С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Отметим еще, что в этом параграфе рассматриваемый здесь оператор А был обозначен через А. Докажем, что оператор А имеет в 1.2(а, Ь) дискретный спектр, Известно, что этот оператор положительно определенный. В 3 8 и гл. 4 было показано, что нормы в Нх н в )Р22'(а, Ь) эквивалентны и что эти пространства состоят из одних и тех же функ. ций. В таком случае, в силу теоремы 3.3.1 Нз вполне непрерывно вкладывается в 7.2(а, Ь); по теореме 5.6.1 спектр оператора дискретен; этот оператор имеет бесконечную последовательность собственных чисел О «1. «й! - ... «)и„«..., Хии (3) и соответствующие им собственные функции и,(х), и,(х), ..., и„(х), ..., (4) относительно которых можно считать, что ~~и~! =1 и (и„, и ) =О (Ь~т); система (4) полна в каждом из пространств 1,(а, Ь) н Ню В энергетической метрике собственные функции по-прежнему ортогопальны: (иь, и ) =О (ЬФи), но они там не нормированы, так как (и„(=3/ Х„.
Напомним, что отыскание спектра оператора А, рассмотренного здесь, равносильно следующей задаче, которая называется задачей Штурма — Лиувилля: найти такие значения параметра Х, при которых существуют нетривиальные решения уравнения — ! р (х) — „~! — д (х) и + ли = О, (5) удовлетворяющие краевым условиям (2). Система собственных функций (ил(х)) задачи Штурма — Лиувилля полна в 1.2(а, Ь), и любая функция и ен 7.2(а, Ь) разлагается в ряд и (х) = ~', сли„(х), с„= (и, ил), и=! сходящийся в метрике Е2(а, Ь).
Докажем, что ряд (6) сходится равномерно на сегменте (а, Ь), если и енН„, т. е. если и(х) абсолютно непрерывна на указанном сегменте, и(а) = и(Ь) =О и производная и' енЦ(а, Ь). Действительно, как было доказано в 3 7, Рад (6) сходитсЯ в метРике Нл! по данномУ е О можно найти такое натуральное число Мь(е), что ! Ьи+и с„и„«е, У'-- Фь(е). лг М+! По неравенству (8.9) гл. 4 ь м+! 2 .М!.!) и* л лг.я+! !оа (7) Далее, и„(а) =О, н по неравенству Буняковского ! М+г М+г с„и„(х)~=~~ ~ с„и„'(1)с(1 ( «с и+! и «=И -~-1 М+г з 1)г и--.)/Ь вЂ” а ~ ~~) с„и'„(1) Й < в )/ 1 (8) ««-м+! последнее неравенство показывает, что ряд (6) равномерно схо- дится на сегменте [а, 6). Можно поставить более общую задачу.
Рассмотрим уравнение а г(и', ! р (х) — ' — д (х) и+ «г (х) и = 0 Нх ~~ бх) (9) с краевыми условиями (2); коэффициенты р(х) и а(х) подчиним прежним условиям и будем еще считать, что г ~ж С(а, Ь) и что г(х) ~ге —— сопз1) О. ((сслсдование спектра этой задачи подходит под общую схему настоящей главы. Разделив уравнение (и) на г(х), приведем его к виду — 1 — ! р (х) — — а (х) и1+),и = О. Г 1,' г(и', г(х) (ах ( бх г' (9а) Ь (Ви, о)= ~ о~ — — (р — )+ди1 ах= г(и Но = ~ ~р — — +дивт их=(и, Во) ах бх далее, он положительно определен, что доказывается так.
Прежде всего Ь ь (Ви, и) = ~ (пи'з+ сиз) йх ) рз ) и'з ах. а а (12) Ункция и (х) обращается в нуль иа копнах сегмента [а, Ь), поэтому и (а)=0 103 Введем пространство (ч(г; а, Ь) функций, которые на интервале (а, Ь) квадратично суммируемы с весом г(х); норма и скалярное произведение в этом пространстве определяются формулами ь ь [и)р=')г(х)из(х)ах, (и, о)=~г(х)и(х)о(х)дх. (!0) а и В пространстве ( (г; а, Ь) рассмотрим оператор В, который действует по формуле ! Г а г аи) Ви= — 1 — — [р(х) — !+а(х) и|. (11) г(х) 1 Нх (, г(х ) Определим этот оператор на том же множестве функций, что и рассмотренный выше оператор А. Таким образом, 0 (В) есть множество функций, непрерывных па сегменте [а, Ь) и удовлетворяющих условиям (2); первые производные этих функций на том же сегменте абсолютно непрерывны, а вторые суммирусмы с квадратом.
Оператор В положительно определен в пространстве Н = й (г; а, Ь). Действительно, он симметричен. если и, о щ ()(В), то 'гг г (т) н (х) = ) г (х) ) и (!) г(Е, а Будучи непрерывной на сегменте, функция г(х) ограничена. Пусть г(х) ~г, тогда ~х ьт Х г (х) ит (х) =" г, ~ ~ и' (() о( '1 ( г, (х — а) ~ и' (() и( ~ Гт (Ь вЂ” а) )' и'" (() г(Е та а а Интегрируя по х в пределах от а до Ь, находим ь ь ь ) "'" ')"'= ь ) ) г, (Ь вЂ” а)' г, (Ь вЂ” п)ь ч в конечном счете ь (Ви, п)~~з г(х) и'(х) Вх = ь ( и1К г (Ь-о)' .1 г, (Ь вЂ” а)з ' а что и доказывает положительную определенность нашего оператора.
