С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Допустим теперь, что à — характеристическая поверхность, д" дй т. е. что Л;„ - '- †- =О. В переменных с, коэффициент при произ' ~хг ~ха д2а водной — „тогда обращается в нуль, и паше уравнение по отнод1'" шению к переменной $ есть уравнение первого порядка. Покажем, что на поверхности Г можно вычислить все нроизводные, входяа1ие в преобразованное уравнение (1), исходя только из данных Коппс Действительно, величина и (г=грь(л) известна. ди ~ Первые производные .— ~ можно определить так, как об этом дй, ~г сказано выше.
Вторые производные, не содержащие двукратно дифференцирования по ~„, можно найти, дифференцируя первые производныс по $п $, , $„,, т. е. по направлениям, касательным к Г. Единственная вторая производная, которую нельзя д'и вычислить, исходя только из данных Коши, — это ль, но как 1И раз она в преобразованном уравнении отсутствует. Значения всех слагаемых в левой части уравнения (1), преобразованного к переменным Ем ~е, ..., $, могут быть вычислены на поверхности Коши Г. Подставив этн значения в уравнение, получим„что некоторая заданная функция должна тождественно равняться нулю.
Это и есть соотношение между дапнымп Коши па характеристике; если оно нарушено, то задача Коши с данными на характеристике решения не имеет. Для примера рассмотрим уравнение теплопроводности ь=~ откуда ге=1(х ), где )' — произвольная функция. Уравнение характеристической поверхности имеет вид 7(х )=сопз1; решая его относительно х, получим уравнение вида х = сопз1. Таким образом, характеристики уравнения (7) суть плоскости х 177 = сопз(. Пусть поверхность Коши есть плоскость х =О, а условия Коши имеют вид ди и!» -о=!Ро(х„..., х„,), — ~ =грТ(х„..., х,).
(8) Полагая в уравнении (7) х =О, сразу получаем соотношение »1 — ! ч!»= 7 — ~,". Отсюда видно, что второе из условий (8) задавать д-%о дх" ' »=! пст смысла — достаточно задать только условие и)„„о =гро(х„хо, ..., х~ !). й 3. ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ Рассмотрим специально случай линейного невырожденного преобразования переменных Е,=)',»х», й=1, 2, ..., т; !'„»=сопз1. (1) Введем в рассмотрение матрицу l с элементами 1,». Преобразование (1) можно записать в виде с= гх. Зафиксируем точку х, тогда матрица А старших коэффициентов уравнения станет постоянной. Матрицу г' можно выбрать так, чтобы преобразованная матрица старших коэффициентов (формула (!.5)) А = .7А/' была диаго~альнои: А,„ = О, 1 Ф й. Тогда в зафиксированной точке уравнение (1.1) принимает впд т д»и +»1! ('$ Е и ди ди .д!»1=0 (2) »=! Здесь у»=А»». Такой вид уравнения второго порядка, когда отсутствуют смешанные вторые производные, называется каноническим видом этого уравнения.
Таким образом, уравнение в частных производных второго порядки, линейное относительно старших производных, можно в любой точке пространства привести к каноническому виду с помои(ыо линейного преобразования независимых переменных. Очевидно, что уравнение можно привести к каноническому виду сразу во всем пространстве, если старшие коэффициенты Ам постоянные, Уравнения Лапласа, теплопроводности и волновое имеют канонический вид. Канонический вид уравнения тесно связан с его типом. В силу закона инерции квадратичных форм среди чисел столько же положительных, отрицательных и нулей, сколько их среди чисел 7,» — характеристических чисел матрицы старших коэффициентов. Поэтому тип уравнения в частных производных второго порядка, линейного относительно старших производных, можно определить так: уравнение (1.1) принадлежит к типу (а, (), у), если в канонической форме (2) этого уравнения среди чисел у» есть а положительных, р отрицательных и у нулей.
о78 й А ФОРМАЛЬНО СОПРЯЖЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ Рассмотрим линейное дифференциальное выражение второго порядка (1) В евклидовом пространстве координат х„ х„ ..., х зададим конечную область О, ограниченную кусочно гладкой поверхностью Г. Будем предполагать, что в замкнутой области Й = = Р()Г коэффициенты А,»ее С(»)(»1), А ее С(»)(11), А,~С(»1). Построим дифференциальное выражение М, которое называется формально сопряженным с ь д»(А)»и) д(А»и) Ми= „„— + Л,и. (2) Удобно преобразовать й к виду Если Е записано в такой форме, то М примет вид (4) Формальная сопряженность есть свойство взаимное: выражение, формально сопряженное с М, есть 1..
Действительно, / Пусть й1 есть дифференциальное выражение, сопряженное с М, тогда 1.и= — 1А»-- )+Си, А)»=А»р д l ди1 дху (, ' дх») (5) Оператор Лапласа и волновой оператор формально само- сопряжены; оператор теплопроводности не является формально самосопряженным. 179 й(и = — ( Л». — ' + + (С вЂ” — ) и = (.и. д / ди1 д(В»и) / дВ»1 дху ~ )»дх») дх» ( дх» ) Если М= — Е, то выражение 1.
