С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Тогда эту фупкпию можно рассмазрнвать как элемент пространства С(-оэ, +со), которое в данном случае играет роль пространства Ва За В, примем пространство С (П) функций, непрерывных и ограниченных в полосе Я. За область определения оператора краевой задачи (5) †(6) примем множество функций иэ С(й), имеющих непрерывные вторые производные и удовлетворяющих условию - -! =О. Докажем, что в паре пространств Вь В, задача (5) — (6) ди ду о=о некорректна. Можно доказать единственность решения этой задачи.
Отсюда легко слш дует, что функции ш (х) == О соответствует решение и ю О. Сообщим теперь функции ~р(х).:- О малое (в норме пространства Вз) изменению рассмотрим задачу Коши для уравнения (2) с данными Коши соз пх ди ) и' о= —, — — — О, п ' ду (д о (7) где и-достаточно большее натуральное число. 172 Пусть у' — нижняя грань оператора А. Тогда )и(~у-э(и(. Подставив это в предыдущее неравенство, получим неравенство )и)л — — )гт(")л~1,'У1(')Р Это значит, что (Й(гг и -1!У, и задача (3) корректна в случае положительно определенного оператора А в паре пространств (Нл, Н). Решение новой задачи есть и (х, у)= соз лхсЬ лу что легко проверяется л подстановкой в уравнения (5) н (7) 0 ~евндно 1, 'сачах 1,' 1 созна 1 1 — ю<х<м! В то жс время 1 соя лхс)з лу 1 с)злд 11 и",н = гпах — — со — аз<а<се Л ~ Л с«„з Таким образом, сколь угодно малые (по норме В,) изменения данных могут вызвать сколь угодно большие (по норме В,) изменения решения, Это значит, что задача Каши для уравнения Лапласа в рассыотрецной нами паре прост.
ранств некорректна. 2. Рассмотрим гиперболическое уравнение д'и — =О. (8) дх, дхз Заметим, что уравнение (8) переходит в однородное уравнение колебаний струны, если сдслать замену независимых псренеиных х,=х+аг, х,=х — ат. Для уравнения (8) поставим задачу Дирихзе а квадрате О=(х: 0 хм ха<1) Контур кпадрата обозначим через Г. Условия на Г пусть имеют вид и1х ~=<у, (хз), и1 о —— ф (х ) (9) н1х, =! =7т (ха) л)х,=~ ='Ра(хг). За В, и В, примем пространства С(й) и С(Г) соответственно. Чтобы решение могло быть непрерывным, должны быть выполнены условия согласо- вания и,(О)=ф,(О), ре(О)=ф,(1), р (»= Р (О).
(10) Задача (8)-(9) неразрешима при произвольно заданных непрерывных функ- циях (9). Чтобы убедиться в этом, найдем обшсе решение уравнения (8). Представив его в виде — ~ — 1=0, видим, что — =1(х,), гДе функция( дх, ~ дх, ) ' ' ' дх. произвольна. Йнтегрируя далее йо х,, получим и(хы хз)=У~ (хг)+ сз(хВ, е,'(хз)=((хз), где гг и у,-произвольные функции. Можно удовлетворить первым двум усло- виям (9): Вг (0) + Г, (хе) = и, (хт), Ет (хг)+Ее(0)=фз (хг). Одна из постоянных у, (О) и Вз(0), очевидно.
остается произвольной. Поло. жим г",(0)=0, тогда у, (х,) =ф, (х,), г"е(х,)=~р,(х,) — ф (0). Решение определено полностью, равенство Г, (0) =0 вытекает из первого равенства 110). Ясно, что удовлетворить оставшимся краевым условиям (9) невозможно, если функции фз и ф, произвольны. Из сказанного следует, что задача (8) †(9) некорректна в паре пространств С (ь)) и С(Г), Глава 9 ХАРАКТЕРИСТИКИ.
КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД. ФОРМУЛЫ ГРИНА й К ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ (В) (4) 174 Пусть дано уравнение в частных производных второго порядка, линейное относительно старших производных, т /,»=с Допустим, что вместо независимых переменных х,„х„..., х введены новые независимые переменные Е,=$„(х„х„..., х ), г=1, 2, ..., и. (2) Выясним, как при этом изменится наше уравнение.
Для упрощения записи условимся не писать знака суммы, руководствуясь при этом следующим правилом: если в некотором одночлеином выражении дважды повторяется переменный индекс, принимающий значения от 1 до и, то по этому индексу произ- водится суммирование от 1 до и. Уравнение (!) можно теперь записать проще: д»и / ди ди ди А/„(х) + Ф х, и, —,—, ..., — ) = О. дхсдхс, ( ' ' дх, 'дх»' '''' дх„,/ Допустим, что в некоторой области изменения точки х пре- образование (2) взаимно однозначно, а его якобиан отличен от нуля, Такое преобразование независимых переменных будем называть невьсрожденньс»с. Предположим еще, что функции Е, имеют непрерывные вторые производные. Вычислим встречаю- щиеся в уравнении (1) производные ди ди дй, Ки д»й д;, дэ, ди дсй, дх» дЕ, дх» ' дх/дх» д$, дЕ, дх„дх/ дЕ, дхс дх„' Подставив эти выражения в уравнение (1), получим новое урав- нение дх» дх; дЕ,дЕ, с! с' '''' -и' ' дЕс ' дЕ» ' '''' дйхи) Ф»=Ф+Ас» д"-Е, ди дх/дх» дЕ» ' Введем обозначение А,— — =А дз,.
