С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 71
Текст из файла (страница 71)
В заключение параграфа скажем о корректности задачи Коши для однородного уравнения теплопроводности; распростра- пенке результатов на неоднородное уравнение не представляет затруднений. За В, примем пространство функций, непрерывных и ограниченных в Е , с нормой ] <р !!, = зпр ~ ~р (х) ',. (8) «ме За В, примем пространство функций, непрерывных н ограничен- ных в Е х(0, со], с нормой (иЦ знр !и(х, 1!. (9) «ав,с о Если суенВм то Решение задачи йу-Ли=О, и~~=з ~Р(х) ди в пространстве В„существует и единственно. Это означает, что оператор Р, который переводит начальную функцию ~р в реше- ние, существует и определен на всем пространстве Вз.
Далее, нз формулы Пуассона, записанной в виде (5) и(х, г) п з ~ !р(х+2У1$)е-Р !(3, Е следует «1 ! и (х, () «зпр ! «р (г) ! п ' $ е-Р сф = зцр ! ср (з) ! ~ <р ]„ !ЕЕ «аа«, !4' 4ОЗ Это неравенство пе нарушится, если заменить в нем левую часть ее веРхней гРанью: )и),=~,'Йгр:,~,.==)сР(з и, следовательно, '1Й) =. (1. Таким образом, задача Коши для уравнения теплопроводности корректна в паре пространств (В„В,), в которых нормы заданы формулами (9) и (8). 5 4. БЕСКОНЕЧНАЯ СКОРОСТЬ ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ Из формулы Пуассона вытекает, что тепло распространяется с бесконечной скоростью.
((ействительно, представим себе, что теплопередающая среда заполняет все пространство Е, Пусть в начальный момент вся среда, кроме некоторой конечной области Э, имеет нулевую температуру (гр (х) = 0), а точки области 4) нагреты до некоторой температуры 1Р(х) ) О.
В любой точке х ~ Е и в любой момент времени () 0 температура среды и(х, 1) определяется формулой Пуассона н и(х, 1)= 1 гр(г)е "г(г; (2)1 з1) л о интеграл по Е„,10 исчезает, потому что в этой области гр(х) =О, Из формулы (1) ясно, что и(х, г) ~0. Таким образом, как бы ни было мало Т и как бы ни была далека точка х от области О, тепло из этой области за промежуток времени Т успевает дойти до точки х.
Это и означает, что тепло распространяется с бесконечной скоростью. Этот физически противоречивый вывод на практике осложнений не доставляет, Если (х! велик, а г' мало, то в формуле (!) отрицательный показатель велик по абсолютной величине, и значение температуры и(х, Т) пренебрежимо мало. Практически, следовательно, формула Пуассона дает (с точностью до пренебрежимо малых величин) некоторую конечную скорость распространения тепла. Глава 24 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ й !. ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ Будем искать решение волнового уравнения дои дл - — — Ьи 0 (4) Выполнив обратное преобразование Фурье, придем к формуле для искомого решения: о, о-(о ) г) [о,ы ~о;~+о,~о)""'",~'),«; оо, <ц Обоснование формулы (6) приведем при следующих предполодоениях, Примем, что функция оро(х) имеет во всем пространстве Е непрерывные производные до порядка т + 3 включительно, а функция ор,(х) — непрерывные производные до порядка и+ 2 включительно, Примем, что ~ро(х) и ~р,(х) их производные только что указанных порядков отличны от нуля лишь в неко- 405 во всем пространстве Е и в моменты времени Г)0.
Пусть искомая функция удовлетворяет начальным условиям "у-о ='Ро(Х) дГ ~ =гро (Х). до (2) Примем, что все выполняемые ниже операции законны. К обеим частям уравнений (1) н (2) применим преобразование Фурье. Поступая так же, как в случае уравнения теплопроводности, придем к следующей задаче Коши для обыкновенного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами — „,+(х)ой=0, (3) й ~ь о = фо (х) „1 $о (х) символ означает преобразование Фурье.
Общий интеграл уравнения (3) имеет вид й (х, () = А (х) соз, х / (+ В (х) з 1п ~ х ! й При 1=0 находим Гро(х)=А(х), $,(х)=!х!В(х), и решение задачи (3) — (4) принимает внд й (х, () = оро (х) соз ! х ( (+ ф, (х) а~, (б) торой конечной области пространства Е . Из теоремы 7.1.2 вытекает, что при достаточно больших ~ х ~ верны оценки »ро(х)=0(~х)- -'), Ч»,(х)=0(,'х,'- -'), В таком случае подынтегральная функция в (6) имеет на бесконечности оценку 0 (, 'у ~.™-3), первые и вторые производные подынтегральной функции по х„х„..., х, 1 имеют оценки 0( у)-"-о) и 0(~у~- -') соответственно.
Во всех случаях эти оценки равномерны относительно х и (. Отсюда следует, что как интеграл (6), так и интегралы, полученные из него дифференцированием, однократным нли двукратным, сходятся равномерно по х и 1, А в таком случае функция (6) непрерывна и дважды непрерывно днфференцируема по координатам и времени, причем производные можно получить дифференцированием под знаком интеграла. Теперь нетрудно доказать, что функция (6) удовлетворяет начальным условиям (2) и волновому уравнению (1). Полагая в (6) (=О, найдем и (х, О) = (2л) ' $ ч»о (у) е'м о~ Иу = »ро (х); во» нетрудно видеть, что условия теоремы 7.1.3 в данном случае выполнены.
