А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1119923), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Воспользоваться тем, что м(з) — аналитическая функция в круге (~з! =. 1), что н(1) 1 и что м(з) разлагается в ряд Тейлора по степенлм г с неотрицательными коэффициентами. 4.74. Вычислить характеристическую функцию 3, +...+ $ . 4.75. Использовать формулу полного математического ожидания и свойства характеристических функций (производящих функций). 4 76. а). 6) Представить 0(з) в виде степеяного ряда по з.
в), д) Представить 0(з) а виде степенного ряда по н(з) и пспгльзовать результат задачи 4.75. г) Выразить й(з) через ю(з) и использовать результат задачи 4.76. 4.77. Вычислить производящие функция Мзз, Мзз', $ = 1... ° ... т, и заметить, что если выполняются условия задача, то Мз) = Мз г ... Мз '". 1 4.78. а) Использовать соотношениа ззет — ! (л, есле л делптсз аа Ь, Х ь (О в противном случае. з=о б) Заметить, что Д пря делении на й дает остаток т) Д вЂ” т ~ О(шоб Е)), п воспользоваться утверждением п. а). 4.79.
При ка;кдом 1 1, 2, ... ааменнть Я случайной величиной ~~ — остатком от деления Ц иа 8. Найти распределепне и характеристическую функцию ьг и восподьеоваться задачей 4.78. 4.80. Использовать независимость йь .... $ы 4.8$. Представить Меам в аиде интеграла и оцепить его снизу, польауясь полонгителгагостью н монотонностью показательной функция. 4.82. Использовать задачи 4.80 и 4.81. 4.83. Использовать задачи 4.80 и 4.81. 4.84. Применить формулу полного математического ожидания, 220 4.85. Воспользоваться неравенством ~ Мем( — Ме о ~:~ М ~ оддз — г " ~ Т[ с — с ]Р (]2]( Т) +2Р ([$]~Т). 4.86.
Представить |(1) в виде суммы действителькой и миимой частей. Воспользоваться условиями аэдачи и четкостью функции соз х. 4.87. 6) Покааать, что ро(х) — это плотность распределешдя суммы двух независимых случайных величин, одяа из которых имеет равпомерпое распределеиие на отрезке [О, 1/х], а другаи — равномерное распределение на отрезке [ — 1/а, О].
в) Использовать формулу обращения для преобрааоваипя Фурье (см, введение к гл. 4) и реаультат п. б). 4.88. Для докааательства тождества сравквть кодыитегральиое выражение с плотностью соответствующего иормальиого распределения. Таи как распределение ц симметрично, то Мт) О, если только М]д)]ч,. со. Для вычисления Оц = Мд)д продифферейцировать обе части интегрального тождества по Ь. 4.89, Покааать, что описанная в условии задачи функции 7(1) может быть представлена в виде А У (1) - ро+ Х р, шах [1 — ад] д ], О) д=д где й — число звеньев ломакой (графика функции 7(д) на полуоси (О, оо)), числа ао ..., аз, рь ..., р» положительны, ро>О и Ро-ь + Тч +... + рь 1.
Далае воспользоваться результатами вада ч 4.84 и 4.87. 4.90. рассмотреть последовательпость й(ц, д(1),, „характеристических функций, удовлетворяющих условиям задачи 4.89 и такпх, что 1пп у„(д) 7(д) для любого г, ]д] ( со. затем восо-к ~ пользоваться тесремой непрерывности для характеристических функций (см, введение и гл. 4). 4.91. а) Разложить д(д) в ряд Фурье и убедиться в том, что иозффициеиты этого разложепия определяют распредегеиие ворояткостей.
