С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Будем говорить, что интеграл ~ 1(х, у)ау, хее0 (1) сходится равномерно в 0, если выполнены следующие условия: а) при любом фиксированном х~0 функция 1(х, у) суммируема по у в 6; б) по любому з) О можно найти такое 6) О, что если множество ус:б и лебегова мера этого множества рдч 6, то ) 1 (х, у) ду ~ ' С е. Теорема 1.!.1. Пусть интеграл [1) сходится равномерно в 0 и пусть его подынтегральная функция удовлетворяет следующему дополнительному условию: по данному числу Ч) О и данной точке х, я0 можно найти такое множество д(х„т)) с б, что рд(х„ ))) ~)) и подынтегральная функция непрерывна в точке х, равномерно относип)елька у ен(Г,д(х„))). Тогда интеграл Я есть функция от х, непрерывная в О.
Доказательство. Выберем в 0 произвольную точку хо и докажем, что в этой точке интеграл (1) непрерывен. Указанный интеграл сходится равномерно, поэтому можно по заданному е) О выбрать столь малое число т))О, чтобы ! 1 1(,у)у 3. е)о„ч) Интеграл (1) обозначим через и(х); очевидно, функция и(х) определена всюду на множестве О.
Составим разность и(х) — и(хо) = ~ [1(х, у) — 1(хо у)) йу+ О",Е1ог и) + ~ [1(х, у) — 1(хо уН с(у. (2) е1м, ч) Зафиксируем )) и выберем число 6=6(е) )О столь малым, чтобы при !х — хо!<6 было 11(х У) — 1(хо У))<ф, УЯО~Е(хо~ т))' тогда )и(х) — и(х,) ) (е.
!а Теорема 1,!.2. Пусть 0(х) =~у(х, у)йу, х~0, (3) 13 где 0 — конечная замкнутая обласгпь в Е, Π— ограниченное измеримое множество в Е„и функция г (х, у) суммируема по у в О при любом х ~ 0. Пусть, далее, для некоторого номера ), 1( =1 -т, в любой точке хсн0 при почти всех уев О существует частная производная )(х, у) =др(дх) и при достаточно малых Ь справедлива формула Ньютона — Лейбница Е(х„..., х, „хт+Ь, хуи„..., х, у)— — Е(х„..., х) „хп хд„, ..., х, у) и =))(хы ..., Х) т, х,+(, х т, ..., Хао у) й(.
(4) о Пусть, наконец, производная др(дху суммируема в Рхб. Тогда почти всюду в 0 существует производная д(т'(дх) и справедлива формула дифференцирования под знаком интеграла — — йу. дУ Г дг(х, у) (б) дх(,) дх[ Л о к а з а т е л ь с т в о. Для краткости обозначим х =(х,, ..., х, „хт+(, х)еы ..., х ), Х вЂ” (ХΠ— Хт ° [ Х)-т Х[ Х)от ... Хии) По формуле (4) и[,[ — им с (о В силу условий теоремы, функция ((х, у) суммнруема в Рк О. По теореме Фубини, эта функция суммируема на множестве [х, ха) хб при почти всех хин 0. Для таких х, по той же теореме Фубини, можно изменить порядок интегрирования: л ье[ — и[*[ [ ((~~(, )и )и По теореме Лебега, почти при всех хенР существует предел правой части последнего равенства, н этот предел равен ')((х, у) йу. ° (е) с 3 а меч ание.
Утверждение о существовании производной дУ[[дх) и формула (5) во всяком случае верны для тех точек х [ы У, в которых интеграл (и) непрерывен. В частйостн, если фуикпия 1(х, у) удовлетворяет условиям ееоремы !.1.1, то интеграл (3) имеет всюду в 0 непрерывную дУ/дхп которую можно вычислить по формуле (5).
