С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Допустим, что решение и(Т) =и(х, Т) задачи (1) — (2) существует. При любом Т» 0 оно является элементом пространства Т.,(()) и разлагается в ряд по любой полной и ортонормированной в (.,(11) системе, в частности, по системе собственных элементов оператора 21. Обозначим эти элементы через и„=и„(х), а соответствующие им собственные числа — через ).„. Обозначая (и(Т), и„) =с„(Т), (3) ЗТТ имеем и (() = ~ с„(() и„. (4) Задача сводится к вычислению коэффициентов с„((). Для этого положим в тождестве (1) ц(() =и«. Элемент и«не зависит от (, и по формуле (6.1) гл. 20 ("".' — —, и„= „--(и ((), и,) =с«(1). Еи 0) 1 о По определению (обобщенной) собственной функции (см.
формулу (3.2) гл. 5) [и(1), и«)=Х«(и(1), и«)=Х«с«((), Если обозначить (1(1), и„) =(«((), (5) то окончательно получим уравнение с«(1)+1«с«(() =)«(1). (6) Это обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с числовыми функциями: заданной 7«(1) н неизвестной с«(1). Об- щий интеграл этого уравнения о „(о=.-''[о,-;-~.''о~ > а ~, о.=-ъ~. о Из формул (2) н (3) вытекает начальное условие для уравнения (6) с„(0) =(ф, и,); отсюда С«=(ф, и«) н с«(() =(ф, и«)е '«'+о)е «и "1"«(т) о(т, (7) о Остается подставить (7) в формулу (4), и мы приходим к следующему выводу: если смешанная задача теплопроводности (1) — (2) имеет обобщенное решение, то оно представляется рядом и(х, 1) = ~, (р, и„) е «о' и„(х)+ + ~ и„(х) )е — '" " '17„(т) дт.
(8) Из формулы (8) вытекает, в частности, единственность слабого решения смешанной задачи для уравнения теплопроводности. 5 2. ОБОснОВАние метОдА ФуРье 372 Докажем. что ряд (1.8) действительно дает слабое решение задачи теплопроводности. Доказательство сводится к проверке следующих утверждений.
а) Ряд (1.8) сходится в метрике ~,(11) равномерно по 1 на любом сегменте 10, Т'), Ряд (1.8) — ортогональный в 4 (11), и достаточно проверить, что равномерно на сегменте 10, Т 1 сходится ряд из квадратов коэффициентов Абстрактная функция ) (1) непрерывна при 1'=--0; отсюда следует, что на сегменте 10, Т'1 непрерывна величина !!~~(1)((. Теперь нетрудно доказать, что второй ряд справа в (1) сходится равномерно.
Действительно, по неравенству Буняковского ~е " ' 1л(.с) с(т'( =.')е "л" "г(т)1,'-, (т) !(т= О о о -2Х! ! 1!!! )! ( — ~5! !Й . !2! о Заменив здесь )„наименьшим значением это"! величины Х„найдем, что общий член упомянутого выше ряда имеет оценку С вЂ” '! 1'„(т) с(т. Равенство 2Х! .! о (3) показывает, что ряд (3) с неотрицательными непрерывными чледами сходится и имеет непрерывную сумму, По известной теореме Дини ряд (3) равномерно сходится на сегменте 10, Т"1 при любом Т)0. А тогда равномерно сходится и второй ряд справа в (1), Проще устанавливается сходимость первого ряда (1): я (<р п„)за т'"а ~я (<р, и„) а ряд 2 ~Ч', (!р, и„)' сходится в силу неравенства Бесселя, л ! Из доказанного следует, что сумма ряда (1.8) и (х, () =и (1) принадлежит классу С(10, оо); 1.з(11)), б) Ряд (1.8) сходится в метрике Нн равномерно по 1 на любо ч сегменте [1, Т~', где 0 ( ( Т ( со, зтз В метрике Ни функции ил(х)/)с Л„ортонормированы; ряд (1.8) можно представить в виде и (х, 1) = ~ )/Л„х л=1 ((з..( *"ю-! ' " '(.((с) ((6 з (4( о зЧостаточно, чтобы равномерно сходился ряд из квадратов коэффициентов; оценим эти последние, Имеем )с Л„е л = —.Л„!е е-=.шахге '= —.
л — с,с ! хс ! (5) сух„" с р'Л„с )сЛ„' теперь сс 13 Ллслз(!) ~2(!с Л„е ~Л ) ((р, ил)з+2Лл) г)е ~л" "1„(т) ((т) .=„- о ((р, ил)'+ ~ 1,' (т) ((т; (6) Сзсзхл о мы воспользовались здесь оценкой (2), Ряд с общим членом (б) сходится равномерно, и утверждение б) доказано.