дЕх дх дх/ тай тогда уравнение (1) принимает вид д'и ди . ди ! ~» дЕгдЕ» + с(3м ° ° ~ Би' ' д ' '''' дй„, /с= О' Таким образом, при преобразовании независимых переменных уравнение (1) переходит в уравнение того же вида, что и исходное; меняются лишь его коэффициенты. Заметим, что матрица старших коэффициентов уравнения (4) симметрична "л Меняя в последней сумме обозначения / и й местами, получаем дхл дх; Теорема 9.1.1. Тип уравнения в частных производных (1,!) не меняется при невыражденном преобразовании независимых переменных. Из алгебры известен следующий факт.
Пусть некоторая матрица приведена невырожденным преобразованием к диагональному виду, Тогда количества положительных, отрицательных и нулевых собственных чисел данной матрицы соответственно равны количествам положительных, отрицательных и нулевых диагональных элементов преобразованной матрицы. Обозначим через 1 якобиеву матрицу преобразования (2). Ее определитель — якобиац этого преобразования — отличен от пуля, поэтому существует обратная матрица 1-'.
Формула (3) равносильна матричному равенству А = 1А1', в котором штрих означает транспонированную матрицу, Пусть невырожденное линейное преобразование с матрицей о преобразует матрицу А в диагональную матрицу Р, т. е. А .= =оРа'. Тогда по формуле (б) А=1оРо'1'=(1а)Р(1о)', и матрица А сводится невырождепцым преобразованием (с матрицей 1а) к той же диагональной матрипе Р, В таком случае количества положцтсльных, отрицательных и нулевых собственных чисел матриц А и А соответственно совпадают, фй й ъ.
хаиактеиистики. соотнош~ни~ между данными коши НА ХАРАКТЕРИСТИКЕ Рассмотрим уравнение в частных производных второго порядка (1) дх; дхл линейное относительно старших производных, Составим уравнение первого порядка Ам(х) дх д — — О. дв да (2) Опо называется уравнением харакгперпстик дифференциального уравнения (1). Если функция ы(х„хаи ..., х ) удовлетворяет !75 уравнению характеристик, то поверхность (в случае двух изме- рений — линия), определяемая уравнением го(хо хм ..., х )=С, (з) где С вЂ” произвольная постоянная, называется харакпмристической поверхносаива (соответственно характеристической линией) или характеристикой данного дифференциального уравнения (1), Формально уравнение характеристик строится так: надо составить квадратичную форму (А(, 1) =Ау»(,4», (4) соответствующую матрице А старших коэффициентов уравнения дм (1), положить в этой форме 7» = — и полученное выражение дх, приравнять нулю, Отметим важное свойство х ар актер исти к: они инва- риантны при преобразовании независимых переменных.
Это означает следующее: если ы(хо хо ..., х„,) есть решение урав- нения (2) н если преобразование независимых переменных (!.2) переводит функцию г»(х„х„..., х ) в функцию вЯ„3„..., $ ), то эта новая функция есть решение уравнения дм дм А „—. —. = О, (2а) ! д;,дЬ,= которое является уравнением характеристик для преобразован- ного дифференциального уравнения (! А). Лействитсльпо, дм дв д1, дм дв дЗ дх~ д"-, дхг ' дх» К, дх»' Подставив это в уравнение (2) и воспользовавшись форму,той (1.3) найдем, что гв удовлетворяет уравнению (2а). Уравнение эллиптического типа ие имеет вещественных харак- теристик. Лействительно, если уравнение (1) — эллиптическое, то квадратичная форма (4) — определенная и обращается в нуль (при вещественных 7») только тогда, когда г,=г',=...=г' =О.
В таком случае уравнение характеристик имеет решением тольно ы = сопя(, что не определяет никакой поверхности. Покажем, что на характеристической поверхности данные Коши связаны некоторым соотношением. Отсюда будет следовать, что па характеристической поверхности данные Коши нельзя задавать независимо, Пусть данные Конш заданы на достаточно гладкой поверхно- сти Г, определяемой уравнением с(х„х„..., х ) =О, (5) и имеют вид 176 ди и,г='Ро(х) д7,~г= гР(х) (6) (7) Его уравнение характеристик есть где Х вЂ” направление, касательное к Г. Как было выяснено в ~ 4 гл. 8, зная данные (б), можно найти значения всех первых производных функции и на поверхности Коп1п Г.
Введем новую систему координат. Координаты $м $„..., з введем произвольно, а ь положим равным ~; выбирая координаты $» $,, ..., $,„„позаботимся только о том, чтобы преобразование было взаимно однозначным с отличным от нуля якобиапом и чтобы функции $, имели непрерывные вторые производные. В новых координатах уравнение повсрхности Коши Г принимает особо простую форму ~ =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
