Главная » Просмотр файлов » С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977

С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 71

Файл №1120421 С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977) 71 страницаС.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421) страница 712019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 71)

В заключение параграфа скажем о корректности задачи Коши для однородного уравнения теплопроводности; распростра- пенке результатов на неоднородное уравнение не представляет затруднений. За В, примем пространство функций, непрерывных и ограниченных в Е , с нормой ] <р !!, = зпр ~ ~р (х) ',. (8) «ме За В, примем пространство функций, непрерывных н ограничен- ных в Е х(0, со], с нормой (иЦ знр !и(х, 1!. (9) «ав,с о Если суенВм то Решение задачи йу-Ли=О, и~~=з ~Р(х) ди в пространстве В„существует и единственно. Это означает, что оператор Р, который переводит начальную функцию ~р в реше- ние, существует и определен на всем пространстве Вз.

Далее, нз формулы Пуассона, записанной в виде (5) и(х, г) п з ~ !р(х+2У1$)е-Р !(3, Е следует «1 ! и (х, () «зпр ! «р (г) ! п ' $ е-Р сф = зцр ! ср (з) ! ~ <р ]„ !ЕЕ «аа«, !4' 4ОЗ Это неравенство пе нарушится, если заменить в нем левую часть ее веРхней гРанью: )и),=~,'Йгр:,~,.==)сР(з и, следовательно, '1Й) =. (1. Таким образом, задача Коши для уравнения теплопроводности корректна в паре пространств (В„В,), в которых нормы заданы формулами (9) и (8). 5 4. БЕСКОНЕЧНАЯ СКОРОСТЬ ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ Из формулы Пуассона вытекает, что тепло распространяется с бесконечной скоростью.

((ействительно, представим себе, что теплопередающая среда заполняет все пространство Е, Пусть в начальный момент вся среда, кроме некоторой конечной области Э, имеет нулевую температуру (гр (х) = 0), а точки области 4) нагреты до некоторой температуры 1Р(х) ) О.

В любой точке х ~ Е и в любой момент времени () 0 температура среды и(х, 1) определяется формулой Пуассона н и(х, 1)= 1 гр(г)е "г(г; (2)1 з1) л о интеграл по Е„,10 исчезает, потому что в этой области гр(х) =О, Из формулы (1) ясно, что и(х, г) ~0. Таким образом, как бы ни было мало Т и как бы ни была далека точка х от области О, тепло из этой области за промежуток времени Т успевает дойти до точки х.

Это и означает, что тепло распространяется с бесконечной скоростью. Этот физически противоречивый вывод на практике осложнений не доставляет, Если (х! велик, а г' мало, то в формуле (!) отрицательный показатель велик по абсолютной величине, и значение температуры и(х, Т) пренебрежимо мало. Практически, следовательно, формула Пуассона дает (с точностью до пренебрежимо малых величин) некоторую конечную скорость распространения тепла. Глава 24 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ й !. ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ Будем искать решение волнового уравнения дои дл - — — Ьи 0 (4) Выполнив обратное преобразование Фурье, придем к формуле для искомого решения: о, о-(о ) г) [о,ы ~о;~+о,~о)""'",~'),«; оо, <ц Обоснование формулы (6) приведем при следующих предполодоениях, Примем, что функция оро(х) имеет во всем пространстве Е непрерывные производные до порядка т + 3 включительно, а функция ор,(х) — непрерывные производные до порядка и+ 2 включительно, Примем, что ~ро(х) и ~р,(х) их производные только что указанных порядков отличны от нуля лишь в неко- 405 во всем пространстве Е и в моменты времени Г)0.

Пусть искомая функция удовлетворяет начальным условиям "у-о ='Ро(Х) дГ ~ =гро (Х). до (2) Примем, что все выполняемые ниже операции законны. К обеим частям уравнений (1) н (2) применим преобразование Фурье. Поступая так же, как в случае уравнения теплопроводности, придем к следующей задаче Коши для обыкновенного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами — „,+(х)ой=0, (3) й ~ь о = фо (х) „1 $о (х) символ означает преобразование Фурье.

Общий интеграл уравнения (3) имеет вид й (х, () = А (х) соз, х / (+ В (х) з 1п ~ х ! й При 1=0 находим Гро(х)=А(х), $,(х)=!х!В(х), и решение задачи (3) — (4) принимает внд й (х, () = оро (х) соз ! х ( (+ ф, (х) а~, (б) торой конечной области пространства Е . Из теоремы 7.1.2 вытекает, что при достаточно больших ~ х ~ верны оценки »ро(х)=0(~х)- -'), Ч»,(х)=0(,'х,'- -'), В таком случае подынтегральная функция в (6) имеет на бесконечности оценку 0 (, 'у ~.™-3), первые и вторые производные подынтегральной функции по х„х„..., х, 1 имеют оценки 0( у)-"-о) и 0(~у~- -') соответственно.

Во всех случаях эти оценки равномерны относительно х и (. Отсюда следует, что как интеграл (6), так и интегралы, полученные из него дифференцированием, однократным нли двукратным, сходятся равномерно по х и 1, А в таком случае функция (6) непрерывна и дважды непрерывно днфференцируема по координатам и времени, причем производные можно получить дифференцированием под знаком интеграла. Теперь нетрудно доказать, что функция (6) удовлетворяет начальным условиям (2) и волновому уравнению (1). Полагая в (6) (=О, найдем и (х, О) = (2л) ' $ ч»о (у) е'м о~ Иу = »ро (х); во» нетрудно видеть, что условия теоремы 7.1.3 в данном случае выполнены.