1+ Тд (21) б) Заметить, что 7 (д) 2, и полуппь разлолдекие )з(1) в ряд Фурье с помощью реву;дьтата и. а). 4.92. Испольаовать результат задачи 4.91. к» 4.93. Заметить, что функции ! (Ц Ме "д и у (1):. и($1+ *+1з) Мо д связаны соотпошевием )а(д) у(1) и что сс гласно задаче 4.85 фуикции у(г) и 7(г) непрерывны. 4.94. Покааать, что Мс" 1 1 тогда и только тогда, ког,, д Р(ойж (О, ~2я, ~4дд, ...)) 1. 4.95. 11оказать, что если $ имеет плотпость р(х), укаэзлную э условии задача, то 1 — 7 (1) 2 ] (1 — соэ )х) р(х) ах о(] с ) ) прп 1-+.О, о и поэтому 7'(0) = О.
Для оценки интеграла разбить его на два: от 0 до Т и от Т до со; использовать неравенства 1 — соек ( РИ2 н аскмптотическую формулу для р(х), х- оо. 4.96. Использовать равенство 7" (х) = !!ш э (7 (х — г) — 27 (х) + / (х + г)) г ог зсоэг,: — 1 слсду1сщее нз кею соотношение «0) Пш о (гй)' !2 4.97. Воспользоваться результатом вадачи 4.96 и оценкой (М)$()'«Мйэ. 4.93. Испольэовать ревультаты задач 4.66, 4.94, 4.97. 4.99. Найти начальные члены разложений указанных функпяй в ряды Тейлора, 4.!00.
а) При эычнслгвлн функции распределения Х~ перейти в интеграле к полярным координатам. б) Воспользоваться результатом п. а) к аадачей 4.93 для выгцэ чясленпя Ме 4.101, Найтн сначала характеристическую функдию гамма-распределения с параметром а 1, затем (пользуись задачей 4.93) с а 1/т, д = 1, 2...„затем с и = р)э (р, т = 1, 2, ...) и, наконец, с помощью теоремы непрерывности — дая произвольного а>О. 4Л02. Найти характеристическую функцию !г( „г(гог) +„,+мазо) 4.103. Найти характеристическую фувкцию распределения вектора (ьь ..., ь,). 4.104. Воспользоваться теоремой иа нурса линейной алгебры о приведении симметричной квадратичной формы к дпагоналы<ому виду с помощью ортогональной замены координат.
4Л05. Испольвуя формулу Тейлора для !п(1 — х), найти предел логарифма производнщей функпви $! "1+ „.. -(- 4~~! прн и - оо. 4Л06, Рассмотреть случайную величину ь, имеющую раэпомерпое распределение на отреаке (О, 1), и построить такие фупкдки )г(х), лр(х), х ги (О, 1), что случайная величина )р(Ь) распределена так нге, как $, ур(ь) — так же, как г), и при й О, 1, ... В((г( ) уг(1) = )г) = пцп (РВ 4), Р(П 4)) 4Л07. Тем же способом, что э задаче 4ЛОб,построить по незавпспмым случайным велвчинам ьо ..., Ь„имегощим равномерное распределение на (О, 1), случайные величины йь ..„3„к максимально соввадающие с ними леаазнсимые случайгные величины г)ь ..., ц„, имеюшве распредоленвя Пуассона с параметрами рь ...
... Р„соответственно. Далее воспользоваться соотношением ($г+" +Эо~ Чг+."+Чэ) ~ () (йгчьг!г)' н свойствами распределения Пуассона (см. также книгу (2)), 222 4.!08, Рассматривая пепсресекагощнеся события вида А. ... А Ау ...А, гДс (Уь...,гг» П(Уь ..У«г) = (1,...,Ут» и А — событие, дополнительное к А, покаазть, что уг уа = ч', с,"Р(УУ,», а =.о, 1, ...
е=г Подставить зти выражения в правую часть равенства, указанного в условна задачи, з привести подобные члены, изменяя порядок суммирования. 4.109. Разложить производящую функпню Чг(г) = Мгг по фор. муле Тезлора (с остаточным членом з форме Лагранжа) в точке г = 1 н заметить, что гу(О) = Р(8 = 0», гр'гу(1) упг и гуугу(г) ) 0 длялюбыхгщ(0,1) и4=0,1,2,... 4Л10. Заметить, что если уу(г) =*Мгг, то Ругу(г) МЗу"1гг-г, т. е.
