С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 65
Текст из файла (страница 65)
СЛАБОЕ РЕШЕНИЕ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ Рассмотрим смешанную задачу для уравнения д! дк-(Амд -,' — — 1(х, 1), хее(), 1)0 при однородном краевом условии и ~а=О (2) н начальном, вообще говоря, неоднородном условии и 'з- б = гр (х), х ~ 11. (3) Область г1 считаем конечной, а ее границу Г кусочно гладкой. Будем считать, что искомое решение и (х, 1) принадлежит классу С(й х(0, со)) П С<' п(11х (О, оо)). При фиксированном 1=--0 условие (2) означает, что и 1г = О (4) и и(х, 1) можно при фиксированном 1 трактовать как элемент области определения В (Л) оператора е( задачи Дирихле для эллиптического дифференциального выражения — — (А,б- —, д/ ди1 дк~ (, ' дкк)' х ее(1, Тем более, ее можно трактовать как элемент соответст- вующего энергетического пространства тз», 361 Поставленную смешанную задачу можно сформулировать иначе, если воспользоваться понятием абстрактной функции, Функцию Е" (х, Е) будем рассматривать как абстрактную функцию ) (Е) со значениями в Е., (Р), фуикпию ср(х) — как элемент ср пространства й, (О), Наконец, искомую функшпо и (х, Е) будем считать абстрактной функцией и (Е) са значениями в области 0 (е(); значения этой функции, следовательно, суть элементы обоих пространств 1.,(11) и Н с одиоврслсенио.
Задача (1) — (3) сведена теперь к следующей абстрактной задаче Конссс: проинтегрировать абстрактное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка -+Е(и=((Е), Е)0, пРи Условии и с „—.сР, (5) Допустим, что задача (5) имеет решение. Возьмем произвольную абстрактпую функцию Ч (Е) со значениями в Ня и умножим обе части уравнения (5) скалярио (в смысле метрики Е.,((а)) на с) (Е). Вспоминая определение энергетического произведения, получим ~„,, Ч',+(сс.
ЧЭ=(Е", Ч); (6) значок 21 у энергетического произведения или кормы здесь и ниже опускаем. Обратно, если иепСсм((0, оо); 0()1)) и эта функция удовлетворяет тождеству (6), то опа удовлетворяет и уравнению (5), Д«йствительно, если и ~0 (с)1), то(и, з))=(2(и, с)), и тождеству (7) можно придать вид ( „+!?(и — ), т)) ~ = О, сус) ~ Н ч ,' и так как элементы пространства Н„с образуют множество, плотное в (.л(й), то —, +2(сс — Е"=О. сЕи сп Абстрактную функцшо и (Е) буделс называть слабым рссисссием смешанной задачи (1) — (3), если она удовлетворяет следующим требованиям: 1) и (Е) одновременно принадлежит классам С(10, сю); У.,(й)), С((0, оо); Н,с), Сссс((0, оо); Вс(11)), т е.
эта функция непрерывна при Е = 0 и непрерывно диффереипируема при Е э 0 как абстрактная функция со значениями в Е.с%); одновременно опа непрерывна при Е > 0 как абстрактная функция со зпачеипями в Нзс, 2) и (Е) удовлетворяет тождеству (7) при любом Е~О и любой абстрактной функции т) (Е) со значениями в Нзс 3) и(Е) удовлетворяет начальному условию (6). Последнее требование понимается в том смысле, что ! )ш с' ,и (Е) — ср с1с., сссс = О. с о Из доказанного следует, что слабое решение и (Е) есть также и обычное решение, если и(Е) еп0()1) при любом Е)0 и если и (х, Е),— -с(с(х) ие только в метрике Ел (л)) ио и равномерно. Зб2 Глава 21 ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ й П ПОНЯТИЕ О ВОЛНОВОМ УРАВНЕНИИ Волновым рравнением называется уравнение второго порядка вида д-",— — Ам(х, () д +Ал(х, 1)д-+Аз(х, 1)и=1(х, 1), (1) в кагором матрица коэффициентов Ам положительно определенная.
Матрица старших коэффициентов уравнения (1) имеет вид ~ — Лп — Л,,... — А, 0' ~ — А 1 — Аэз " — Амп О( (2) ',— Л., — Л., — А.,„О~ 0 0 ... 0 1/! Одно из характеристических чисел матрицы (2) равно единице, остальные совпадают с характеристическими числами матрицы — 1' АМ1 и, следовательно, отрицательны. Отсюда следует, что вол- новое уравнение принадлежит к типу (т, 1, О), т. е. к гипер- болическому типу.
Уравнение характеристик волнового уравнения имеет вид Л д д 0 (3) 1, дг) 'х дхр дхр, Уравнение (1), как и всякое гиперболическое уравнение, имеет и вещественные характеристики. Заметим, что функция ы(х, Т) =1 не удовлетворяет уравнению (3), поэтому плоскости Т =сопэ1 не являются характеристическими поверхностями волнового уравпения, и при 1=сопз1 можно задавать оба данных Коши.
