С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Возьмем теперь в 6 произвольную точку ха и определим множество и (х„~)) в соответствии с условием теоремы 1.! .1. Построим открытое множество д, (т~) так, чтобы цл, (и) - ть'2 и чтобы в 6' лд(п) функция р(у) была непрерывна. Множество 6",д, (и) замкнуто, и .функция р(у) иа нем также и равномерно непрерывна. Обозначим через К,(х„т1) шар с центром в хз и с радиусом о лп112 ~ 3, ~''"; по формуле (2.10) щ,(х„т1) =т1/2. Положим теперь д(х„т1) =л, (и)() п,(х„п), тогда ра(х,, т1)(т1. Если у меняется на множестве 6',д(х„т1), а точка х достаточно близка к х, (папример, если )х — х,( =а(2), то подынтегральная функция в интеграле (1) равномерно непрерывна по совокупности переменных х н у. Отсюда следует, что указанная функция непрерывна в х, равномерно относительно уев 6' п(х„т1). По теореме 1.1.1 функция и(х), определяемая интегралом (1), непрерывна в 6, Из доказанного следует, что оператор К действует из (.р(6) в С(6).
Формула (3) показывает, что этот оператор ограничен и что его норма не превосходит величины (4) Локажем теперь, что рассматриваемый оператор вполне непрерывен. Пусть М вЂ” множество функций, ограниченное в (р(6): Ур ы М; ),р~' ==С =сопз1. Из неравенства (3) следует, что множество КМ также ограничено: Чи еп КМ, (п(с<о~(СИ); докажем, что функции этого множества равностепенно непрерывны. 20 Пусть теперь р=оз. Тогда р'=1, и условие ).р'«т выполнено. В этом случае )р(,=)р)„=зцр езз|р(х)', »ао (зцр езз — су|цественная верхняя грань); теперь | и (х+ Ьх) — и (х) ( (,! р ~| 1 ~ ' — — ' ~ йу. Г | А (х+Лх, у) А (х, д) а Повторив рассуждения, которые относились к интегралу (5), найдем, что функции множества КМ равностепенно непрерывны.
° Следствие. Если множество 6 зал/кнута, и А ~С(6х6), тп оператор (1) вполне непрерывен в С(6). Это следствие непосредственпо вытекает из теоремы для случая р=со и из того факта, что С(6) есть подпрострапство пространства Е (6). Теорема 1.3.2. Пусть в интеграле (1) ) р'~ т„и пусть целое число з таково, /то т — (т — Х) р в~т. Тогда интеграл (1) определяет /)/ункцию, которая на любом сечении д, множества 6 плоскостью размерности з определена почти всюду в смысле лебеговой мерь/ в Е,. Оператор К, определяемь/й формулой (1), ограничен кок оператор из Е (6) в ).а(да), где /) — любое число, удовлетворяющее неравенству Сначала рассмотрим случай р ~ /) др. Положим о == а/1 11 аи а = --( — — — |; очевидно, о)/).
Тогда ). =- —, + — — 2о. Оценим г (, » », /" ' ' Р' » интеграл (1): )и(х)|«=-./|/ |р" йу= — д/ !р(у) |ам㻠— иа,'р(у) )1 — а/а/а-ы/мйу (3) Положим р,=д, рх= —, Ра= р'. Очевидно 1/Ра+1/Ре+1/Рь = » //' = 1, и к интегралу (8) можно применить неравенство Гальдера для трех множителей: ~ и (х) | ~ й/ (~ |, р (у) |а/"-' йу~'» )с г 1') ~ р (у)е йу'(1/л- |/а (") /а'а —,„йу)~1/а (о ) 1о Второй множитель справа равен )!Р)' — а/а, третий просто оценивается, если заметить, что Ос:(г<Н), и воспользоваться фор- гг мулой (2). В результате получаем !гана а — гга !и(х), =. !~гра)! юа (~ )р(у))агаа 'г(у~ га (г с)о откуда $ ',и(х) )аг(х С<!р!)г-г)г)р(у)Р( $ г"а 'г(х~г(у, с ! 5 С = сопз(.
(9) Здесь через г(,х обозначен элемент лебеговой меры в Е,. В неравенстве (9) внутренний интеграл легко оценить. Выберем оси координат так, чтобы з-мерная плоскость, в которой расположено сечение д„ определялась уравнениями х,+г —— х,а, = = ... х = О. Тогда на д„ та= ~~ (х„— у,)а ! '),' у;"~ ~,' (хь а=-! а=я~! г=! Последнюю сумму обозначим через г,"; очевидно, г) г,. При этом ог)(з и, следовательно, используя формулу (2), в которой сг заменено на з, получим гг,х 2аигыаа та аа Г (а 2) с г ' Теперь из неравенства (8) следует )!!и!с. (а)=()г ,'и(х)аг(,х~па(С')!р',!г гсг! С'=сопа1 (10) М 23 и для случая г)~ р теорема доказана.
Доказательство при д(р легко получить с помощью следующего замечания. Пусть 1! ен ń— измеримое ограниченное множество, 1(г)(г)! и и ~ Е (!а). Применяя неравенство !"ельдера с показателем г)г/д, получим о !~ †! )! и",, = ) ! и (х) !а г(х ( ~~ ! и (х);а г(х~а а' )1а а ггх) или ! 1 )!и! ~(р(г)а а !',и<)„. (1!) Теперь, если гг( р, то ьозьмем какое-нибудь число д„ р.= Чг ( г)а. По формулам (!0) и (11) ! ! г!и)!с (а ) а:(ру,)а а С'!ар))х гс! Я Теорема 1.3.3. Пусть йр')т и целое число з удовлетворяет неравенству т — (т — ).) р(з~т.
