С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Положим ~ К (х), е' ( ! х ! - Л)', Кеь № (х) = ! О в остальных случаях, тогда (2а) (ЕК) (х) = (2п) "" 11гп (РКе к) ) (х). Введем обозначения 'г1=р,;х!=)к), Ч" =г(р, Л=хЯ; очевидно, ]Ч'1'=,'Л!=1 и К(г) =р о)Г( — Ч"). Обозначим еще через у угол между векторами х и г. Тогда (х, г) = р!т сову н — [ра сост [кк)[)=[с)- )) (и — е)[[!' сс]ск,. е' о Р № со 4~ !е' Во внутреннем интеграле сделаем замену р)к =1, положим еще е'/Й =е, Л)',)И= У; теперь е-я сост [ск)[)=[2 )"")[ !)[ — е)](, к)!ся,. [4) е О ф К) со е Формула (4) показывает, что преобразование Фурье сингулярного ядра (если это преобразование существует) не зависит от !с.
Будем поэтому писать гК(х) =(гК) (Л). Соотношение (4) представим в виде ! [кк)[л)-[еь)-. ! ° !)[ — е) ! ' ",'"'о]се,+ !е Ой е ' е "со)т -[- [) ))[ — с)[1, о]ся,]. [е) (1 В силу условия (2.5) имеем ! ) '!)[ — о))! ', о]се,— в) ~е [ р е [[сост ! = ~~( — Ч)~~', а+! — ~Л,= й, (е [ =!)[ — о) )', 'о]се,. зс е 147 Отсюда видно, что первое слагаемое справа в (5) имеет предел, равный ! )2.) "()) — У) ( ', -22))Я;, 3, о (6) ясно также, что это слагаемое ограничено независимо от е.
Обратимся ко второму слагаемому. Выберем декартовы оси координат так, чтобы первая ось прон)ла через точку Л, а затем введем соответствующие сферические координаты. Тогда у =0,, Промежуток (О, л) интегрирования по д) разобьем на два: (О, и) =. = (О, и/2) ()(п72, и).
Соответственно сфера ос распадется на две части, которые обозначим 5' и 5": интеграл во втором слагаемом в (5) распадется на два интеграла. В первом из них сову)0. Во внутреннем интеграле сделаем замену 2сооу=у, тогда )у Ос со) у Е )' осу е 'с — )У= ~ — с(т= ! СОЯ У ! Я) сосу ! !' е" — ! Г Я-22 = 1п — + ~ — 2(т+ — Й:; соя т,) у у СОЯ У соответственно, ))-с)(( ', 'я)~яя,- (1 ! -()! — у))) „—.', о 1 — ', 'с(яя,—;- 3' сос у Я) сосу -) 1) ) — у) ( — ~)ЯЯ,.
)7) 5' ) Первый интеграл справа в (7) сходится. Во втором внутренний интеграл ограничен, потому что сходится несобственный интеграл '1 т-'е-"г(т; по известной теореме Лебега можно выполнить пре! дельный переход под знаком интеграла. Отсюда следует, что пре- дел интеграла слева в (7) существует и равен )))-у)~1', о~со,. )аа Отметим еще, что интеграл (7) ограничен независимо от Ф. Рассматривая интеграл по 5', где соьу ==О, во внутреннем интеграле полагаем — 1 соь у = т; дальнейшие рассуждения аналогичны и показывают, что интеграл по 52 ограничен независимо от М и что предел при М-~со существует и равен (!|-в)!!! ', ссади,.
5' (! Окончательно, выражение под знаком предела в (5) ограничено независимо от й1; предел существует и равен (Рк!сс!-св,!', 1!! — в! ~ * ' ссс- с- 1, е)ев,. 1 (8) Ближе исследуем выражение в фигурных скобках: обозначим его через 1;!(сову). Пусть соку) О. Подстановка ! созу=т дает — а сос т )' Й !' е'с 1 !' ест — 1 есс — с(т=-!п — + 1 в(т+ в — в)т; т сост .! т т сов т сов т ! далее, ' е !сов'т — 1 о Отсюда сов у е-ст 1 (у= ~ — (т.
