С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Предельный переход в интегралах по ()((е' и В)е' очевиден, и надо исследовать только предел интеграла о(х — у, а) и (у, ( — е) ((у= шя м и (у ( е) е ее ((у 2 (ле)~(е я е и(у ( е)е ее ((у+ 2 (ле)еце еС~~ е м + „~ и(у, ( — е)е ее((у. (4) 2~ (ле>~(~ шя, (е с ~/'е) Второе слагаемое стремится к нулю вместе с е.
Действительно, так как функция и (у, т) ограничена, то указанное слагаемое не превосходит произведения некоторой постоянной на величину м е ( с(у( ~ е ее((у ш К (есу4'е) е > е 'е В последнем интеграле сделаем замену у=х+2 у'ег; (5) величина справа принимает вид ~ е-'еи((г; это выраже(*, > (М е' е ние стремится к нулю при а-(-0, потому что сходится ин1еграл е-,ед ((г е„, Остается найти предел первого интеграла в (4) справа. Перепишем его в виде и(х,!) г<~ е гг (и (у, ( — е) — и(х, ())е 4' 4(у, (6) г< 4гге Найдем предел первого слагаемого в (6), для чего сделаем опять замену (5).
Зто приведет упомянутое слагаемое к виду е —,'2, 4(е ( ' ) ~ е-(ен (е еи2 е О тЛ ! е ~ <! М ~/е Бег Последний интеграл равен Е4 +СО ~ Е-Генг(г=Ц ~ Е *'4(г„=н Л, (7) е 44 и предел первого слагаемого в (6) равен и(х, (). Второе слагаемое в (6) стремится к нулю при е-г О. Действительно, как бы ни было мало число е)) О, можно найти такое е,~ О, что при е< ее и г<1/ е будет (и(у, 1 — е) — и(х, 4) ) (Ч.
Теперь второе слагаемое в (6) имеет оценку ег Ч ( Е ее 4(у Ч ~ и — ~еи4(г Е4/2 г < ~~Ге ~е~< (44/е) — 4 — ~ -ы~ (х=Ч, 44ж Е и утверждение доказано. Окончательно, 1нп ~ о(х — у, е) и (у, 4 — е) Иу= и(х, г), е Ощ и из соотношения (3) в результате предельного перехода следует равенство и(х, 4) = ~ о(х — у, 4 — т) Ьи(у, т) ду44т+ ог + $ и(у, 0) о (х — у, () 4(у+ шл ди до '1 4-) ( — — — ) 4, ге ге,г, 44> дое дои) где фг=Шя Х(0, 4), Вг=дШл Х(0, 1). Отметим частный случай. Пусть функция и(х, 4) финитна; изменив, в случае надобности, начало отсчета времени, можно 39б считать, что носитель функции и лежит в полупространстве Г' )О.
Радиус )т возьмем столь большим, чтобы проекция ацррп на плоскость Г=О лежала внутри шара Шю Тогда в форуле (8) интегралы по Ша и В, исчезнут. Далее, вне Я, либо и=0 (при у())7 и при т(0), либо о= — 0 (при т)Г). Интегрирование по 4',44 можно заменить интегрированием по всему пространству Е 4ы и мы приходим к формуле и(х, 1)= ~ о(х — у, à — т)йи(у, т)оу4(т, (9) т ~! которая показывает, что функция о(х — у, à — т) действительно есть сингулярное решение оператора — — — 44 (см. 9 6 гл.
10). д дт Откажемся теперь от предположения о финитности функции и. Полагая Я- со, легко докажем„что в формуле (8) интеграл по В, стремится к нулю; интеграл по Ша стремится, очевидно,' к аналогичному интегралу по пространству Е„, а интеграл по 9,— к интегралу по слою Е х (О, Г). В результате получаем формулу 1 м и(.т, Г) =, ~ '1 е 4о-пйи(у, т) е(уг(т+ (2 Г а)пг (4 т)ти ее м + ' . ~и(у, О)е 4 йу (Ш) ее Вернемся к задаче (1) — (2) и допустим, что она имеет решение и(х, Г) ~СО п(Е х (О, со)).
Применяя к этой функции формулу (10), находим, что решение задачи Коши для уравнения теплопроводности необходимо имеет вид н о е м х 7(у, т)4(уот+ ~ е 40 49(у) е(у. (!1) ее Формула (11) называется формулой Пуассона. Отметим ее частный случай, соответствуюший случаю однородного уравнения теплопроводпости (Г(х, Г) = 0): ~ 3 и(х, Г) = ~ е 4'49(у) 4(у. (12) ее й 2. ДРУГОЙ ВЫВОД ФОРМУЛЫ ПУАССОНА Ладим еще один вывод формулы Пуассона, основанный на преобразовании Фурье (см.