Рассмотрим частный случай. Пусть го(х) = ~и(у) оз(х, у) йу, (6) о !4 ~ и (у) Р„со (х, у) ду, ! а ! (1 ОЧЕВИДНО, СХОДЯТСЯ РаВНОМЕРНО. МНОжЕСтВО д(ХФ Т!), ФИГУРИРУЮ- щее в теореме 1.1.1, можно выбрать независимо от х,: достаточно выбрать множество у(ТТ) так, чтобы !!д(т!)(!) и чтобы функция и(у) была непрерывна в б'~д(!!), а затем положить д(хи т!) = =у(с!). По теореме 1.1.1 интегралы (6) и (7) непрерывны в Р. Полагая Г (х, у)=и(у)со(х, у), найдем, что все требования теоремы 1.1.2 выполнены и, следовательно, функция (6) имеет непрерывные в 0 первые производные, которые можно получить, дифференцируя под знаком интеграла: в-„- — — ~ сс(у) в ' " иу, 1'=1, 2, ..., т. о Аналогично найдем, что при любом мультииндексе а, (а~ ~1, существуют и непрерывны в 0 производные 0"сэ(х), причем 0'св (х) =- ~ и (у) Р, с» (х, у) ду. ° (8) й 2. СФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ Пусть х — фиксированная, а у — переменная точка пространства Е . Сферические координаты с центром в точке х определяются формулами: у, =Х,+Гс056„ у, =х,+гсппб,соэб„ Ущ„! =хщ 1+ Г51п сг15!п тгэ...51п Ющ э соэ ощ 1, Ущ — — хщ+ Гэ!п 111 5!п !Гэ...
5!пбщ э эсп ощ !. Очевидно, г=!У-х1, углы б„б„..., б, изменяются в промежутке !О, л1, а угол б ! — в промежутке !О, 2П1. Найдем выражение элемента объема с!у, а также элемента с(5, площади поверхности сферы радиуса г в сферических координатах, 15 где и (у) суммируема в б, а функция Ф(х, у) и ее всевозможные производные порядка ( 1 по координатам точки х ее 0 непре рывны в 0 х б. В этих условиях справедлива следующая теорема. Теорема 1.1.3. Интеерал ® 1 раэ непрерывно дифференцируем в Р.
Интеграл (6), а также интегралы вида Достаточно просто это можно сделать следующим образом. Вычислим якобиан В (У,, У,, ..., У ) ~ь )З ( О О ) сов О, — гь( Е, апо,совО, гомбьсовбь (2) О ...Π— гь1пб,в1пО, ... О гФс1КО,соьО ! гФс(ао~совО ! ...— гФМпО гФс1абьно в„, гФс(дбььм О,„, ... гФсоьО Фсспв Ф МП Оь, 1 ,7 = г"-'ь!и"-'бьяп -'О,...ььпд (3) Теперь можно написать элемент обьема в сферических координах: с(у=г"' ьь!и"' ьдьь!п ь()в...ь!пд вй'с(бь...сЮ (4) Выведем формулу для элемента площади поверхности сферы 5„ радиус которой равен г, а центр совпадает с центром системы сферических координат.
Как известно из дифференциальной геометрии, для любой поверхности Г справедлива формула с(Г = = "' У'"' У вЂ”, где о — нормаль к Г. Для сферы 5, имеем ( сов(о, Ув!) ( и — ! ,„,!, г )/=! * ь, г.|1= "", — П"""! в=! На этой сфере координата г постоянна, поэтому с(у! с(ув... с(уць ! — — ~ ~, О 'О ' "' О ) ~ ьЮ, !Юь... с(бщ !.
ь) (У! Уь " Ут !) Якобиан в последней формуле можно получить, вычеркнув в определителе (2) первый столбец и последнюю строку. В оставшемся определителе все элементы правее главной диагонали равны нулю, н этот определитель равен произведению своих диагональных элементов. Отсюда легко вытекает искомая формула с(З,=г"-!выл -вдьь!и -ьбв...ь(пд ьс(бьгЮв...с(б !. (5) Из формул (4) и (5) вытекают полезные соотношения с(я„= г -! с(.ч и с(у = бг с($г г"-! с(г с(5!. (б) (7) 1б в двух последних строках определителя для краткости положено Ф=ььпбьь!пдь...