о 1 !'е'с — 1 !' Ест Я(сову) = 1и — -1- ():с(т+ ! — с!т= сов у т ! йт = !п — — — '+а; сову)0, сову 2 ! Г 1 — сов т Г совт где а= — ~ с!т+ 1 — е!т. о Если соз у (О, то положим т = — ! соь у; аналогично предшеству!ощему получим 1;!(сову)=1п + — -+а; сову(0. 1 сга — сову 2 Формулы для Я(сову) можно объединить: 1 са 1,!(сову) =1п — — в-з!нпсозу+а. ,сову! 2 При подстановке в формулу (8) постоянная а исчезнет в силу условия (25), и мы получаем окончательную формулу для преобразования Фурье сингулярного ядра: (ГК) (Л) =(2п)- ' ~ ! !и, — -' з)8п сову',! ( — '!с) с(3!.
(9) Из формулы (9) вытекает, что функция (ЕК) (Л) ограничена, если 1~Ар(5,), где р — какое-нибудь число, большее единицы, Действительно, по неравенству Гельдерн !(ЕК) (Л) ~~1 1 У( — Ч') Рс(5 Г'х М, 1 !л 1р' 1 1/р' ~ ~~ — —:-ев.
т~! ев,' ~ сову, ,2 ! Выберем систему координат, указанную выше, так, чтобы б,=у. Второй интеграл приводится к виду в ) 1 — — — нв °,1' "- теех 1 Тл т-в !сову, 2 Х ~ ~ 5!от-в бв ' '5!П()т-в С(()в. ТЯто о что представляет собой конечную постоянную. Наше утвержде- ние доказано. й 5. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В Ев Рассмотрим сингулярный интеграл о (х) = ~ К (х — у) и (у) с(у = ~ („, ! и (у) с(у.
(1) Е Ет Как и в 3 3, примем, что характеристика ! (6) ограничена на 5„ а плотность и ~ В!р (Е ) и обращается в нуль вне некоторого шара. Найдем преобразование Фурье интеграла (1): (Ео) (х) = (2л)- ' ) е — ' 1" '! ! ~ К (г — у) и (у) ф~ с(г. Е 1Е Нетрудно видеть, что на бесконечности функция о (х) = = 0(! хи ) и, следовательно, в общем случае несуммируема в Е, В то же время очевидно, что о ен Ев(Е ), и ее преобразование Фурье можно определить по формуле (Ео) (х) = 1! п! ~ е — ' <' *1 о (г) с(г, т1е <и где предел понимается в смысле сходимости в Ев(Е ), Введем ядро К, рр по формуле (4.3) и положим "е, л (х) = ~ Ке, л' (х — у) и (у) с(у.
Е Из определения сингулярного интеграла следует, что ое,и( ) е о и — — о(х)! 150 имеем далее (Гое. л) (х) = (2л) л ~ е-1м, г1) ~ К ( ) / =(2п) $ и(Ь')~ $ К~ и(г у)~ ых,г1 (х~ т Выполнив во внутреннем интеграле замену г — у=с, найдем (Го, и) (х) = (2п)""з (ГК, л) (х) (Ги) (х). Как было доказано в ч 4, функция (ГК, и) (х) — (ГК) (х) =- = (ГК) (Л), оставаясь ограниченной независимо от е и М. В таком случае, в смысле сходимости в Е,(Е ), справедливо соотношение (Гое~м)(') х о и о.
( и) '*("К)( )(Ги)(х) н, следовательно, (Го) (х) = (2п) ' (ГК) (Л) (Ги) (х). (2) Для функций, исчезающих вне некоторого шара, формула (2) дает новое представление сингулярного интеграла: о(х) = ~ К(х — у) и(у) ау=(Г-оФГи) (х), Ф=(2п)""ГК, (3) Е Рассмотрим оператор вида (Аи) (х) = аи (х) + ~ К (х — у) и (д) ду; а=сопя(, К(х — у)=г- )'(В); (4) такие операторы будем называть сингулярными. Оператор (4) можно представить в виде А=Г 'ФлГ„ (5) где Фл (Л) = а+ (2п)'"" (ГК) (Л).
