А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1119923), страница 46
Текст из файла (страница 46)
В силу задач БЛО и оЛо вектор ($ (з), $ (з+ /г)) имеет двумериое вормальвое распределевие о пулевым вектором мазепа тичсскит ожнданий и матрипей иовариапий хт" 2 1 (х(х+Ь))" +1 — 1 жт хю х)(х+ Ь)) ) х — 1 х(х+ Ь) х) (в+Ь)1 (х-(.Ь)ы/ (х(х+Ь))"+' — 1 (а+Ь)'~+'-1 х(х+Ь) — 1 (а+Ь)'-1 (1) (если х, х+ Ь или х(х+ Ь) равно 1, то аначеиии дробей в правой части определяются по непрерывности), Согласно еадаче 6.266 сот ($„(х), Ь„(х+ Ь) Р(с (х) $ (х» Ь).сО) — агса1п (г) )/Ой.( ) О ( + Ь)' Рассматривая равность между 1 в квадратном аргументе агсе1пт (сот (Ьо(х), В„(х+ Ь))) ((» Ь))е+ 1) ( в 1)(( +Ь>с 1) 1 (х ( + Ь) - 1)в (все+а - 1) ((, + Ь) т "от -1) ' приведем ее к обитому виаменателю и преобравуем числителю (хт"+е-1)((х+Ь)'"+а — 1)( ( +Ь) — 1>'- — И*(.
+Ь))"" — 1)'(*'-1) (( + Ь)' — 1>- - ((( (х+ Ь))о+1 1)е (+1 (в+Ь).+г)т( (,(, + Ь) — ((х (х+ Ь))"+' — 1)' ((х (х+ Ь> — 1>' — (х- (*+ Ь))') -Ьт((х(»-Ь))'"+1 — 1)'-(х"+1-(х+Ь>"+')'( (х+Ь)-1)в/ о / и Ьв1 ~ Ь' (х(х+ Ь) — 1)' ~ ~Ч'„(х(х+ Ь))')' — ~ ,"~, ха (х+ Ь)" ") ~в Еао а е Отсюда и из асимптотической формула агса1п У(-7 6 -р(1+о(1)), у т О, получаем прн )х) чь1~ 3'ж — Р (В (х) Ве (х + Ь) 'О О) Г» / е '(т ~т/е 1 )(ла ~ч~~ (,( +Ь)а)в ~ч),' хь( +Ь)х-а и а-ье Ь Е е М ( те+а 1)(( +))те+с 1)-г/в /('„з~«-з н)лз «е — 1) К ~ ав — 1 / )3 -.~ -*ч) '-1""'" '.-"-) Б:лн )л) = 1„то матркпа коварнацкй (1) пркнпмает анд „+, (1+ Ь)е Ег — 1 Ь 1 -, Ь)е+а — 1 Ь (1 ( Ь)ееез 2Ь + Ьз и прн Ь-еО (соч (Ь„(1), 2„(1 -- Ь)))т 04„(1) О,„(1+ Ь) 1 ((1+ Ь)" + — 1) Ь (2+ Ь) ((1 -~- Ь~~ьт — 1) (2+ Ь) Ь'(а+1)((1+Ь) -"-1) "' Ь(л-)-1)((1-)-Ь).е+1)" ~1 п Ь ) (и — 1) Ьз ье(Ьз))(2-';Ь) 2 6 2+(к+1]Ь+, 'Ь +о(Ь) н(а+1) з 1 ((е(а+1) л(л — 1) а ))з+ ( е)( н(а+2) Ьз 1+ (1) ь Остается воспользоваться формулами (2) н (3), 1 Ь(онотонная скодимогть функций д„(л) к у (г) =- к)1 — з нрп л 1 со следует из того, что последовательность фупкцнп 1 1 — кзе«'з 1 — з ( 3+з пг .и т г е) и+1 ле 1 гз о+1 прч е ) еэ монотонно стремптся к дле кап«доге х, ) х) ~ 1.