й 1 гл. 7). Лля упрошения выкладок ограничимся случаем однородного уравнения теплопровод- Э97 ности. Рассмотрим задачу Каши ди Ли=0 и~с о=я (х). Будем предполагать, что все выполняемые ниже действия законны, и в этом предположении выведем формулу для реше.
ния задачи Коши ((). Обе части уравнения (1) подвергнем преобразованию Фурье по х (2л) э ~ — 'е — 'м,м г(у — — Г ди(у, 0 ,) эс Е 1 И$ — (2л) з ' е~м, и йу 0 (2) — — Г ч~~ Фи(у, 0 де, Е А ! Интегрирование по у и дифференцирование по ( независимы, поэтому вынесем в первом слагаемом дифференцирование по т' за знак интеграла: (2„) э ~ "(У )е — ~м,мйу д~ Е =(2л) ду ~и(у,() -ы'и у= — "',", ". Е здесь й(х, () означает преобразование Фурье функции и(х, () й(х, () =(2л) э $ и(у, ()е-'<' и йу. ве Каждый интеграл во втором слагаемом в (2) возьмем по частям (2л) ' ~ (~' )е-'и мну = ет т = — (2л) э хд $ и(у, Ф)е-'<" не(у= — хай(х, 1). (3) Уравнение (2) принимает вид ',— „"+~хай=о. (4) Это обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с независимой переменной (; координаты х„ х„ ..., х играют роль параметров.
Интегрируя уравнение (4), получаем й (х, г) = = С(х) е- "*'. Полагая здесь (=О, найдем С(х) =й(х, О). Таким образом, функция С(х) есть преобразование Фурье начального 398 значения функции и(х, 1). Но и(х, О) =<р(х) следовательно, С(х)=ф(х)=(2п) з ~ ~р(у)е — м" ме(у и й(х, 1)=~р(х)е-''"С е Воспользуемся формулой обращения интеграла Фурье (1.4) гл. 7 и(х, 1) =(2п) з ) ф(у) е-Ра'+'~" мому. Заменим здесь ф(х) его выражением и изменим порядок интегрирования: и(» 1) (2п)- ~ <р(е)~ ~ е-'и.'~+ м — и,м,(у1е(е (5) Вычислим внутренний интеграл в формуле (5): ~ е — 'и,'~+ни — г, м (у— ет +О» +00 ~ 1 ий! +(хи — 2е)) = ~ ... ~ е'=' ду, Иу,...йу т +со П ~ -рч+~( „-и„)е 1 (6) В интеграле справа у — вещественная переменная, которая меня- ется в пределах — со ( у < со.
Рис. 29 Выделим я-й множитель в произведении (6). Обозначим для краткости х„— ге=а. Дело сводится к вычислению интеграла ОЭ а' +ю р ии~а 7(сс) = ~ е «ч+' ис(у =е " ~ е ~ м) с(у. Рассмотрим плоскость комплексной переменной Ь=у+(г). Для определенности примем, что а) О. Построим прямоугольник с контуром („как показано на рис. 29. По теореме Коши ~ е-д* дь = О или, в более подробной записи, +А' ! ~а~о о л е ~" о0 ду+ ~ е-'по+'оР14(1) — ~ е м'о(у— — и а — и оо о — е-н — ~+'">Ч й) =О.
а 2) Пусть теперь )о' -л со, При этом второй и четвертый инте- гралы стремятся к нулю. Действительно, о о е-'ио'— еоп(о(п ~ $ е — '<" чч дт)= о =е-ио' ~ е'о'о(ׄ— -„О. а оо +а Г' га 1о +о» Отсюда следует, что ~ е ~ "1 4(у= ~ е-ьо'Ыд. Легко видеть, что случай а О приводит к тому же результату, Замена р ~'~ = = з дает, далее +СО +лл ~ е-'о'ду== г е- 'й=1/ — ", Теперь а' +~~ ~ Га 1* — (хо хо) е " ~ е ~ ") Ау=1~ — е и интеграл (6) оказывается равным величине 1 с.~ а — — г (х х )' гл (Я)о е 4=1 — ( )о е 4о Подставив этот результат в формулу (5), получим формулу Пуассона: Н и(х, () = ~ ор(г)е "о(г.