гр'"'(0) = п)Р(З = и». Далее рассуждать так:ке, как и задаче 4.109. 4Л11. Если 9(г) = Мгг, то и г Далев рассуждения аналогичны проведенным н задачах 4Л09 и 4.110. Равенство уа 1 Ф (г) ! туз+1) (1) гуса 1 г ! г Уг+ 1 установить, используя формулы Лейбнапа и Тейлора.
4.112, Воспользоваться неравенством из задачи 4.110. 4318. Применить утверждение задачи 4.112, выбрав в качестве З случайную величину, имеющую распределавие Пуассона о па »гаметухгм уг. 4Л14. Представать случайную величину рг(п, У, г) в виде суммы инпикаторов рг(н, уу,е)-ф>+21'>+...+211" и воспользоваться формулой задача 8,184 дли фанториальньгх ио. ментов. ИсслеДовать фУнкцию (г(п) МРг(пг гУ, г), РассматРиааи отношение (г(н+ 1»ууг(п).
4.115. Использовать задачу 4Л08. 4.116. Вывести из результатов рещения вадачи 4.114, чте пра указанном предельном переходе выполняется соотношеи«е щ1п(п, уу — и» о(уу). Далее использовать явные формулы для факториальных моментов угг(п, ДУ, е) и задачу 4г118. угЛ(г.
Представить дг(уЬ ду) в виде рг(п, уу) Хг+ ° .+Х«, где Хг = 1, если у-н игейка содержит ровно г частил, и уг~ 0 в протнваом случае. Вычаснать факториальные моменты р,(в, Ут), используя результат задача 8,184, а применить утверждение вадачи 4.118. 4Л18. Так как (р,(п, ду) + угг+г(и, ду) +.„. 0) = (тг(угу) ~ и» щ (р,(п, ду) О), то при условиях Р(р (л, дг)=91-~.С, Р( ~, ра(л, гу)=О -~1 (1) (ь г+г выполняется соотношение Р(т,(У) ) в) — С. Значение С н евязь между аначениями л и М, прн которой выполняются условия (1), найти с помощью аадачи 4.113.
4.119, Если РГЮ (о, У) — число строк, в которые не попало нп одной частицы, а р(з1 [л, У) — число таких же столбцов, то случайные величвны р(Ю\и, Х) и р~~> (л, )у) независимы и вх предельные распределения можно найти с помощью результата задачи 4.117, а к (л, Х) = РГЫ (л„у) р(зг(л, Ж]. 4.121.
Применить центральную предельную теорему. 4Л22. При любом 4 = 1, 2, ... зьУе ( -ьте т)о. 2 ь с 'го Испольаовать соотнощение )пп ~1+ — „) е'. в-в~ ' б) Случайная величина !п т) является нормированной суммой независимых елагаемых. 4.123. а) Воспользоваться аадачей 4Л22. б) Заметить, что 1 1 1 1 Р гд < 1г - У вЂ” Са = — — — Сею .
гово г л~ 21еее геев 2 2 2геее 1000 ь-о 4Л24. См. указания н аадаче 4.123. 4Л25. Применить закон больщях чиеел п центральную предельную теорему. 4Л26. Так как сфера 5" ' переходит в себя прн любой перенумерадии координат и при отражениях относительно ноордикатиых гнперплоскостей, то величины йь ..., $ одппаково распределены и при любых 1 оь 1 вектор (3о аг) ймеет такое гкс распределение, как (йг, — йг). Для вычисления М$~ нужно использовать еще аддитиввоеть математического ожидании и уравнение сферы. 4Л27, Из сферической симметричности распределения вектора й следует, что условное распределение вектора е =- $/)$) ори уе. ловил р = г является равномерным па единичной сфере, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