Продифференцировав формулу (6) по 1 и положив 1=0, найдем также до(х, 0 ! — = (2л) о ч», (у) е'<" и ду = оро (х). д» Далее, т —," = — (2л) ' ~ )у~о~»ро(у)соз!у~(+Ч»,(у)" ~ 1еомо>о(у, во» о» Ьи= — (2л) ' ~ ~у~о[фо(у) сов~у,'(+ Е о»п ~ д~ 11 д'и функция (6), следовательно, удовлетворяет волновому уравнению.

Тот же прием †сведен к обыкновенному дифференциальному уравнению с помощью преобразования Фурье †мож применить и к неоднородному волновому уравнению — „— Лоо = ) ((, г). д»и (7) Пусть для этого уравнения поставлена задача Коши с начальными условиями (2). Применим преобразование Фурье по координатам. Обозначая » (х» 1)= „о»'(у» г)~ 1 406 получим уравнение ~";+~х!2й=)'(х, ().

(в) Решение этого уравнения, удовлетворяющее условиям (4), есть функция й (х, 1) = ф, (х) сов ~ х ~ Г + ф, (х) — '' + ,х! ! +$т(..)""!'1",-'й.. (9) о Если функции ср,(х), ср, (х) и Г(х, Г) имеют достаточное число производных и отличны от нуля только в конечной области изменения переменных, то обратное преобразование Фурье, примененное к формуле (9), дает решение задачи Коши для неоднородного волнового уравнения. Е 2.

ПРИМЕНЕНИЕ СИНГУЛЯРНОГО РЕШЕНИЯ Формула (1.6), дающая решение задачи Коши для волнового уравнения, может быть улучшена. Прсжде всего, если заменить функции <р,(у) и ф,(у) их выражениями через ГР, и !р, в виде интегралов Фурье, то получатся интегралы кратности 2т; на самом деле можно обойтись интегралами гораздо меньшей кратности, Далее, для обоснования фор. мулы (1.6) пришлось потребовать сушествования производных излишне высокого порядка от начальных функции; излишне ! также требование, чтобы эти функции ! были отличны от нуля только в конечной области, Наконец, из нида формулы Лг ! (1.6) сразу не ясно, что значение и(х, Г) определяется только через значения на- ! ! ! чальных функций в области зависимости 8 4 гл. 21). Аналогичные соображения вг справедливы и для формулы (1,9), решающей задачу Коши для неоднородного волнового уравнения. Имея это в виду, мы р .зо решим задачу Коши другим методом, основанным на применении сингулярного решения волнового уравнения, Этот новый метод — более трудоемкий, чем метод 9 1, связаяный с преобразованием Фурье, но он приведет нас к новой форме решения, свободной от указанных выше недостатков, В 9 7 гл.

10 была построена функция о(х — у, à — т), которая при х~у, (~т удовлетворяет однородному волновому уравнению как по х, Г, так и по у, т; эта функция определяется формулой (7,11) гл, 10. Напомним еще, что функция д,(1.), ).= —, 4ОГ определяемая формулой (7,9) гл. 1О, удовлетворяет волновому уравнению прп г:~ О, г = 1х — у~, В полупространстве т) О выберем точку (х, 1) и рассмотрим область О, ограниченную нижней полостью характеристического конуса 1 — т = г и шаром г( 1, лежащим в плоскости т.= О, Вырежем пз 0 цилиндр г с е и обозначим через Р, оставшуюся часть области 0; остальные обозначения даны на рис.

30, Пусть функция и ен С"' (Е,„х 10, со)), Тогда в замкнутой 0 — т~ области О, обе функции и (у, т) и дь — ~, рассматриваемые как Функции от у и т, принадлежат классу Сз(Р,) и к ним можно применить формулу Грина (6.14) гл, 9. Приняв во внимание, что ( ) д,=0, можно записать указанную формулу в виде ~ Чо(~=г')Пи(У т)(У (т= пе Гди ди = ~ ~у,~ — соз(т, т) — — соз(т, у„)~— (дт ' дуз г — — соз (У, т) — й — соз (т, уа)) 4(Г, (1) В формуле (1) Г =дР,=К,() Л,() (Ш,~Ш,); соответственно интег- рал по Г распадается на три интеграла, каждый из которых надо исследовать отдельно. На характеристическом конусе К функция д„ = 0; кроме того, на том же конусе -часов(т, т) — -48 сох(т, у,) =О.

(2) Действительно, очевидно, что на характеристическом конусе направления г, т и т лежат в одной двумерной плоскости, поэтому д д д — = — соз (у, т) г д соз (у, г), С другой стороны, д д д — = -- сов(т, т)+ — сов (т, у„), д'~ дт ' ду4 Отсюда вытекает, что на конусе К справедливо тождество д д соз(у, уь) =-- -- соз (у, г). Далее, в з 3 гл. 21 было выяснено, что сов (т, т) =1))г 2, а тогда и сох (т, г) =1/)г'2, и выражение (2) равно =, —" — — ').

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
10,48 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6559
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее