С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Утверждения о существовании решения задачи Коши, сформулированпой выше, об аналитичности этого решения и о его единственности в классе аналитических функций составляют содержание классической теоремы Коши — Ковалевской. Утверждение о единственности решения задачи (2) — (3) в классе функций, не аналитических, по достаточно гладких, было дока- 1ЬВ ф(у» Ул " У.)= ~. Ат(у — У"')' (4) ~т,=а » сходящийся, когда разности у„— у»" достаточно малы по модулю. В формуле (4) у означает мультипндекс размерности з, а у н у~а> — л-компонентные векторы (уо У» ° У») н (У~' У» У ) соответственно. Справедлива следующая теорема.
Пустынь начальные функции грт» (х) аналитичны в окрестности некоторой точки х'а' е= Е, х'"'=(х1', х,"', ..., х',"„), а функции рг аполитичны в окрестности значений вано Хольмгреном. Вовольно полные доказательства теоремы Коши — Ковалевской и Хольмгрена приведены в (17]. Для линейных систем вида (12) теорема Коши — Ковалевской доказана в [331.
й з. пеовлемы существовдния, единственности И КОРРЕКТНОСТИ ДЛЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ Пусть поставлена некоторая краевая задача. Решить ее— значит найти все функции, удовлетворяющие данному дифференциальному уравнению и данным краевым условиям. Обычно искомую функцию подчиняют еще некоторым ограничениям общего характера, которые часто дают возможность рассматривать эту функцию как элемент того или иного функционального пространства; обозначим его через В,. Так, ставя задачу Г(ирихле для уравнения Лапласа, можно требовать, чтобы искомая функция была непрерывна в замкнутой области й = Р 0 Г; в таком случае искомая функция, если она существует, есть элемент пространства С(11).
Можно искомую функцию подчинить другим ограничениям, например, можно потребовать, чтобы интегралы пэдх, ~ (агаг(п)'дх= ~ ~ ( — ") с(х й о й=! были конечными, В этом случае искомую функцию можно рассматривать как элемент пространства Ю'„'(2). Ограничения, пакладываемые на искомую функцию, вынуждают накладывать некоторые ограничения и на заданные функции, входящие в правые части дифференциального уравнения и краевых условий.
Обычно в таких случаях оказывается, что совокупность этих правых частей также можно рассматривать как элемент некоторого другого функционального пространства В,. Во многих интересных случаях пространства В, и В, баизховы. Рассмотрим тот случай, когда дифференциальные выражения, входящие как в дифференциальное уравнение, так и в краевые условия, линейны. Совокупность этих дифференциальных выражений порождает некоторый линейный оператор 6, который действует из пространства В, в пространство В, и преобразует искомую функцию и(х) в упомянутую выше совокупность правых частей дифференциального уравнения и краевых условий, Обозначая эту совокупность через Ф, можно записать пашу краевую задачу в виде уравнения Оператор 91 будем называть оператором данной краевой задачи.
Теперь можно сказать, то решить краевую задачу — значит найти все элементы пространства В„которые преобразуются оператором 1! в заданный элемент Ф ~ В,. 169 Обычно стараются ставить краевые условия так, чтобы краевая задача имела одно н только одно решение.
Это требует в каждом случае доказательства теоремы существования и теоремы единственности. Теорема единственности равносильна утверждению, что существует оператор ч( ', обратный оператору 21, а теорема существования — что область значений оператора 21 совпадает с пространством В,. Если верны обе теоремы— единственности и существования, то оператор 2( ' существует и определен на всем пространстве В, При решении краевых задач нажную роль играет, кроме вопросов существования и единственности решения, еще и вопрос о так называемой корректности краевой задачи. К понятию корректности легко подойти с помощью простых физических соображений. В основе определения физических величин в конечном счете лежит процесс измерения, который вссгда связан с некоторой погрешностью.
В частности, с погрешностью определяется и элемент Ф в уравнении (1) — совокупность данных краевой задачи. Возникает вопрос: как погрешность в данных краевой задачи отразится па ее рсшспин? В связи с этим вопросом находится следующее определение. Краевая задача называется корректной в паре банахоеых пространств В, и В„если решение краевой задачи единственно в В, и существует при любых данных из Вл и если достаточно малому измененшо данных в норме В, соответствует сколь угодно малое изменение решения в норл~е В,.
Теорема 8.5.1. Для того чтобы линейная задача (1) была корректной в паре банаховых пространств (В„В,), необходимо и досгпаточно, чтобы существовал оператор )х' = А', действующий из В. в В,, причем 0(В) =Вл и гх' ограни мн кок оператор из В,в В,. Необходимость. Если задача (1) корректна, то прежде всего ее решение существует при любом Ф ~ В, и единственно.
Единственность решения означает существование оператора В = А-', а существование решения при любом Ф ~ В, — что оператор Я определен па всем пространстве В,. Заменим, далее, элемент Ф на г1~+~2, где ~2~В„и пусть измененное решение задачи (1) будет У+и. Тогда А(У+и) = = Ф+гв, и так как А — линейный оператор, то Аи= ге.