Пусть далее, д,с:б — з-мерное кусочно гладкое многообразие. Тогда верны все утверждения теоремьч 1.3.2. Как это следует из определения, кусочно гладкое многообх разие есть объединение конечного числа частей, д, = ( ) уи, кажч=! дая из которых описывается параметрическими уравнениями вида х)=6у($м Ь~ ° "! 3.)! )=1! 2, ..., т, (12) где функции (у непрерывно дифференцируемы в области изменения переменных $„1м ..., $, н нижняя грань суммы А(х) = ~~ (' (13) положительна; суммирование в (13) производится по всевозможным наборам индексов /„)м ..., )„каждый из которых принимает значения от 1 до т.
Очевидно, теорему достаточно доказать для каждого из множеств д~'>, которые можно считать замкнутыми; в противном случае достаточно заменить каждое из этих множеств его замыканием и для этого замыкания доказывать теорему. В некоторой окрестности каждой точки множества у~о хотя бы один из якобианов (13) отличен от нуля. По лемме Гейне — Бореля указанное множество можно покрыть конечным числом открытых множеств, на каждом из которых один из якобианов (13) отличен от нуля, Пусть у' †од нз таких открытых множеств и пусть координатные оси занумерованы так, что на множестве д' не обращается в нуль якобиан )З(х„х„..., х,) ()(з!, 5ь " Ы ' Этот же якобиан не обращается в нуль и в некоторой окрестности многообразия д'.
Обозначим через б, пересечение этой окрестности с множеством б, и пусть еще б,=б",б,. В б, введем новые координаты $„..., $„$,+„..., 5„так, что при 1(з они определяются из первых з уравнений (12), а при)) з — из уравнений я~=~о($„5м ..., $,)+$;. (14) Легко проверить, что якобиан этого преобразования )З(х!, хм ", хм) О(хь хь ." х!) О(1„х, .... 1.) О(1,, 1., ", 1,) ' и потому он отличен от нуля в б,; если диаметр этого множества достаточно мал, что всегда можно предположить, то введенное здесь преобразование однозначно обратимо.
Для дальнейшего важно, что при этом преобразовании множество д' переходит в множество с(', лежащее в плоскости $„, =- 24 $,„,=...=$ =О. Обозначим еще через Р, образ множества С, при указанном преобразовании. Самое преобразование будем записывать так: х=7 $), а обратное преобразование — $=Р(х), Положим теперь и(х) =и,(х)+из(х), где из (х) = ~ р(у) ( ' ") ду, й=1, 2.
(15) б„ Если х вне' и уенб„то ядро А(х, у) г-х ограничено, отсюда ! из (х) ~ ~ С ~ ~ р (у) ~ йу ( С ~ ~ р (р) ! Иу = С ~', р 1, ~ С' (', р (р, а, о здесь С и С' — некоторые постоянные. Возводя в степень д и интегрируя по л', получаем ~ 'и,(х) г Их: С"~~р,'~', С"=сонэ(, (16) Перейдем к Функции и,(х). Пусть у=7" (т1).
Положим Д вЂ” ц= )с, тогда )7 = ) Р (у) — Р (х) ! = ) У (х) (у — х) 1; здесь l — якобиева матрица преобразования К=Р(х) и х — некоторая точка отрезка, соединяющего х и у. Матрица У ограничена в С„а тогда, очевидно, И ( сг, с =сопз1. Функцию и,(х) можно представить в виде ~ь 4 (Пз), 7(ч))! г '(Ы~ ~ —,) и,(х) = ~ р(7(п))пц. (17) Числитель дроби под интегралом (17) ограничен, и этот интеграл имеет слабую особенность. Многообразие й' плоское, и по теореме 1.3.2 ~ ~и,() ф) ',ей~,...с$,(В",(') ~р Д(т1)) ~з Й~~"л'= а ып 16, ( В~~ ( $ ~ р (д) Р' с(у~"л ( В) !, 'р<Ь'„Вм В, = сопз1.
(18) С другой стороны, )и~~!', „ч=( ~ид(х)!'д„й'=~ ~и,(хЯ))~е ЗГА(х)сЦ, ...Пф,~ $' д ~В,'~ (и,(х($))Рд~, "~$о Вз сопз1; (19) величина А (х) огРаничена, потомУ что пРоизводные дх~!д$з все непрерывны и, следовательно, ограничены. Сопоставляя соотношения (18) и (19), находим, что ~(!и,(~[с (4(»Ве(~(р([т Ве=сопз1.
Отсюда ц из (16) вытекает, что ['сс([ь ц) --.В,)р)т Суммируя эти неравенства по всем у' с:у(о, а затем по всем (, найдем, что )'и~~с (и )» В((р 1[„, В =сова(. 9 (20) й 4. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ СО СЛАБОЙ ОСОБЕННОСТЬЮ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) Теорема !.4.!. Если лр'~гп, пго ингпегральный оператор со слабой особенностью вполне непрерывен нам операгпор из Ер(6) в Е (6), где 1»()»()ее = 3 а и е ч а и н е. Можно доказать, что прн условии ер' т интегральный оператор со слабой особенностью вполне непрерывен и как оператор нз Ер(О) в Еч(ее), где Е,~о есть зеюрное кусочно гладкое многообразие, т — (т — Л)р<а»т и 1»ц(де, где Че определено формулой (3.7) Доказательство см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