Из этого утверж- дения следует, что и(х, !) =и (Г) ен С((0, со); Нк). в) Ряд, полученный дифференцированием ряда (1.8) по 1, схо дится в метрике Ез(11) равномерно по с' в любом сегменте (г, Т), где 0 ( ! С 7' ( со, После дифференцирования ряда (1.8) по 1 получаем ряд юл 2 1 — з.(з...(.-"--(.(о-з.! -'и-м(.((с) .(( л=( о или, если взять интеграл по частям, ~ — Лл((р, ил)е 'л +Рл(0)е з.„с+ л=!з с ~- ! -"" '/: ( (с ) . (*1 (с( о Это по-прежнему ряд по полной ортонормированной в Аз(11) си- стеме (ил(х)). Оценим его коэффициенты.
По неравенству Коши квадрат коэффициента при и„(х) в ряде (7) не превосходит вели- чины З(юл-'"('(з,,.( Ю-З(((Ю(.— ""Ю-З(! — ~"-"С„О(С ) ~ 1о т ~=,((р, ил)'+Зс„'(О)+д- ~ 17 (т)1'о(т. (8) о Из сделанных нами предположений о функциях !р(х) и 1'(х, 1) следует, что ряд с общим членом (8) сходится. В таком случае ряд (7) сходится в метрике Ех((1) равномерно на сегменте 11, Т~. Утверждение в) доказано. Из этого утверждения следует, что сумма ряда (1.8) и(х, 1) =и (1) енС"'((О, оо); Ех(ьх)), г) Сумма ряда (1.8) удовлетворяет начальному условию (1.2), действительно, в силу доказанного в п.
а) в этом ряде можно почленно переходить к пределу при 1 -ь О, поэтому ю 1)щ'1и(1) — !р!!д,= ~ (гр, и„) и„— гр~!=О. ! в а=! д) Сумма ряда (1.8) удовлетворяет интегральному соотноше- нию (1.1). Пусть т((1) — произвольная абстрактная функция от 1, О(1С (оо, со значениями в Ну(, Обе части ряда (!.8), предварителыю продифференцированного по 1, умножим скалярно (в метрике 1-з ((1)) на Ч (1): —, т((1)) = ~', с„'(1) (и„, т((1)), л=! Заменяя с„'(1) по формуле (1.6), получаем (+, ) (1)) =,р, 1„(1) (и„, Ч (1)) —,'~ Л„с„(1) (и. ц (1)) = н ! ч ! ,5„~,(1)и„, т((Е)~ — ~~ с„(1)(и„, т)(1))=(7(1), т)(1))— !л=! 7 а=! — (л'мч че!)-(Р(ч чез — ! !ч,чм!. а=! Утверждение доказано.
Заме чан не. Метод Фурье без всяких изменений переносится на задачи вида дн — + им = 1(1), и (О) = !р, (9) где И вЂ” произвольный положительно определенный оператор с дискретным спектром, действующий в некотором гильбертовом пространстве Н, /(!) и и (1) — абстрактные функции, данная и искомая, со зпачевиямн в том же пространстве. Слабое решение задачи (9) по-прежнему определяется как абстрактная функция, удовлетворяющая тождеству (1.1) и начальному условию (1.2). Это решение существует, единственно и может быть вычислено по формуле(1,6).
В частности, таь могут быть построены(прн подходящем выборе пространства Н) слабые решения, соответствующие краевым условиям (3.4) и (3,3) гл, 20, если в этих условиях свободные члены равны нулю. Аналогичное замечание справедливо и тогда когда речь идет о примене. нии метода Фурье к волновому уравнению (см ниже, $ 0 †). 375 Е 3. О КОРРЕКТНОСТИ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Решение задачи (1.1) — (1.2) будем рассматривать в области Ог(см.
рис. 39), т. е. в области йх10, Т1 Рассуждения 3 1 без всякого труда видоизменяются для того случая, когда изменяется только на конечном отрезке 10, Т'1 При этом достаточно предположить, что 7'ее Ссо ((О, Т); В,(!1)), и можно будет доказать, что решение задачи (1,!) — (1.2) в классе Сон (10, Т1; Ои) () С((0, Т1' (.,(О)) существует и единственно. Можно указать различные пары пространств, в которых рассматриваемая здесь задача корректна. Подробнее остановимся на следующей паре. За В, примем пространства С (10, Т~; (.з (11)), в котором введем норму следующим образом: )и)<= шах <<и(1))ь,<о!.
(1) о<<<7 За В, примем пространство пар вида Ф = (<р (х); 7 ((, х)), (2) где ф ееЦ(й) и ) ееСИ<([0, Т1' (.,((1)); норму в новом пространстве определим формулой (Ф (,', =)! ф <<ь,<о<+ !пах Ц (8) <(с,<о<+(~' (1)!!ь,<о!). (з) о«< г Докажем, что задача (1.1) — (1.2) корректна в паре пространств (В„Вз). О существовании и единственности решения было уже сказано, и достаточно будет убедиться в ограниченности оператора )с, который действует из Вз в В, и переводит элемент Ф в решение и.
