А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1119923), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Воспользоваться результатом аадачи 6Л, цептралышй пре- дельной теоремой и аадачей 433. 6Л9. Оценки А," п Аз зависят от общей оценки зз и, следо- еательио, нельвя воспальзоватъся решением задачи 6.3. Из условия иесмезценности МА» А получим сз+ сз 1.
Отолэда А* а+ + Иззу+ (1 — с1)эз) + узз. Найти ОА" и подобрать с~ так, чтобы дисперсия была мивимзльной. » 6.22. б) В формуле для А„положить уз уз+бы, хз х, + + бы, Использовать задачу 4,33. 6.26, См. вадачу ЗЛ15. 6.28, Воспользоваться формулами х' х"'+ х, х' = хыэ+ ЗхЗз~+ х, х' = хоп + бэпп+ ух~аз+ х (хыз = х(х — 1) ... (х — 5+ 1)) п решением задачи 3.116. 629, Испольэовать результаты задач 3.89, 3.90. 6ЛО. Использовать результаты задач 3.64, 3.65. 6.3!.
Использовать результаты задач 6.29, 6.30. 6.32, Использовать реэулшат задачи 6 30. 6,33. Использовать бюрмулу(3.9) и формулу з» 6.39. Испольаовать квавтили и нормального распределения: 1 зР(иа) = ш 6.40, Воспользоваться решеввем задач 3.116, 3.121 и формулой ( ) = ( 4 ) + ( — з) '(О ) (О ~ 1, 4 ( 11), й = О, 1, ..., Ж вЂ” 1. 6А1. Воспольвоваться решением задачи о.36. 6А2.
Испольаовать представление т1з(з) в виде тм(з) = цц(1) +...+ ц~з(з), гпе з)п(з) = 1, если в момент з был переход иэ 1 в 2 (т. е, й(з) = =- 1 и «(з+ 1) 2), 'и цм(з) = О в вротввпом случае. Воспользо- ваться задачей 5.82. Часть 1Н. РЕШЕНИЯ Глава 1 113. Прп Аг ей Аг собвгтпл [Х, ..., Х [ = Ага [Х... Х„[ А по порасекаются. По формуле (1Л2) и ([Х, ..., Ха[ еп ле) ~~'[ Р ([Х',, „, Х [ = А.). е 1 То же верно п длл [Х„..., Ха[. Поэтому Р([х,.„х [ы~)-Р([х, ...,х [~м) = ~ (Р ([Л"„,. „Х„"[ = А,) — Р ([Х'„..., Х', [ = Аг)). (1[ г-г Длп любого множества Ао состояпгего лз б зломелтов, в! 11 Р([Х, ..., Х,[ = Аг) = — „, Р ([Х, .„Х,[ = А) = —, Так пап Лпю ~ ~Ле прп й р» 1, то Ла — Фа( 0 "Р([Х, ...,Х [ А) — Р([Х „...,Х,[=А)«. Г( (21 Далее, /а — 1 'г г(2 л(а = л' (лг — 1) ... (гу — й -[- 1) = ~ П (л' — П (л' — а+1+1[) ~=о -ГП[[т-'=,.
'['-[~+- ф"*Эпи-Е-Еи) > * [г е ~ — 1РЙ а / Е('в — 111 =Л'~1 — Д ) >Ла (11 —:Р (3> Иа (1[, (2) и (3) и того, что Мг=С~„следует неравенство оп; Р([х;... „х",[ ю) — Р([х,'... „х',[ м) и... Гг (й — 1) ~ Ми 2Л,,,П ~ —,Са. 230 Так как общее число упорядочеппых троек попарно различпых карточек есть (2в+ 1)2((2м+ 1)2 — Ц((2м+ 1)2 — 2)- 4м(л+ 1) ((4м(м+ 1))2 — 1)> то искомая вероятиость равпа и (и+ 1) (4м (а+ 1)) — 1 1.40.
Число способов выбора й горизоптелей, занятых й ладьями, равно числу способов выбора й вертикалей и раева Са. На йз клетках, по которым пересекаются выбранные вертикали и горизонтали, й клеток для расстеиовки ладой можно выбрать й! способамгь Поэтому число расположепий й ладой, не угрожающии друг другу, равио (са)2 й! (8!"!)~/й!. значит, (Сз)2 й! 7 (612-2!)3 Са 9 62!" »4 7 1 14 1 и Р = — > —, Р = — < — Р =0,0493566...>0,01, Р 2 9 2' з 31 2' 0,0075289 ...
< 0,01. 1А3. Пусть поиск Рго пряпика Повчик начинает с кармана е номером м», Тогда число удачиых вариантов начал поиска первых й правилов равяо числу таких последовательностей аь .. „вз, составлениых из симвочов 1, 2, ..., 10, что каждый символ встречается не более чем дважды. Число таких последовательностей, в ио тарих т символов встречается двамгды, а й — 2е! символов — по зт Зю (2-2»! р, а аэу, равпо Сз — 10! ~!. Общее число вариантов качал поиска й пряииков равно 102, Значит, искомая вероятность равна (Мз! У й(2 )10!'- ! 10" ' 2юю! 2» З 1Л7. Пусть Х(А) = 1, если событие А выполняется, н Х(А) 0 в противном случае.