называется формально самосопрлженным. Как видно из формул (3) и (4), формально сопряженные выражения отличаются только средними членами этих формул. Ясно, что М= 1 и дифференциальное выражение й будет формально самосопряженным тогда и только тогда, когда В» = О, й=1, 2, ..., т. Отсюда следует, что самосопря>ке|п1ое дифференциальное выражение второго порядка можно привести к виду й 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Рассмотрим линейное уравнение в частных производных любого порядка э: 1.и = ~', А,(х)Р"и =! (х).
о,=-о Левая часть этого уравнения, йи, называется линейным дифференйиальным выражением порядка з. Дифференциальное выражение Ми=,У, ( — 1) ' Р' а,=о называется формально М— = !., то выражение !. Дифференциальное к виду (А„и) (2) сопряженным с выражением Р. Если называется формально самосоп ряженным. уравнение Ри = Г'(х) можно привести Си = ~; РВ (ВВ„Рти) =-)'(х), а -т —.о где Ва — некоторые новые коэффициенты. Тогда формально сопряженное выражение принимает вид (3) 5 Ми= ~Ч~ ~( — 1) а+о'Рт (ВВХРВи). ж+т =о (4) й 6.
ФОРМУЛЫ ГРИНА Пусть дифференциальное выражение ! определена формулой (4.3), коэффициенты которой удовлетворяют условиям э 4. Пусть, далее, функции и, о ~Со(Й). Составим интеграл ~ о дх 1Агх дх ) йх+ ~ о(В дх + Си) с(х. (1) ово Применив к первому интегралу справа формулу интегрирования по частям 5 3 гл. 2), получим так называемую нерву~о формулу Грина ойи дх= — ~ А о — — ах+ до да дх; дхо + ~ о(Во — „" +Си) с(х+ ~ оА„.-;" соз (У, х!) йГ. (2) а г Здесь у — внешняя (по отношению к области) нормаль к поверхности Г. Напишем первую формулу Грина для формально сопряженного дифференциального выражения М, поменяв при этом местзмп и и о: иМог(х= — ~ Лм — - г(х+ ~~ и~~ — „— '+, С вЂ” — 'о~ ах + ( ди до 1' ( до ( дн») дх( дх»,) ( дх» ~ дх» ( + ~ иАм,— „соз(о, х()ЛГ. (3) до Вычтем формулу (3) из формулы (2).
Можно убедиться, что все объемные интегралы справа исчезнут. Лействительно, так как А,»=- Л»,, то первые интегралы в правых частях формул (2) и (3) совпадают. Далее, интегрируя по частям, получаем — ~ иВ» — »(х= ~ о Ых — ~ В»носов(о, х»)»(Г= до Г д (Н»и) дх» д дх» Я а г ди дд»1 = ~ )оВ» — +по — ~г(х — ~ В,ио сов(о, х») г(Г. дх» дх» ( а 1 Отсюда ясно, что объемные интегралы в формулах (2) и (3) справа тождественны, В результате вычитания получаем вторую формулу Грина ~ (ойи — иМо) Ах = ,I ди до ~ = ~ [Л,» ', о — — и — - ~+ В»ио~ соз (о, х„) ЙГ. (4) дх, дхД й Формулы Грина несколько упрощаются для формально само- сопряженных дифференциальных выражений.
В этом случае В» =О, и мы получаем следующие, более простые формулы: первая формула Грина до ди о(.и Их = — ~ А» . — — Нх+ ~ Сио 0х+ дх( дх» + ~ оА,»дх соз(о, х()»(Г; (5) г вторая формула Грина й (о(.и — и( о) г(х = ~ Лм1о — — и — сов(о, х() дГ. ди до ~ дх» дх»( -г Напишем формулы Грина для трех важнейших дифференциальных выражений (их обычно называют операторами) математической физики: Лапласа, теплопроводпости и волнового.
ъл д» !, Оператор Лапласа»» = ~ —,— формально самосопряженх~., дх» » =! иый; его коэффициенты имеют значения А,„=й,», С=О. Подставив зти значения в формулу (5), получим первую формулу Грина для 1з1 оператора Лапласа: и Г ди ди Г ди (7) Отметим два частных случая формулы (7). При и = о получаем т 1 иьи(х= — ~ Х ~-,"7Д +1иУ (Г. и о г (8) т — 1 д т~ д» 2.
Оператор теплопроводпости В = — — 7 — „не является дхт х~( дх» »=1 формально самосопряженным. Для этого оператора Атт=О; А,„= — 1, 1и-.й~п! — 1; А(»=0, 1~7»; Вт=1; В»= — О, 1-=.й=-.т — 1; С=О. Оператор М, формально сопряженный с оператором теплопроводности, имеет вид т — 1 д т! д» М= — — — хт дх»~( дх»' »=1 По формулам (2) и (4) находим (т — ! и а '»=! т — 1 — ~ о ~, — соз(т> х»)((Г, (11) Г»=1 ~ (ийи — иМи) !(х= т — 1 ди ди! = (( — ~ ( — — — * (, *,(~( (, „()!(.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