Докажем, наконец, что вложение Нн в Н=Ех (г; и, Ы впо.тие непрерывно Нетрудно убедиться, что пространства Нн и йт„'(а, Ь) состоят из одних я тех же функций и что в этих пространствах нормы эквивалентны. Далее, нз формулы (1О) следует, что таксе же заключение справедливо также для просгранств Н и Ет (о, Ь). Пусть бесконечное множество М ~ Ня ограничено в норме Нл, 'т'и сиМ, )и)гз~С=сопз1 Тогда справедливы также соотношения 'ти ш М, ам1а,г =С'=сопз1. (141 Вложение (р„о(а, Ь) в Еь(а, М вполне непрерывно, поэтому можно выделить из М последоьвательпост (ия), фундаментальную и Е, (а, Ь): ~ и„— им 'и — — О т,л сс Из эквивалентности норм Л и Е. (а, Ь) вытекает, что (и — и 11 — 0 3 магга, и ю Таким образом, из любого бесконечного множества, ограниченного в Н, можно выделить послеловательяость, фундаментальную в Н. Это означает, что На вкладывается в Н вполне непрерывно По теореме 5.6.! оператор В имеет дискретный спектр, иначе говоря, существует счетное множество чисел Ха ) О, Хь — — со, при которых задача (9), (2) имеет нетривиальные решения, и совокупность этих решений полна как в Е,(г; а, Ь), так и в Н, Если по-прежнему эти решения обозначить через и„(х) то оии ортонормированы в Ез(г; а,,Ь) и ортогональны в Н : ь ) г(х) и„(х) и„, (х) ох=бы„, ь ь ) (р(х)и'„(х) и' (х)+д(х) и (х) и„(х)) ба=О, тю и, а Кроме того, ь ) Р [х) и (х) -(- 4 (х) ит (~)~ л а 104 Собственные числа Х» все простые †э следует из того, что дифференциальное уравнение (9) второго порядка Действительно, пусть собственному числу Х» соответствуют две линейно независимые собств нные функции: и„(х) и и (х) Прежде всего и'„(0) чьо — в противном случае функция и„(х), отлич.
иая от тождественного нуля, была бы решением задачи Коши для однородного уравнения г1, Ли 1 ; — чг'+Х»ги =.О йх, ох, (15) при одноролных начальных условиях и„(0) = и„' (0) =О, что противоречит теореме единственности для задачи Коши Аналогично и,'» (0) ~ О. Теп рь функпия и» (х) им (х) и„'(0) и' (0) ' отлишая от тожлсствснного нуля, решает ту же однородную задачу Коши, что невозможно й 9. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СЛУЧАИ Фактическое определение собственных чисел н собственных функций на основании теорем 9 4 — б наталкивается на большие технические трудности, поэтому представляют интерес те частные случаи, когда спектр оператора можно найти элементарнымк средствами.
Три таких случаи приводятся ниже; см. также 4 3 гл. 18. !. Оператор А 9 8 рассмотрим н том простейшем частном сл) чае, когда р (х) = 1, г) (х) = О. Вопрос сводится к отысканию тех значений ), при которых дифференциальное уравнение и'зи — „, +ли=О имеет нетривиальное решение, удовлетворяющее условиям и (а) == и (Ь) = О. Общий интеграл уравнения (1) можно записать так: и (х) = С з(п ) ' и (х — а) + С, соз 1 ).
(х — а). Условие и(а) =О дает С,=О и и(х) =Сз(п7 Х (х — а). Из условия и (Ь) = О находим С з(п У'). (Ь вЂ” а). При этом необходимо СэьΠ— в противном случае получится тривиальное решение а=-О. Но гогда з!и 1/Л (Ь вЂ” а)=О. Отсюда находим собствеггные числа (3) и собственные функции (4) гг» (х) = С» згп ь — а !05 Постоянную С„получим из условия нормировки ))и„)~~=С» ~ мп'ан — ", "дх= 1, » -аГ 2 откуда С»= ~~ ь — а и / 2 . лл(х — а) и»(х)= у ь — а з~п ь (4а) 2. Найдем нетривиальные решения уравнения (1) при краевых условиях й (а) = и' (Ь) = О, (5) По-прежнему общий интеграл и (х) = С з )п )/).
(х — а) + С, соз р») (х — а). Из условия и'(а) =О вытекает, что С=О, а из условия и'(Ь) =О, что з)п)/Х(Ь вЂ” а) = О. Отсюда находим собственные числа (6) и нормированные собственные функции и,(х)=и„(х)=)/ ь соэ ' ь" ', а=1, 2 (7) (о) )06 Формулы (6) и (7) дают собственные числа и собственные функции оператора — Р/бх' при краевых условиях (5).
Этот оператор неположителен, и с этим связано то обстоятельство, что наименынее собственное число этого оператора оказалось не положительным, а равным нулю. Но оператор — б'/г(х'+ l при тех же условиях (5) уже положительно определенный; его собственные функции по-прежнему определяются формулой (7), а соответствующие собственные числа равны 1+а'н",(Ь вЂ” а)'. 3. В ряде задач математической физики играют важную роль собственные числа и собственные функции дифференциального оператора Ви= — — ( — ),х — ' — — »1; т'=сопз12»0, О .-х -1 (6) ) Г» г»и~ ~4 ) х1ах~ дх, х Будем рассматривать его как оператор в пространстве Н = =./.,(х; О, 1) функций, квадратично суммируемых с весом х на промежутке (О, 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