з(пд Легко проверить, что д,)„/дд„ь=О, и для вычисления опре. делителя г' можно в пем положить 6„! = О. Это приводит к рекуррентной формуле 7 =гь(од! ... ь!яд ьl !. Заменяя здесь последовательно пь на т — (, и†2, ..., получаем Интегрируя соотношение (6), получим еще одну часто применяемую формулу ) гав-1 ~ 5 (8) в соответствии с принятыми во введении, з 2, обозначениями, 5 означает сферу единичного радиуса. Найдем площадь )5,! поверхности указанной. сферы. Имеем о ога ~ 5« ~ = ~... ~ ~ з!и г дг...
з)п б -г об«... Ю -о аб о о« 03 — г лгг 2п П ~ з 1п«б дб = 2я П 2 ~ з ш«б о(б. «-г о о Замена з(поб=( дает луг « — ~ 1 2~ ы*~б- ~ ~ о — о ~й=о('~' 2 '2/ отсюда легко следует искомая формула т!г (9) Здесь В и à — эйлеровы интегралы первого и второго рода. Нетрудно найти объем шара радиуса Р. Обозначая этот шар через Шя, имеем (10) Ниже для упрощения записи примем, что начало координат совмещено с точкой х, так что л, =х,=...=х =О. Нетрудно убедиться, что сферические координаты — ортогональные, т. е., что поверхности, взятые из различных семейств г«с„д,=с„..., б «=с (1 1) где с„с„..., с,— постоянные, пересекаются попарно под прямыми углами.
Уравнения (11) определяют следующие семейства поверхностей второго порядка: ~', у«с«=0, у(у1 — ~ у«=0, «=1 «г угу1,лг у» = О,, ) у)о-гуа-1 — ф~ = 0; у« = 1я сы «=з (15) чл ада!'а ! созба=у!/г, легко найдем у ( — '! = —. ,У,,дуау = га' и=! Вычислим остальные коэффициенты в сумме (14). Из формул (1) находим .У, у$ = га з!па О! з!па Оа... з(па От ь )') 2, и их ортогональность сразу вытекает из известной формуль> дифференциальной геометрии: направляющие косинусы нормали к поверхности Е (у„ уа, ..., у ) = О равны ! ду сох(т, у )=-+.—.—.
и —, агапу !дуа Из ортогональиости поверхностей (11) вытекают соотношения: — '- т=О; !=1, 2, ..., и! — 1; д — !д- - — — О; !Ф1~ а, !'=1, 2, Пусть и(у) — произвольная дифференцируемая функция. Найдем выражение величины' ,ига!( и !а в сферических координатах. Имеем !и ~и — ! Ъл ! ди'!а ди ди дг ~~ ди ддт ~ага!(и!'= т ! — -! ! — -= — — + р с ! !дуа/ ' дуи дг дуа а'а д$дуа' а=! 1=! Возведем это в квадрат и просуммируем. Используя соотношения (13), получаем йгао и ' ~й ~ .Е (д ) + ,'~ (дд-) аУ; (д ) ' (14) а$ т ка ! дг)а к! У» Имеем ут ( — -! = т .-=1.
Лалее, дифференцируя тождество а~; (!дуа ' а=!' а=! ! т !!и Обозначая ~ ~~ уа) =г', имеем !а=! соз О, =У~-. (15) Г Отсюда следует, что 6„1-..-»2, не зависит от у„..., у! м Из формулы (15) наидем, как и выше, «=! "" а=/ где введено обозначение д! = 1; д, = (з!и б, з(п Оа... з(п О,,)а, 1) 2. (16) !а Пусть Н вЂ” диаметр множества 6, т, е.
верхняя грань расстояний между точками этого множества. Очевидно, 6 лежит в шаре ~у-х)(Н, и по формуле (2) имеем Ь' н'~ Обозначая последшою постоянную через Ц", получаем (3) Таким образом, подынтегральная функция в (1) суммируема, н условие а) 3 1 выполнено. Зададим число е О. Если д — подмножество 6, то аналогично Можно выбрать число б)0, так чтобы при щ(б правая часть последнего неравенства была меньше, чем е; условие б) 3 1 также выполнено, и интеграл (1) сходится равномерно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