Задача (1) корректна, поэтому если задано число е)0, то можно найти такое число 6) О, что при (<р(< е будет ,'~и,'|=)Йч~(<6. Зафиксируем как е, так и соответствующее ему 6. Если ф~В, и 1е 1 е е 1 е, ()ф',~=1, то ~~ — ф) = — (е и, следовательно, ~~)х — ф ~ = — (Я$(~ 12, 2 ~6. Отсюда уф~,,'(26/е, (~ф~',=1, г это значит, что (й!~(26)е. Оператор В ограйичен.
достаточность. Если оператор В существует, то задача (1) имеет не более одного решения. Если Р (В) = В„то задача (1) разрешима при любом Фен В,. Наконец, если й — ограниченный опеРатоР, и (,'~Р',(в,(е, то )и~~в,=1лх<Р(в,<6, где 6=- = Р) ° 1та Важно подчеркнуть, что корректность или некорректность задачи зависят от того, в какие пространства погружаются данные и искомые величины; одна и та же задача может оказаться корректной в одной паре пространств и некорректной в другой. Одна из простейших некорректных задач — зто нахождение решения уравнения Ти=й (2) в котором Т вЂ” вполне непрерывный оператор, действующий из бссконечномер.
ного бапахова пространства Х в такое же пространство Г. Частным случаем уравнения (2) является так называемое интегральное уравнение чьредгохьма первого рода ~ К (х, у) и (у) с(у=((х), й где К(х, у) — фрсдгольмовское ядро. Если бы задача (2) была коррекпюй, то существовал бы ограниченный оператор Т ', а тогда тождественный оператор (= Т 'Т был бы вполне непрерывным в бесконсчночерном пространстве Х. Однако задача (2) может стать корректной, если пару пространств Х, 1' заменить другой, в которой оператор Т уже не будет пполнс непрерывным Поясним это следующим примером.
Пусть х н у — точки измерююго множсства 0 ш Ем и К (х, у) — веществен. нос симметричное квадратично суммируечое ядро, для которого нуль пе являстси собствснпыь~ числом. В интегральном уравнении первого рода К(<р) = ~ К(х, и) ш(у) да=)(х) () о оператор К вполне непрерывен в йз(0). Известно, что уравнение (ь) имеет не более одного решения, которое существует тогда и только тогда, когда сходится ряд (й грч)~; (г', срч) = ~ ( (х) ч„(х) дх, ч=! О где о„и грч — собственные числа и собственные функции оператора К.
Если указайный ряд сходится, то рсшспис уравкенкя (ь) имеет вид га(х)= ~~ о» (), ф,) ~ра (х) л =! Положим теперь Хг=(ь(0), а за Ут примем гильбертово пространство функций, для которых конечна норма 1' ь» 11!3 Н1у, =~ ~' селе () ть)з~ ч=| Оператор К отображает пространство Х, на 1', взаимно однозначно и изо. метрично, так что,) ~р)х —— ,) К~р))г . Отсюда следует, что обратный оператор К ' существует, взаимно однозначно и тоже изоиетрично отображает пространство 1', на Х, и 1'К П, х — -1.
По теореме 8.5.! задача (2) корректна в паре пространств Х,, 1',. Нетрудно указать простой и важный класс корректных задач. Пусть А — положительно определенный оператор в гильбертовом пространстве Н. Рассмотрим уравнение Аи =-(. (3) 171 Построим энергетическое пространство Нл оператора А и будем искать обобщенное решение уравнения (3), т. е. элемент прост- ранства Нл, удовлетворяющий тождеству (и, т))„=(), т)), с(т) ен Нл. (4) Это решение существует и единственно; существует, следовательно, оператор й=-А ', действующий из Н в Нл и определенный на всем пространстве Н. Положим В, = Нл, В, = Н.
Докажем, что оператор Л ограничен. Пусть и — обобщенное решение задачи (3). Положив в тождестве (4) т)=и, получим )и)ле =(), и) ~))!,',,')и,!. Приведем два примера некорректных краевых задач. Первый пример принадлежит Адамару, который впервые ввел понятие корректности краевой задачи. И Рассмотрим уравнение Лапласа на плоскости дзи дзи — + — =О.
дхз дуэ (5) В качестве поверхности Г возьмем ось х и на ней зададим данные Коши, Окрестностью, в которой будем искать решение, пусть будет полоса О (у (6, где 6 — произвольное положительное число; эту полосу обозначим через Ге. В качестве некасатсльного направления Х возьмем у. Условия Коши пусть будут такие: ди ~ и' -о=и(х), — ~ =Π— оо(х(оэ ду ~у=о (6) Задание совокупности данных равносильно заданию единственной функции ~р(х), которую буден считать непрерывной и ограннчснвой на всей оси.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
