С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Точно так же при достаточно малом т) будет 1, е13. Зафиксируем т). В слагаемом 1, подынтегральная функция непрерывно зависит от г, если г достаточно близко к 1, поэтому, если величина 1г — ! достаточно мала, то 1,с.е!3, величина в левой части неравенства (7) меньше г, и наше утверждение доказано. Переходя х пределу в (6), получим 1 ~ и У) — и(11 ~~+и (!) г 1 ( и(Г) — и(11 2ПТ,) р — 1 1 Но по формуле (2) г т =, - ((Яи) (1) — и (!)). Подставив это в предшествующие равенства, получим фор- мулу (5).
° Отметим некоторые следствия нз формул Сохоцкого — Племеля, Если функция и(Д аналитически продолжима в 0ь то ~ „ (6) ( и (г), г ен 0ь аь =~ — О, г 0, г' ' е и нз формул (5) вытекает, что 5и=-и. Если и(ь) аналитически продолжима в 0„и на бесконечности обращается в нуль, то г ен0ь г я 0„ — — е(ь = 1 (' и(1,1 )( О, 2П1,1 6 — * ( — и (г), г 125 и те же формулы (5) дают Яи= — и. Складывая и вычитая формулы (5), получим еще следующие соотношения: р,(!).( р,(!)=(яи)(!); р,(!) — Р,(!)=и(!). (8) Теорема 6.5.2. Син улярный оператор Коши удовлетворяет алгеораическому уравнению 52 ! (9) в которои 1 — тождественныи оператор. Если и еп Е(р, (Г), б < а ( 1, то по теореме 6.5.0 8и ~ Е1р, (Г), н выражение 5'и имеет смысл.
Применяя пеРПУю из фоРмУл (8), находим Я'и = Зу,-г ЗР,. Но фУнкциЯ Р, голоморфна в 0г, а функция с',— в Р,'„при этом с,(оо) =О. В таком случае 5Е!=Е! и 5'Е,= — Р„отсюда 5!и=с! — Е, и. ° Формула (9) впервые была получена Пуанкаре, который, впрочем, допустил ошибку в знаке. Эта ошибка была исправлена французским математиком Г. Бертраном. Формулу (9) обычно называют формулой Пуанкаре — Бертрана.
й 6. ОПЕРАТОР КОШИ В ПРОСТРАНСТВЕ Т.г(Г) Лемма 6.6.1. Пусть функ!ргя 1(г)=и(г)+го(г), где г=х-(- + !у= ре!е, и(г) = Не)(г), о(г) =!гп! (г), голоморфна в круге )г~ = (1 и непрерывна в замкнутом круге (г(~1. Пусть еи(е о(0) = = О. Тогда гп ги ~ ( о (е!е)!г йв ~ ~ ( и (его)!г йВ. (1) о о Разложим )(г) в ряд Тейлора 1(г) =,У', (а.+гй„) р"еые, йо=О. п=о Тогда прн 0(р«! и(г) =ао+ ~, 'р" (а„созна — р„е(паз), ь-! о (г) = ~ р" (р„сов п9+а„з(паз), ь=! Отсюда гп СО $ иг (реге) йа = 2пао+ и Я ргп (а'„-1- ))'„), о л=! ~ ог (ре!е) В „,т '),! гп ( 1 ()!) о п=! и, следовательно, гп ги ог (реса) йз~ ~ иг (ре!е) йй О ч р ~ 1 о о Обе подынтегральные функции непрерывны при 0-= р 1, 0-=.6==.
2п, поэтому можно перейти к пределу под знаком интеграла при р-!-1, и мы получим неравенство (1). $$ Теорема 6.6.!. Если замкнутый контур Г ~ С!гг, то сингулярный оператор Коши ограничен в (.г(Г). Доказательство проведем в предположении, что à — связный контур; предоставляем читателю разобрать более общий случай контура конечной связности.
