С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 26
Текст из файла (страница 26)
(10) с»)<иор „(.,(г ) Положим ) и (х), х ен ()х,, '< (х)'()», оя (х) = 0 в остальных случаях: очевидно, ояенЕе(Е ). Определяя роя по формуле (7), видим, что (роя) (х) = (2п) "')' ~ и (у) е — '(" р' ду. ()д)<я) е соотношение (10) сводится к такому: (<соя'(с,(г ) — — О. Но по формуле Планшереля (Еоя',с„(г ).=',,оя<с,(е ) = ~ <и(у) 'ау~ ~ <и(У))ду, ('р) <и)' ар )р)»р а последний интеграл стремится к нулю, потому что и ~ Ее(Е ).
интеграла. Характеристика и плотность предполагаются измеримыми. Выведем некоторые достаточные условии существования синг)- лярпого интеграла (1). Примем следующие допущения: 1) характеристика 1(х, В) ограничена;,1(х, О)'.=.С=сопз1; 2) иен(!р„(1)), где 0<се(1; если область Я бесконечная, то дополнительно потребуем, чтобы и(х) обращалась в нуль вне некоторого шара. Окружим точку х шаром некоторого фиксированного радиуса 6. Этот радиус возьмем столь малым, чтобы названный шар вместе со своей границей целиком лежал в Я. Формулу (2) преобразуем к виду — и (у) е(у = ~ ' и (у) е(у+ и а' 1)<М -(-!!гп ~ ~( '„) !и(у) — и(х)]е(у+и(х)1!гп ~ ( ' е(у (3) е е е е е<у«е е«е<е Первый интеграл в (3) справа, очевидно, сходится. Далее, в шаре г:- 6 плотность и~1.(р„, и потому !и(у) — и(х)!(С,г, С, = =- сопз(.
Второй интеграл справа можно представить в виде (l (х, у, е) е(у, (4) е<е О, г<а; где (/(х, У, е)= 1(х, О) [и (у) — и (х) 1, е ( г ( 6. Функция У(х, у, е) пс превосходит суммируемой функции СС,г"- и в интеграле (4) можно перейти к пределу под знаком интеграла: 1(ш ~ (У(х, у, е) е(у = ~ У(х, у, О) е(у= е 0 е е (и (у) — и (х)1 е(уч 1(е, ец еее Рассмотрим третий интеграл в (3).
Введя сферические координаты с центром в точке х, имеем а г (";,„0' ду = )) 1(, В) йя, ~ " = е<у<а 3, е =(п- ~П' В)(3. 6 г з, ясно, что предел последнего выражения существует тогда и только тогда, когда ~ ((х, 8) е(Бе=0. (5) Таким образом, условие (5) необходимо и достаточно для того, чтобы прн допущениях 1) и 2) сингулярный интеграл (1) 141 существовал.
Ниже условие (5) всегда предполагается выполненным. В атом случае сингулярный интеграл (1) можно представить в виде ~ 1(», о) и(у),( = ~ (~'"' 1(и(у) — и(х)] ((у+ а г<б + ~ )†("; ) и (у) а(у, (б) а,(.<м где б выбрано так, как указано выше. Заметим, что при е — О интеграл (4) стремится к своему пределу равномерно по х в любой внутренней замкнутой подобласти. Отсюда вытекает такое следствие: если характеристика непрерывна на »4 к 5» н выполнено допущение 2), то сингулярный интеграл (1) непрерывен в открытой области Я.
й 3. ТЕОРЕМА ЖИРО Рассмотрим интеграл ш(х, у)((у, а»,о <б> где Π— конечная область пространства Е, хее »1'~14б, так что шар г<б вместе со своей границей лежит в Й, а функция и((х, у) непрерывна н непрерывно дифферепцируема по х в области (12 х О)' (г<.б). Найдем производные интеграла (1) по декартовым координатам точки х.
Пусть х имеет координаты х„ х„ ..., х . Обозначим через х' точку с координатами х„ ..., х, „ х +Ь, х~~„ ..., х ; примем, что число й достаточно мало по абсолютной величине. Положим еше г'=]у — х'(. Имеем: — н((х, у)((у= д дх( а'~,(у<б( (*'. »(~»- 1 (»»(»»]= 11 а",[Р < б( ак(1<б] 1 = Иш.; ~ ]ц((х', у) — ц((х, у)]((у+ а',(р < б> (-и» 1 (*.