Тогда Б = Р (сг < ))) + Р Ф < 7) + Р (Т < »2) = 2 ~ ( (! 22) (!2 гз) (!э !!)) 1' 2' но прв любых (аг, ьв с!)1 1 и л1обых гд, г, 1 еи (1, 2, 3) Х(а! <Ь1)+Х(Ь! <»!)! Х(»! <а!)<~2. з Значат, Я < 2 3 2 = 2. Если, например, щах а, < гп(п Ь! щах Ь! < ю!п»2, гс!сз ' гссаз ' 1»!«з ' 1»!сз ' то Я = 2. 1.58. Цикл (1> = 1, г>," /ь) можно выбрать (и — 1)ы '> способами, а остальные а — й элементов можно переставлять (к — й]! способами. Поатоыу число кодстановок а >и Б с а> й равно (а — 1)гь '>(и — й)! ~ (л — 1)! и Р(л> й) (и — 1)!/и! 1/а. 1,бр.
Число циклов (г> = 1, >ь ..., /ь) длины й, содержащих элементы 1 и 2, равно С",(в — 2)!" т!. а общее число подстановок, содержащих 1 и 2 в одном цикле, есть Х '- С' >и — 2)(ь з) (а й)! = (и — 2)! = и, 2" 2' т. е. 1 я 2 содержатся в одном цикле с вероятностью 1/2. 1.72. Так как по условию тол>пипа монеты предполагается равной О, то вероятность того, что монета после падения встанет на ребро, то>не равна О. Будем считать, что монета ложится героом вверх, если в момент падения конец вектора нормали оказывается и Рпг.
8 выше его начала, т. е. центра монеты. Па ркс. 8, а изображено сечение вертикальной плоскостью и, проходящей через центр О монеты и ось ОЬ', вокруг которой вращается монета АВ; отрезки ОЛ>> ОЛ>т — ото поло>кепки вектора пормали О/у в момент его прохождепия через плоскость л, прямая ОХ вЂ” это липки пересечения и с горпзоптальпоб плоскостью "(. Если 0 ~ а, то весь кояус, по которому скользит вектор ОЛ>, расположен вылив плоскости 1,и тогда Р[п, 0) 1. Если 0 » — а, то конус расположен ниже плоскости у, и Р(и, О) = О, Если 0 = 0 » ц » и/2 влп а и/2 ) (0), то плоскость у делит окружность, которую описывает конец,::>> вектора ОЛ', па дае равные части, и поэтому р(п, 0) 1/2.
В общем случае О» )О! «» а» и/2, кзобрюкевпои па рис. 8, а, рассмотрим окружность, которую описывает конец Л' вектора нормали ОЛ' (рве, 8, 6), Исномая аероагпость р(а, О) равна отношению длины дуги й/>У>М' к длине всеп окру>ьвостп. Из рпс. 8, а находим: О>Л> О>Л>> О>й/ ОО,!На, О>Ь = ОО> 180; 180 позтому (см, рис. 8, б) угол МО>У> разок а>ссоь ~— — >. р (и, О) = 1 1~0 саа' = 1 — — агссоз —. 240 1.М. Граница ДЛВС пересекает ровно ю окружностей, если А находится между Яз з и Вз +< (при вз 0 — внутри Яз, при 2ю — 1 з я ~ 2<о+ 1 — между В и Я„<), и поатому 1/о, т=О, 1 8т/и~, 1 < ез < [(я — 1)/2[, за 3 (2о — 1)/я, т = о/2, я четное, О, зз > я/2.
Глава 2 2.21. Если о = 2, то пз условий задачи Р(А<) = р<, Р(А<) Рз, Р(А<А<) з р<рз следует независимость А< н Аз, При п = 3 уже можно привести пример совоиупностн аевиси- ыьтх событий, удовлетворяющих условию задачи: Р(А<А<Аз) = Р(А<А<А«) = 1/8, Р(А<А<Аз) Р(А<А<А<) = 1/8 — е, Р(А<А<Аз) Р(А<А<А<) = 1/8+ е, Р(Л<А<А<) 1/8+2е, Р(А<А<Лз»' 1/8 — 2е, где О ( е я.1/18. В этом случае Р(А<) 1/2; «1, 2, 3, Р(А<4,) = 1/4, Р(А<А<Аз) = 1/8, но Р(А<Аз) 1/4 — е чв Р(А<)Р(Аз).