126 Как и выше, обозначим через Р~ конечную область комплекс- ной плоскости, ограниченную контуром Г; если этот контур связный, то область О, — односвязная. Пусть и ен !.(р (Г), 0 = <оо< 1, и Р;( ) = —. т — „д~, я0ь 1 г и(ь) (2) Конформво отобразим область О; на круг ~ш' 1, и пусть функ- ция г=ч~(ш) реализует это отображение, причем точке в=О пусть соответствует тачка г, е= 0ь Функция Р; «р (и)) — Р; (ср(0)) =— .=-. Р;(г) — Р,(г,) удовлетворяет всем условиям леммы 6.6.1, поэ- тому, полагая ш=ре'о, имеем ~ !! [Р,«р(')) — Р,«р(О))),,(з о оо -= $ 1 1(е [Р, (гр (е~)) — Ро (ор (0))1(о Н9.
о Положим <р(е'о) =г, тогда ген Г и ~ ~ !ш [Р~(1) -Р1(го)~!','('„в) ~ г 1 ', Ке [Р; (Г) — Р, (го)р ач; (3) г здесь о(з=~ о(1'~ есть элемент длины дуги контура Г. Контур Ген ен С1", поэтому производная ~р' (е'о) положительно ограничена по модулю сверху и снизу. Пусть с,<!~р'(еоо);(с,; 0<с,==.со<со, тогда из неравен- ства (3) следует г ', 1п1 [Р; (г) — Р; (го) 1,' о(з = '-,' ~ ( йе [Р, (1) — Р; (го)1!' дз, г или, обозначая через [ [ норму в Ьо(Г), 11п1 [Рр (1) — Р, (го)Я ~ Со !/ Гхе [Р, (1) — Рр (го) Щ' отсюда [1шРо(Ц~(!+Со)[Рр (го)(+С, [ КеР~ (1)[. По неравенству Буняковского !гсч $ Р, (го)) = ' Г !Н' ~ Р; (го)! ~ 2 ~ [ <, где 6 — расстояние от г, до Г. Теперь 1)!шР~[(С,[йеР,(,'+Со,'и'), Со=сонат, и 1,Р,!',.==(1+С,)1( йеРо)1+С, )и,(.
1гт По формулам (5.8) находим далее ~', 8 и ~~ — — 1) 2г ~ — и",, ( 2 (1 + С,)1! Ке Р, 1) + (1 + С,)', и ~). (4) Оценим величину ,') Ке Р,1!. Допустим сначала, что функ ция и(ь) вещественная. Имеем равенства Кес,(1) = — и(1) + — 1 и(Ь)~ —. 1 2 4пз = — и (1)+ — 1 и (ь) й 2 4л1 1 и(1) +, — ~ 1 г )ив ( — 1 и (ь) —, а1с161 — ~ до; (5) здесь использованы обозначения 1=х+1у, ~=$+1т), 1с(~~=сйп Докажем, что производная под знаком последнего интеграла ограничена. Зададим кипур 1' параметрическими уравнениями вида х=у, (з), у=уз(з), где э — длина дуги контура Г от начала отсчета до точки С Тогда а=у,(о)„а=уз(о), где о — длина дуги кривой Г между началом отсчета и точкой с.
При этом д,, узза ~ С"', так как Г ен С"'. Теперь а ч-в (1 — х) в, (п) (и-в) у, (а) — — агс16 —. дв 1 — х,й — 1Д Разлагая х=р,(з) и у=-уз(з) по формуле Тейлора в окрестности точки о, найдем, что числитель последней дроби имеет порядок О(:и — з",). Далее,;о — з =О('ь — 11), так как длины дуги и соответствующей хорды имеют один и тот же порядок малости. Окончательно, дйЕдо = О (1), р = агй(ь — 1), что и требовалось доказать. Г1усть и',д~~до ==сз = сопз(.