и)~и — ] (. и(»»], 1 Г б б "( а,(д< б( а',о<м Первый предел справа, как нетрудно видеть, равен интегралу д(б (х, у) дх( а~(г<м 142 Исследуем второй предел. Выражение под знаком предела можно представить в виде ! г ! а 1 и!(х, у) 4(у — †„ ~ ю (х, у) 4(у, О, о, где О, и О,— луночки, показанные на рис. 4. Рассмотрим, напри- ! Г мер, выражение — ~ 4е (х, у) ду. а б Введем в О, сферические координаты с центром в точке х. Один из координат есть г; ее наименьшее значение в О, равно 6.
На 7 Рис 5 Рис, 4 части МРЧ сферы г=б (рис. 4) возьмем какую-нибудь точку г; ее декартовы координаты суть 㻠— — х»+бсоз(г, х»). Найдем значение велячины г= г в точке г, лежащей на пересечении сферы г'=6 и луча у=х+Л(г — х), проходящего через точки х и г (рис. 4). Соответствующее значение Л=Л получится из системы ур внений: Я (у» — х„)»+(у,-х,— Ь)»=б», »Ф~ у» = х»+ Л (㻠— х»); й = 1, 2, ..., т.
Приняв во внимание, что )г — х)=6, находим уравнение для Л: б»Л»+266Лсоз(г, х!)+й» вЂ” 6»=0. Точке г соответствует значение Л= 1, поэтому л - / Л» »» Л = соб (Г х!) +» соз (г~ «4)+ 1 =1+ — сов(г, х,)+0(Ь»). Теперь имеем ,, х! Л!г «!=Лб=бз-6!сов(г, х!)+0(л») ° 143 Интегрирование по О, сводится к интегрированию по части МРЬ) сферы г=6 и по г в пределах от 6 до Хб: (Хь '! ш(х, у) ду= —, ~ ~~ 1о(х, у) дг ° д54, Ь, мгн ь или, если к внутреннему интегралу применить теорему о среднем, -- ~ ш(х, у) ду= ~ го(х, у*)(сов(г, х)+0(Л)) д54, Ь, и'вн у* — некоторая точка интервала (г, г). Аналогично найдем -- ~ ш(х, у)ду=- ~ ш(х, у*~)(соз(г', х)+0(й)) с(54.
Ь, ион Если 6-+.О, то МРЫ и МЯА1 дают в пределе две полусферы, которые вместе образуют сферу г=6. В результате получаем искомую формулу дифференцирования 1с(х, у) с(у=- ~ ~( ' ") ду— ' а,1'<м Я~ ()(41 — 1о (х, у) соь (г, х,) с(54, (2) г=ь во втором интеграле мы заменили обозначение г на у. Из формулы (2), очевидно, следует, что интеграл (1) непрерывно дифференннруем в Й.
Теорема 7.3.! (Ж. Жиро). Пусть !! — конечная область пространства Е и и ~1лр (Р), где О а 1. пусть, далее, сингул.ярное ядро К(х, у) =г- !'(х, а) таково, что ~)'(х, ь) '(С = = сопя! и йгад„.К(х, у) ~-=.—,„С'=- сопя!. С' (3) Тогда о (х) е:- 1лр„((2'), где о(х) =- ~ ',„и(у) ду (4) 6 и 1?' — произвольная внутренняя подобласть Р.. Пусть 6) Π— любое число, не большее чем расстояние между д!1 и до'. Представим интеграл (4) в форме (2.6). Слагаемые справа в атой формуле обозначим соответственно о,(х) н 1в(х).
По доказанному выше, о,яСсо(Р); тем более о,оп1лр,(Й'), и остается рассмотреть слагаемое 1в (х) =- ~ (и (у) — и (х)) К (х, у) ду. (5) г<ь 144 (9) 145 Пусть х' — произвольная точка в !!', достаточно близкая к х. Обозначая ',х' — х ) 1=[), имеем ш (х') — и)(х) = ~ [и (у) — и (х')[ К (х', у)([у— ° '<4 — [и (у) — и (х)[ К (х, у)([у = <4 [[и (у) — и (х')[ К (х', у) — [и (у) — и (х)[ К (х, у)) ([у + г<4 — Ь + ~ [и (у) — и (х')[ К (х', у) ((у— (г'< М П(г >4 — М вЂ” [ и (у) — и (.к)) К (х, у) ((у. (6) г -4«.<4 Об,тастн интегрирования показаны на рис. 6; область интегри- рования второго интеграла заштрихована.
