ф, (0) = О.
В этом случае, как было уже выяснено в п. Ь), условия разрешимости отсутствуют, так что задача о косой производной разрешима при любой функции ф(1), а однородная задача имеет х линейно независимых решений. й 5. СЛУЧ*й МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Коротко скажем о случае, когда размерность пространства лч)2.
При достаточно широких условиях (см, (28)) существует синтулярное решение дифференциального оператора в левой части 295 Если эти условия выполнены, то можно построить функции Ф, (г), (р,(г), и затем по формулам (7) — функции 6,(г) и 6,(г), Условие (4) по-прежнему ведет к необходимости условия (15); будем предполагать, что оно выполнено. Далее строятся функции Р, (г) и Р,(г!, и для р опять получаем разрешимое уравнение (16), Таким образом, в случае х~О условия (18) и (18) не только необходимы, по и достаточны для разрешимости задачи о косой производной. Число этих условий равно — х+1, а число решений однородной задачи о косой производной равно единице. 3) Остается рассмотреть случай х~О.
В этом случае будем искать частное решение Фсм(г) уравнения (8), имсющее на бесконечности оценку Фоо(г) =6(/г!-'-'). Положим Ф, (г) =Ф,"'(г), Ф, (г) = г'Ф,'" (г), тогда Ф, (г) имеет иа бесконечности нуль порядка не ниже первого, и Ф;(1) — Ф,(1)=ф,(1). Решение последнето уравнения есть <6(г) = —. ~~ — оЬ, что приводит к частному 1 Г 41(1) решению уравнения (8): (19) уравнения (1.1). Это решение при лг) 2 имеет вид Н(х, ») =«р(х, $)+ф,(х, Ц, где ~ — 2 «р (х, Э) = (Ст» (х) (хг — $,) (х» — с»)) з, (2) («» — 21~ л«У А(х) А (х)- определитель матрицы коэффициентов Аг» (х), а С,» (х) суть элементы соответствующей обратной матрицы. Функция ф, имеет при х=$ особенность более слабую, чем функция ф Примем, что граница à — достаточно гладкая, свободный член в уравнении (1.1) равен нулю и что любое решение задачи, принадлежащее классу Сио (»«)', можно представить в виде «потенциала простого слоя» и(х) = ~Н(х, 5)рЯ) йьГ.
(3) В таком случае задача о косой производной сводится к равносильному сингулярному интегральному уравнению — — г — + ~ — )» Я) «(ьГ+ о (х) ~ Н (хД) (» Я) «(.1 = г г ф(х), хенГ; (4) здесь для краткости обозначено а'м (х) = А,» (х) 1 «<або Х) соз(т, х,) соз(т, х»), т — внешняя нормаль к Г. Сравнительно легко удалось изучить тот случай, когда направление Х нигде не касается границы Г. Этот случай был впервые исследован Ж. Жиро в 1934 г., его исследование было несколько упрощено автором настоящей книги (см. 127)).
Как оказалось, в этом случае задача о косой производной имеет фредгольмовский характер в (.р(Г), 1 ( р « оо, а также в пространствак липшицевых функций: в указанных пространствах эта задача нормально разрешима и ее индекс равен нулю. Если направление дифференцирования хотя бы в одной точке касается границы области, то в упомянутых выше пространствах задача о косой производной перестает быть не только фредгольмовской, но даже нетеровской: она либо не разрешима нормально, либо ее индекс бесконечен, либо и ~о, и другое вместе. Глава 17 ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД. СЛАБЫЕ РЕШЕНИЯ й И ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ С ОДНОРОДНЫМ КРАЕВЫМ УСЛОВИЕМ Рассмотрим первую краевую задачу для эллиптического уравнения второго порядка, которое на протяжении настоящей главы считается формально самосопряженным: — — А„ (х) †„ ) + С (х) и = / (х), х ~ й; ило = ~Р (х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