По формуле (5) 2(1 Кеу;~)==. = (1+с„)л Г,)) и1г Подставив это в (4), получим ,'. Яи1.== Сз ", и 11, Сз =- сопз1. (6) Но 1и,1)~))и(1', )из)=-.1и(1, и мы пРихоДим к искомомУ РезУльтату ( Яи ~1 ~ С 11 и (>, С =- 2С,. Следствие 6.6.1. Сингулярный оператор Коши сопускает расширение с сохранением нормы на все пространства Бз(Г), Длл расширенного оператора остиетсл в силе формула Пуанкаре— Бертрана. Доказательство очевидным образом вытекает из того факта, что класс функций, удовлетворяющих на Г условию Липщица с положительным показателем, плотен в Бз(Г), 12а Неравенство (6) выведено для вещественных функций и, Если функция и комплексная, и=и,+ги„то ~!Би()~))Би,'1+1,8из1~.=С, Ци,~1+(из)), Условимся об обозначении: если с (!) — функция, заданная на Г, то той же буквой с будем обозначать оператор умножения на с(!).
Теорема 6.6.2, Если функ»!ия с(!) непрерывна ни Г, то опера- »пор 1' = 5с — с5 вполне непрерывен в Ее (Г). Рассмотрим сначала случай, когда се:— 1!р»(Г). Если еше и пэ х=. 1.!р (Г), сс) О, то (Уи) (!) = (5 (си)) (!) — с (!) (5и) (!) = ! — 1 с(ь) '(О (х) (6 и! .! 'г Так как с ев Е!р» (Г), то ядро интеграла (6) ограничено, этот интег- рал есть оператор, ограниченный в !.,(Г), и можно с помощью предельного перехода распространить формулу (6) на все прост- ранство Ез(Г). По теореме 1.4.1, оператор (6) вполне непрерывен в том же пространстве, Если функция с(!) только непрерывна, то построим после»хо- вательность ф)нкций с„(!) ев 1.!р,(Г), которая равномерно схо- дится к с(!).
Это можно сделать, например, так. Единицу длины выберем так, чтобы Г ! = 2п. Тогда с (!) есть непрерывная 2п-пе- риодическая функция от з. Разложим эту функцию в ряд Фурье; и-ю фейеровскую сумму этого ряда можно принять за с„(!), Г!оложим У„= 5с„— с„5. По доказанному, оператор У„вполне непрерывен в Е, (Г). Оценим норму разности У вЂ” У„: ; У вЂ” У„,~=~!5(с — с„) — (с — с„) 5'!( == !' 5 (с — с„), '+ ",(с — с„) 5 !,' =.†. 2 !, '5 !; гпах ! с (!) — с„ (!)'. »ее Но с„(!)- с(!) равномерно, поэтому гпах !с(!) — с„(!)!- 0 и ';, У— — У„(-х.О. По известной теореме функционального анализа опе- ратор 1' вполне непрерывен в !., (Г).
Теорема 6.6.3. Если функции а(!) и Ь(!) непрерывны на 1', а вперили»!» а/+ Ь5 вполне непрерывен в Е,(1), то а(!) =-Ь (!) =О. Вполне непрерывный оператор а/+ Ь5 умножим слева на огра- ниченный оператор а/ — Ь5; произведение будет вполне непре- рывным. Используя теорему 6.6.2 и формулу Пуанкаре — Берт- рана, найдем, что это произведение имеет вид (а' — Ье) /+ Т, где Т вЂ” вполне непрерывный оператор. Отсюда видно, что опе- ратор умножения на а'(!) — Ь'(!) вполне непрерывен в 4(Г); это возможно лишь, если а'(!) — Ь'(!)=О, или а(!)=Ь(!)е(!), е(!)= »-1.
Тогда вполне непрерывен оператор Ь(е/+5), и он переводит всякое множество, ограниченное в !.,(Г), в компактное множество. Пусть функция и»=-а»(г) реализует конформное отображение внутренности Г на круг !и»!(!. Последовательность М функ- ций и„(!) =м" (!), п=1, 2, ..., ограничена в /е(Г'„действительно, ~и„",-=~ о»х(!)!»! Й' ~ 'ц» ~'" ~ьх' (!), '! Йо' =— ;и»' (!),-' !»/и»)= сопз!. хи = 1 В с г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