Обратимся к формуле (1.8). Система (и„) ортонормирована в ь,(й), поэтому Последний ряд совпадает с рядом (2,1); из оценок, проведенных в 3 2, сразу вытскает, что сумма этого ряда не превосходит величины =4фР.,<о!+~ 0(т)Ъ.,<о<дт. Отсюда <<и(()<<ы<о7~2$ф(ь,<о7+ !пах (((()!)<,<а<==а'(Ф11, ~!««<г 376 Тт где а' = шах (2, — „). Беря максимум левой части, находим ) и 1, ~ 1 о «а1гр,"е и, следовательно, 1Й1в, в, -.а, Смешанная задача для уравнения теплопроводности корректна также в следующей паре пространств: В, есть пространство Сои ((О, Т); (., (ь))) с нормой ~~и(в,= шах 1и(7)(ь,<о,+ шах (и'(()~1с, <ои о<о< т' а В, есть пространство пар (2), в котором введена норма 1Ф '(в, = ( Ч Ь., ив+ гпах 17 (Г) 1с, <а>+ гпах 17" (8) 14, <ои о<о<т о«с~т Доказательство этого утверждения предоставляем читателю, й 4.
О СТАБИЛИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ Теорема 22.4.1. Пусть Е( — положительно определенный оператор с дискретным спектром, действующий в гильбертовом пространстве Н, и пусть в уравнении "— „", + 2(и =) ((), ( ~ Сои ((О, со), Н), свободный член 7" (() стремится при (-о-оо к некоторому пределу д так, что )/~(Г) — д~~,— — 0 (1) и $!/~'(1)//ой(со. (2) о Тогда слабое решение задачи 12.9) стремится в метрике пространства Н при à — хх к слабому решению задачи йо =д. (3) Всюду в настоящем параграфе знаком нормы обозначается норма в пространстве Н. Сохраним условия и обозначения 4 1, 2 настоящей главы.
Слабое решение задачи (3) дается формулой о= ~ х и;,у„=(у,и„), % Ео о=о (4) о= ~„(д, — ".) — "= ~~ Еои,. 377 которую легко получить так: система (и„ДГХ„) полна в энерге- тическом пространстве Нн оператора Е(, поэтому (см. формулу (5,1 1) гл.4) Лалее, решение задачи (2.9) можно представить по формуле (К8) в виде и(() и и! (7)+ип (1), где и((1)= ~ (ф, ил)Е ' 'иа, а=! Иа "и ()) = ~ . ) .-" в-").(.) 3*. л=! Имеем ~) и (() - о(()~:- ') и! (() (+ ((( и! ! (() — о '(; далее, !) и! (() )(2 ~ч,' е-заа' (ф л — ! (е 2~' ~Ч, (ф, иа)а=е 2"3')„ф1Ä— — О.
л=! Интеграл в выражении ип (1) возьмем по частям. Это приведет к формуле Оа ! П ()) - ~ — '(). ()) -,-)а/. (31 — ) .-' К-" ).'( ) а 1 „. и=! о Отсюда а3 3 'Р ')и)! (1) — о(~= ~-г~ДЛ(1) — да) — е ' '~и(0) — ~ е ' 7„(т)(1т~ л=! а о и, по неравенству Коши, си ( и )! (() — о 112 == 3 ~~ †; (7"„ (г) — д„)2 + и= ! .(-3 7' ')'(3)-(-3~ —,(1 ' ),()3).
(3) и=! Первые два слагаемых справа в (6) оцениваются так: 3 ()л() аа) 3 1 ()л() да) 3 1)(3 ЯР~ 01 ! 1 2 а ) ) л=! л=! ~к~ ~е ыа(д (0) ~ е-223~ ~- (а (0) е-2,! ()~ (0) )12 0 и=! л=! Оценим третье слагаемое в (6). Выберем число ! так, чтобы аа) Ц(т))2((т~ — ', где з — произвольно заданное положительное 378 (5) проводности имеет вид —,— —,, =о. ди о-и дс дк! (1) Начальное и краевое условия принимают форму и(х, 0)=ф(х), 0(х--1, (2) и(0, 1)=и(1, ()=О; (3) решение определено а полуполосе 0 (х<1, ()О, Если решение и(х, г) непрерывно в полуполосе О~х(1, г'~ О, то прежде всего необходимо, чтобы ф (х) была непрерывной.
Далее, в точках х=О, 1=0 и х=1, 1=0 можно вычислить зна- чения и (х, 1), исходя как из начального условия, так и их крае- вых условий (3), и оба способа должны приводить к одному и тому же результату. Отсюда следует, что функция ф (х) необхо- димо должна удовлетворять ус лови ям согласования гр (0) = ср (1) = О. (4) Теперь можно сформулировать ответ на вопрос, поставленный выше: слабое решение задачи (1) — (3) будет и классическим, если начальная функция ф (х) абсолютно непрерывна на сегменте (О, 11, ее производная ф' ~Ео(0, 1) и удовлетворяются условия согла- сования (4). Докажем это.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