Мы будем рассматривать менее общее волновое уравнение (4) С физической точки зрения уравнение (4) описывает малые колебания среды под действием непрерывно распределенных источников, интенсивность которых пропорциональна величине ((х, Т), В общем случае колеблющаяся среда неоднородна и неизотропна и ее физические свойства меняются с течением времени, Если свойства среды неизменны во времени, то коэффициенты Ам не зависят от 1, — этот случай мы и будем далее рассматривать. Если среда однородна, то А,„ = сопз(; в этом случае подходящим 363 аффинпым преобразованием координат х„х„..., х„можно преобразовать матрицу (~Ать( в единичную.
й4ы приходим тогда к простейшей форме волнового уравнения д'и ,- — Ли=1(х Г) (5) Для физических приложений большой интерес представляет несколько более сложное уравнение д2и ; —, — а'Ли=) (х, (), а'=сонат. (5) Это уравнение примет форму (5), если изменить единицу времени, именно, если сделать замену г'=а(. Как уже было сказано„мы примем, что в уравнении (4) коэффициенты А;„ие зависят от времени.
Предположим также, что эти коэффициенты непрерывно дифференцируемы и что матрица (Ам~~ не вырождается. й Х СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА И ЕЕ СЛАБОЕ РЕШЕНИЕ удовлетворяющее начальным условиям ди и ) и = сри (х), †, ~ = ЧЧ (х) (2) и одному из написанных ниже краевых условий[ и )з = ф (х, () (первая задача); ~А;» — „сов (и, хг)~ =)((х, () (4) (вторая задача); [Аги — хсоз (и, х,)+о(х, () и~ =о(х, () (третья задача). Возможны, конечно, и другие типы краевых условий.
В последуюшем ограничимся случаем однородного краевого условия первой задачи и ~в=О. (б) (5) Постановка смешанной задачи для волнового уравнения весьма близка к постановке той же задачи для уравнения теплопроводности. Сформулируем задачу подробнее. В плоскости ( = О дана конечная область Г2 с кусочно гладкой границей Г.
В области () = (2 х х (О, со) требуется найти решение волнового уравнения Уи д ~ ди1 —, — — ( Ам (х) - — ~ = ) (х, (), дн дху (, дхх) Будем говорить, что абстрактная функция и (!) есть слабое решение смешанной задачи (1), (2), (б), если: 1) и е= К; 2) и (0) .: это равенство следует понимать в том смысле, что !!ш )и(!) — Ч,)=0; 3) и(Т) удовлетворяет тождеству (!!), в ко- ~-а тоРом т! (Т) есть пРоиэвольнаа фУнкциЯ класса Кг. Легко убедиться, что слабое решение и (!), припадлежашее пересечению Ссп (!О, со); )Т (ТТ)) П Сио ((О, ж); 0 (Т!)), есть и обычнос решение смешанной задачи для волнового уравнения, 5 3.
ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. ЗАДАЧА КОШИ. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ КОНУС Ниже в настоящей главе рассматривается волновое уравнение простейшего вида ,, — пи =- ) (х, Т). (1) Как мы выяснили в Ч 1, поверхность Т= — 0 для уравнения (1) — не характеристическая. Задача Копш для этого уравнения ставится следующим образом: при любом хе= Е„и любом Т)0 найти решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям ди ! =- <Р, (х). (2) и,э-о = трб (х) Важным инструментом исследования и решения задачи Коши для волнового уравнения является так называемый характеристическийский конус. Возьмем некоторую точку (х,, Т,) и рассмотрим поверхность, определяемую уравнением Т,— Т=г, г= х — хч!. (3) Вто нижняя полость конуса с вершиной в точке (х„ Т,) и осью, параллельной оси !.
Нетрудно видеть, что поверхность (3) — характеристическая для волнового уравнения (1). Действительно, полагая ьэ(х, Т) = Т, — Т вЂ” г, можем написать уравнение (3) в виде ь (х, Т) =- О. Уравнение характеристик для уравнения (1) имеет вид (4) х=! дм до дг хх — ххь В данном случае —:- = — 1, — = — = ' где хх, есть с! дхл дхх г й-я координата точки х„; теперь Ю ~л э=1 х=! Конус (3) называется характеристическим конусом волнового уравнения. Збб 1!айдем направление внешней нормали и к характеристическому конусу, Она образует острый угол с осью (, и косинус этого угла положителен; по известной формуле дифференциальной геометрии дсо сов (сг, с) —— дс ! ос 1с г ' С'дм'сс 1~~ с дог!о Сдг ) м'„',дхос' о=с' Отсюда вытекает еше одно соотношение м Х созо(п, хо) =1 — созс (и, () =- ! 2' (б) 5 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