(6) Функцию Фл (Л) назовем символом оператора А. Нетрудно видеть, что Фх(Л) обладает свойствами символа, указанным в ~ 4 гл. 6. Действительно, если (Ви) (х) = Ьи (х) + ~ Е (х — у) и (у) с(йч1 ! (х - у) = г- д (3), ат то (А + В) и (х) = (а+ Ь) и (х) + ~ [К (х — у) + Е (х — у)1 и (у) ду лт Фа+а(Л) =а+Ь+(2п)'"~'Г(К+Е) (Л) =Фа(Л)+Фз(Л). Далее, в соответствии с формулой (5) В =Г 'ФзГ. Но тогда АВ=Г-'ФлГГ-мфаГ=Г-'ФлФаГ; отсюда видно, что Флв=ФлФа. 151 Отметим еще, что ВА = Р-'ФвФлр = АВ, так что сингулярные операторы вида (4) коммутируют. Наконец, если А =7, то а=) и К(х — у) =О; в этом случае Фл — — Фг = 1.
Из представления (5) непосредственно вытекает слсдуюшая теорема. Теорема 7.5.1. Если символ сингулярного оперигпора ограничен, то самыи оператор ограничен в Ее(Е ), и его корми не превосходит верхней грани значений символа. )Тействительно, пусть Ф„(Л) ~ =.М =сапа!. По формуле (5) Аи =Е 'Флри. Вспоминая, что (Е~,'=-)Р-'!!=1, находим ~ Аи) =-. =-) ФЕи):-.-М!Еи (=М!~и! и, следовательно, ~',А!)( М, ° Следствие 7.5.1. Если характеристика сингулярного опера.
тора (4) !'~Ьр(5,) при некотором р>1, то этот оператор ограничен в 1.,(Е ). Нелишне отметить, что теорема 7.5.1 н следствие 7.5.1 доказаны только для сингулярных операторов вида (4), у которых как коэффициент а, так и характеристика г не зависят от полюса х. Теорема 7.5.1 позволяет расширить сингулярный оператор вида (4), символ которого ограничен, на все пространство Еч(Е ), причем норма этого оператора при таком расширении не изменяется. Ниже, говоря о сингулярном операторе с плотностью и ен Е,(Е ), мы будем под сингулярным оператором понимать упомянутое здесь расширение. Пусть !! — произвольная область пространства Е и и ен (, (!!). Сингулярный интеграл ~ — и(у) г(у, хек Р, (7) определим так: положим ( и (у) у я о г 7(в) и,(у) =! б 1, о,(х)= г! —,и,(у)ду, хен Е„(8) ~т и будем понимать под интегралом (7) сужение функции о,(х) на область !!.
Теорема 7.5.2. Сингулярный оператор (Ааи) (х) = аи (х)+ ~ — „, и (у) ду, х ен с), (9) ограничен в Еэ(Р), если его символ ограничен (в частности, если его характеристика !'я Ер(В,), р> 1). Обозначим Ф(Л) =-а-1-(ЕК) (Л), где К(х — у) =г- 7(8), функцию Ф(Л) будем называть, хотя это и не совсем точно, символом оператора (9). Используя обозначения (8), получаем в силу теоремы 7.5.1 ~ ' о, (х) ~ч с!х~Ме ~ , 'и, (х) Р дх —.— М' ~ ', и (х) ~е дх; е с и 152 тем более ~, о, (х),' в(х ~ М в ") 1 и (х) ' с(х. 3 а м с ч а н и е. Можно указать некоторос достаточное условие ограничен.
ности сингулярного оператора в Ев и в более общем случае. Пусть сингулярный оператор имеет вид (Аи) (х)=ие(х) и (х)-Р 1) ' ) и(у) йу. г(х, В) гт Пусть, далее характеристику лтожно разложить в ряд вида ((в)= ~л ~и„(х))з(в), (11) и=! причем каждая из фуакпий Гз удовлетворяет условию (2.5), так что ) /и (В) иЗ, =О. рассматривая Г'„(В) как характеристику некоторого сингуляр- 3) ного интеграла, построим соответствующий символ Ф„(Л) = ~ '(!п, — — ' - в(йп соз у1 („( — Ч') а5,. 1 (и ',сову, 2 (12) Очевидно, оператор (1О) ограничен в Ев гЕ„,), если сходитсн ряд внр ,'ив(х) + ~~ впр;и„(х)1 внр )Фи(Л) 1 к не ! хыв лыз, (13] при этом норма указанного оператора не превосходит суммы ряда (!3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