(7) (з )~оп),л 5 3. ОБОСНОВАНИЕ ФОРМУЛЫ ПУАССОНА Обоснование формулы Пуассона для простоты проведем в предположении, что уравнение теплопроводности — однородное. Мы не будем пытаться доказывать пи справедливость предполо- 40з г~ а О -(~у где а и Т вЂ” положительные постоянные, Докажем, что входя- щий в формулу Пуассона интеграл ~ ~р(г)е "дг (2) сходится равномерно по х и 1 в области (1). Возьмем достаточно большое число )т и оцепим интеграл <р (г) е и ~(г, и!)л Функция ср(г) ограничена; пусть ~<р(г) (~М=сопз(, Далее г=1х — г~=-'г~ — 'х ~(г,— а. Будем считать, что Я-»2а.
н ~г( Тогда а ( -,- = †' и г ) -. Теперь е " (е '~~ и, следова1ельно, ! г' ~ г!' ср(г) е 43Иг (М ~ е '"" йг= ы,)а ~я,>а сО а =М)Я,~ ~е шг р -'е(р, (3) (д ай Интеграл ~р"-'е шг е(р сходится, поэтому интеграл справа о в (3) сколь угодно мал прн й достаточно большом; так как он нс зависит ни от х, пи от 1, то интеграл (2) сходится равномерно, Отсюда следует, что фушсция, определяемая формулой Пуассона, непрерывна при 1.>О. Докажем, что при 1)О функция и(х, 1) бесконечно дифференцирусма по 1 н по координатам точки х и что все производные можно получить, дифференцируя формулу Пуассона под знаком интеграла. Рассмотрим, например, производную †.
Если формально проди дС' дифференцировать по 8 правую часть формулы Пуассона, то 14 с. Г. мы~дни 4а1 женпй З 1 об искомом решении, ни законность действий 3 2. Вместо этого непосредственно установим, что формула Пуассона дает ограниченное решение задачи Коши для уравнения теплопроводности (2.1) в единственном предположении, что начальная функция ~р(х) непрерывна и ограш1чена в пространстве Е, Докажем прежде всего, что формула Пуассона определяет функцию, непрерывную прн ()О. В пространстве гп+1 переменных х„х„..., х, ( рассмотрим область, определенную неравенствами получится выражение и и — +, ~ ф(г)е "'о(г+,„+, ~ г'ф(г)е ' о(г. (4) яд*1 2г 2 е„ зш.~лог о е Как мы видели, первый интеграл сходится равномерно в области (1), Точно так же проверяется, что в той же области равномерно сходится и второй интеграл.
Отсюда, как обычно, следует, что производная существует, непрерывна и совпадает с выражением (4), Существование остальных производных устанавливается ана. логично. Непосредственным дифференцированием доказывается, что функция, определяемая формулой Пуассона, удовлетворяет уравнению теплопроводности (2.1).
Остается доказать, что функция и (х, 1) ограничена и удовлетворяет начальному условию (2.2) и 11ти(х, ()=!пп „, ~ ф(г)е йНг=ф(х). о о ~ о (2Уяг)"' е Сделаем замену г=х+2Р'7$, тогда формула Пуассона примет вид и (х, () = и о ~ ф (х+ 2 3/Т $) е-~1п о$. Е,о + ОЭ По формуле ~ е-о* др = )г и легко находим и о) е-'тих=1. (б) ею Теперь из формулы (5) следует, что 1и(х, 1)(Мп ' ~ е-~1яйв=М, ее и функция и (х, () ограничена. Далее по формулам (б) и (6) и(х, О) — ф(х) =и о $ (ф(х+2)/гв) — ф(х))е — Вяо(я.
(7) т Интеграл в формуле (7) разобьем на два интеграла, взятые по областям )$)~)( и ($(()т', где )г — некоторая постоянная. Имеем ! ~~ь /.2~ 3е — д( )/ цг ф(~ !$!>я О3 (О ~2Мп ' ') е-~те о$= 2Мя о ~ 3, ~ ') р"-'е-о'о(р. !т!>а я 4ог Интеграл ~ р -'е-~'Лр сходится, н можно выбрать такое Рз(з), о что прн й)Рз(з) будет 2Л(п з '!Я,~ р -'е-~'Нр<-йз. Зафиксируем какое-нибудь й)й,(е). Тогда можно найти такое Гз(е), чтобы прн 0<г<(,(е) и для любого $, ($~~Я было ~ ~р (х+ 2 ~7 $) — <р (х) ! < — '. Теперь ! «~ и з ~ ~(р(х+2]/Ц) — «е(х)]е-.'за гф д!ся <и Ч ~ е-!$!'с$ 2 вл и окончательно !и(х, () — ср(х)|<е, 0<(<(,(е), Этим завершено обоснование формулы Пуассона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