Продифференцировав формулу (6) по 1 и положив 1=0, найдем также до(х, 0 ! — = (2л) о ч», (у) е'<" и ду = оро (х). д» Далее, т —," = — (2л) ' ~ )у~о~»ро(у)соз!у~(+Ч»,(у)" ~ 1еомо>о(у, во» о» Ьи= — (2л) ' ~ ~у~о[фо(у) сов~у,'(+ Е о»п ~ д~ 11 д'и функция (6), следовательно, удовлетворяет волновому уравнению.
Тот же прием †сведен к обыкновенному дифференциальному уравнению с помощью преобразования Фурье †мож применить и к неоднородному волновому уравнению — „— Лоо = ) ((, г). д»и (7) Пусть для этого уравнения поставлена задача Коши с начальными условиями (2). Применим преобразование Фурье по координатам. Обозначая » (х» 1)= „о»'(у» г)~ 1 406 получим уравнение ~";+~х!2й=)'(х, ().
(в) Решение этого уравнения, удовлетворяющее условиям (4), есть функция й (х, 1) = ф, (х) сов ~ х ~ Г + ф, (х) — '' + ,х! ! +$т(..)""!'1",-'й.. (9) о Если функции ср,(х), ср, (х) и Г(х, Г) имеют достаточное число производных и отличны от нуля только в конечной области изменения переменных, то обратное преобразование Фурье, примененное к формуле (9), дает решение задачи Коши для неоднородного волнового уравнения. Е 2.
ПРИМЕНЕНИЕ СИНГУЛЯРНОГО РЕШЕНИЯ Формула (1.6), дающая решение задачи Коши для волнового уравнения, может быть улучшена. Прсжде всего, если заменить функции <р,(у) и ф,(у) их выражениями через ГР, и !р, в виде интегралов Фурье, то получатся интегралы кратности 2т; на самом деле можно обойтись интегралами гораздо меньшей кратности, Далее, для обоснования фор. мулы (1.6) пришлось потребовать сушествования производных излишне высокого порядка от начальных функции; излишне ! также требование, чтобы эти функции ! были отличны от нуля только в конечной области, Наконец, из нида формулы Лг ! (1.6) сразу не ясно, что значение и(х, Г) определяется только через значения на- ! ! ! чальных функций в области зависимости 8 4 гл. 21). Аналогичные соображения вг справедливы и для формулы (1,9), решающей задачу Коши для неоднородного волнового уравнения. Имея это в виду, мы р .зо решим задачу Коши другим методом, основанным на применении сингулярного решения волнового уравнения, Этот новый метод — более трудоемкий, чем метод 9 1, связаяный с преобразованием Фурье, но он приведет нас к новой форме решения, свободной от указанных выше недостатков, В 9 7 гл.
10 была построена функция о(х — у, à — т), которая при х~у, (~т удовлетворяет однородному волновому уравнению как по х, Г, так и по у, т; эта функция определяется формулой (7,11) гл, 10. Напомним еще, что функция д,(1.), ).= —, 4ОГ определяемая формулой (7,9) гл. 1О, удовлетворяет волновому уравнению прп г:~ О, г = 1х — у~, В полупространстве т) О выберем точку (х, 1) и рассмотрим область О, ограниченную нижней полостью характеристического конуса 1 — т = г и шаром г( 1, лежащим в плоскости т.= О, Вырежем пз 0 цилиндр г с е и обозначим через Р, оставшуюся часть области 0; остальные обозначения даны на рис.
30, Пусть функция и ен С"' (Е,„х 10, со)), Тогда в замкнутой 0 — т~ области О, обе функции и (у, т) и дь — ~, рассматриваемые как Функции от у и т, принадлежат классу Сз(Р,) и к ним можно применить формулу Грина (6.14) гл, 9. Приняв во внимание, что ( ) д,=0, можно записать указанную формулу в виде ~ Чо(~=г')Пи(У т)(У (т= пе Гди ди = ~ ~у,~ — соз(т, т) — — соз(т, у„)~— (дт ' дуз г — — соз (У, т) — й — соз (т, уа)) 4(Г, (1) В формуле (1) Г =дР,=К,() Л,() (Ш,~Ш,); соответственно интег- рал по Г распадается на три интеграла, каждый из которых надо исследовать отдельно. На характеристическом конусе К функция д„ = 0; кроме того, на том же конусе -часов(т, т) — -48 сох(т, у,) =О.
(2) Действительно, очевидно, что на характеристическом конусе направления г, т и т лежат в одной двумерной плоскости, поэтому д д д — = — соз (у, т) г д соз (у, г), С другой стороны, д д д — = -- сов(т, т)+ — сов (т, у„), д'~ дт ' ду4 Отсюда вытекает, что на конусе К справедливо тождество д д соз(у, уь) =-- -- соз (у, г). Далее, в з 3 гл. 21 было выяснено, что сов (т, т) =1))г 2, а тогда и сох (т, г) =1/)г'2, и выражение (2) равно =, —" — — ').