2.22. Пусть события Аз, ..., Аз удовлетварюот условвям зада- чи. Оценим снизу число элементов множества Я Для любого ива бора(е<...„ез),е,=Онлк1(«1,2,...,4»< Р~[)А«'~>0, «< ь где А<о« = -4«, А««з» = А, т. е. П А( «) =;в Я. Так нак при «з (е, ..., е„) „ь(е, ..., е„) события П А( «) и П А( «» неперо<=< сгкаются, и число разлпчных наборов /е, ...,е ) равно 2е, то <' '''' а Ь(1обз и. Экстремальным примером является И ((е, ..., е„); е;= 0 нлн 1) с Р [(е, ..., ез)) = а н А,. = (е« вЂ” — 0), « = 1...
„ /з. 2.23. Пусть «» = (юь ..., ю„), Р(ю«) = р« ~ 0 (/ = 1, ..., я), Р,+...+р =1. Собызч<яз< А<~«», ОчЬА<чьй (1=1, ..., Ь) сопоставим векторы в Вз о< (2«)<Р<,.' Х. Урз), «=1... Ь, где 20 = 1, если «з«<ы Аь и 20 = 0 в противном случае, и поло- жим ао = ЦР<, " »р,) щ В". Тогда прн «, / 1, . „ /з (ао, ао) = 1, (аз, и<) = Р(А<), (а<, а«). Р(А<А<». Векторы Ь< = а< — Р[А<)ао (< = 1, ..., Ь) удовлетворяю< следующим соотношенавм: (Ь<, ао) (о<, ао) — Р(А<) (ао, ао) = О (« = 1, ..., Ь), (1» (Ь», Ьз) = (а<, а<) — Р(А«)(а<, ао) — Р(А<) (аз, а<) + + Р(4,)Р(А«) (ао, ао» = Р(А<Л«) — Р(А<)Р(Л«) («,/=1, ..., Ь).
(2) 13 а. м. згбзоз е хр. 241 Равенства (1) озиачаюд что векторы Ьь ..„Ьо лежат в (в — 1) мерной гиперплоскоств (х гн В": (х, ао) ю О). В силу равенств го) собгзтия Ао .. „Ао попарно неаазисимы тогда и только тогда, кот до векторы Ьо ..., Ьо попарно ортогональны. Следовательно, Ь иб о в — 1. Если п ) 4, то првмер и — 1 попарно независимых событий дает следующая конструкция; 41 (юь ..., ю ), и — 3 1 Р (ю.) =.- () = 1, ..., и — 1), Р (юо1 = — о, (г.
— 2)о ' ' ' (в 2)ю Аг -— - (юо, ю„), 1 = 1, ..., и — 1. 2.61. а) Согласно теореме Муавра — Лапласа 1!щ Р ~ $о — ~ ! К вЂ” 1 = 2Ф (1) = 0,68260 „, !1тР(~5„— 2 ~~> — ") =-.1 — 2Ф (1) =08(280., 2 о 2~2~о ртн предельные значения и являются приближениями для иско.
мых вероятностей. 6) Прп р = д = 1г2 из формулы (2.11) находим Р(» =-Ьгг= СЬ2, Ь=0,1 ... и, ( о ) е Отсюда и иа равенств Р(!$гюо — 50! Ы.;5) Р(45: фгоо-.=55), Р(! Еим — 50);в о) ~ Р(51ю «~ 45) + Р(бум ~ 55) = = 1 — Р(46 ~ ~йке о- 54) находим оо г '., С1о-о~ а-ы а-г гсо газ~1+2 1(1+ 52(1+ 6(1+ 4(1+5 )))))= С вЂ” 9 15665 гао (2) 21оо Используя уточненную форогулу Стирлпнга (см, сгр, 10], на- ходим где 0 ( Оь Ог ~ 1. Поэтому при некоторых Оо )0~) ( 1, 1 = 3, 4, 5, 2гее 5 ),г2п [ 400 1,8 10ь) 1»~ 1 О О 1 0,9975+ О 10 ° Пэ (2) и (3» следует, что Р(45~3 55) = 0,92374+О ° 10 а, (О ( <1. Аналогично находим, что Р(~йм,— 50) З 5) =0,36320+0,.10-, )0,(<1.
Отличке звачекий вероятностей, полученных в п, а», от истинных значении объясняется двумя причанаме: заменой допредельиых значений вероятностей пргдеяьпыми, а также тем, что события (~(ею — 50( «~ 5) и (($ме — 50( ) 5) пересекатотся. 2.62. а) То же, что в предыдущей аадаче. б) Аналогично решению задачи 2.61 получаем ((4ые 64(<4 )'2) =Р(59еь'жв(69) =- =-' (1 + — (1 .-„ ~1 + — (1 + †, ( + †,„ )))))=9,50563 = 0,66906 + О. 10 ь, ) 0 ) < 1, и так как 4)'2 — число ие целое, то Р( ~ )ав — 64( > 4) 2) = = 1 — Р(($пв — 64( «4~2) = 0,33094+ 8 10 е, (8( г 1. Гаева 3 3.64.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