В двух последних интегралах справа подынтегральные функ- ции ограничены, а объем области интегрирования имеет порядок 0(6) и, тем более, порядок 0(А ), поэтому [и(у) — и(х') К(х', у) ((у— [ (г' < 4) П (г > 4 — 4) — [и(у) — и(х)[К(х, у)((у/ -С)й'"; С,=сонэ!. (7) 4 — Ь<г<4 Первый интеграл в (6) справа разобьем на два: по шару г(21) н по шаровому слою 21) ( г (6 — 1). Имеем , [и(у) — и(х)[ К(х, у) ' =С г —, ) [и(у) — и(х')[К(х, у) ! =С,г'" здесь С4=сопз(; отсюда [и (у) — и (х)) К (х, у) ([у ~ ~ С„~ — ~, = С2[)ь; (8) г<24 г<24 С,— постоянная, которую нетрудно вычислить, если воспользо- ваться формулой (3.2) гл.
1. Аналогично имеем [и(у) — и(х')1К(х', у) (!у ==:Со г< 21~ г< 2Л !!о если г(2!), то г'= ~х' — х+х — у,.= 1)+ г(ЗЛ; зто показы. виет, что шар г(212 лежит внутри шара г' 3[) и, следова- тельно, С, ~ — ( С, 2 — „= С2[); С2 = сопя[; г< 24 г' < 24 здесь использована формула (3.2) гл. !. Теперь [и (у) — и(х')]К(х', у) ([у! =С2))', г<ы Подынтегральную функцию в интеграле по слою 26(г (6 — й преобразуем к виду [и(х) — и(х')) К(х, у)+[и(у) — ц(х')) [К(х', у) — К(х, у)1. Интеграл от первого слагаемого исчезает в силу формулы (2.5).
Лалее, по формуле Тейлора К (х', у) — К (х, у) = (афтаб„К (с, у), х' — х), где $ — некоторая точка на отрезке, соединяющем точки х и х'. По неравенству (3) ! К (х', у) — К (х, у) ~ -= С'гг , 'е — у ~ " '. Очевидно, что',~-у ~)г — й, но в области интегрирования й( ( г/2, поэтому ~ е — у ', ) г!2 и ~К(х', у) — К(х, у)(~ 2 "'С'й Функция и удовлетворяет условию Липшица, поэтому 1и(у) — и(х'); =.Сог'" =.Се(г+й)" =(- .) С„г"; теперь [и (у) — и (х')1[К (х', у) — К (х, уД 4(у ! = 24(г(4 — а ~Схй ~ Г "-'4(у=С,й ~Д5, ~ Г"-'г(Г(С,„)Г, 24 < г < д — 4 зг 2И С4 С вЂ” сопз1 (10) Из неравенств (7) — (10) вытекает, что ',о(х') — о(х)'~Сй', где С=С,+С,+...+С,.
Теорема И. И. Привалова 6.5.0 получается из теоремы Жиро при т=1. й 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ СИНГУЛЯРНОГО ЯДРА Будем рассматривать случай, когда характеристика ие зависит от полоса. В этом случае сингулярное ядро 1(9), г' гг — х К(х, у) = — „=~у — х'; 1( —,) зависит только от разности аргументов; будем писать К(х, у) = = К(х — у). Рассмотрим преобразование Фурье ядра К(г): (ЕК) (х) = (2п)-'" ' ~ К (г) е-' '" г1 г(г. (1) а Функция К (г) несуммируема в окрестности каждой из точек а=0 и г= со, интеграл (1) в общем случае расходится, и мы 144 определим преобразование Фурье ядра К(г) формулой !ГК) (х) =(2п)- " 1!т ~ К(г) е-ме '[(г (2) О е'< е)<М' Докажем, что предел (2) существует, если хФО и ) (6) ограничена. Соотношению (2) можно придать и другой вид.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