о?4. а) Согласно лемме Корела — Каптеллн (см. задачу 4.16) достаточно показать, что 2 р — О)( с=1 При р ~ д имеем 4рт ( 1, а отсюда следует (1). Но Р(р„= О) 0 прп:кобам нечетном и, а еслн п = 2Ь, то по формуле Стирлпнга йря Ь оэ У4па (241 З а (44ре) б) Хотя, соглегво (2), ври р = С = П2 1 Р (р ь -О) - = — (" ) зь )г яй бй п, зва>ают, ~~~ Р(р„=0) =о», мы не можем применить лемму »=г Бореля — Кантелли, поскольку события (р» = О), и = 1, 2...„не являз>тгя независимыми.
Введем случайные величины т> п>)п(и)1: р =О), т>+> = >огп (в ) тз. р = О), й = 1, 2. (в случае, если мяоягество, стоящее под знаком ш1п, пусто, следует положить обп равным ао). >)з независимости я одинаковой рг,определенности $>, $в ... следует, что случайные величины т>»> — гь, й 1, 2, ..., независимы, ве зависвт от т> и распределены так же, как т,, Поэтому Р(т >4) = Р(тз(о») .= ь — 1 =Р(, «-)П Р(;+,— 1~-) =(Р( г<"))' > —.-1 и, согласно аадаче 3,132, >> Мт "> (Р(т (о>))з= А=! ' —" ("~") С другой стороны, если Х 1 при р» = 0 и 2 0 в осталь ных случаях> то т = у, + т>+... и в силу (3) Мт- ~ МХ»- ~л Р(раз=О)-о~.
»=.1 а-г (5) > г 1)нз Р(р„(0, ...,О))»»(Р(р„О))' ( — ) > а- зг Р(р» (О, ..., 0)) О, если л печатно. Значит, ~', Р(р„-(О, ...,О))»- в=т при з»3, и в силу леммы Бореля — Кантелли Р(ч ( о») = 1 >три з ) 3. В случае з 2, повторяя рагсуждопяя из и. б) вадачи 5,24>, находим, что Ми = »», и если т> ш!в (и: р (О, .„, 0)), то 207 1)з (5) и (6) следует, что Р(т>».. аа) = 1, а тогда в силу (4) и Р(ч» й) = 1 при лгобом й ( ао, т. е. Р(т = »») = 1.
5.25. Заметим, что компоненты р,, >, ..., р»,, вектора р» являются независимымв реализациями случайных величин, рассвет рквавшихся в и. б) задачи 5.24, и поэтому при з 2а йв ~~~~ Р (т„= ау М (М (р„) рт„..., ра) ! т„ь), А 1 Согласие еадаче 6.29 и определению т М(М(ре)РЬ ..„РЭ))т 6) ~ М(рэ)ъ а) ) 66 поэтому Мр„~ ~ р(т„й) б ь-т 6)э(те<а) = б)э(тах(р, ..., Р,Д~6) ° Ото неравенство эквивалентно приведенному в условии аадачи. 6,88.
Обовиачим череа е~ и ее единичные векторы иа осах коор динат и положим $» = ь +~ — ь . Тогда ь =* $э + $~ + ... + $ т. е. мь„ м$е + ... + мб«-ь н последовательность 3ц, бь обравует цепь Маркова с множеством состояний (е„ ет, сь — ее, е4 -аД, матрицей переходных веронтностей 1)3 113 МЗ 1/3 113 О ~ 113 О 113 О 1/3 113 О 1/д 1 113/ 3 '~ — ~) ° 1,3 О О О 1 1 1 1 э 1 и начальным состоянием 3 е . гйтобы вычислить мбь, заметим.
что при начальном условий 3 е о (Р(бь *= вг))е = (1, О, О, О) Рь. Так как Хб 01 1, то ь-х (У-а)Ь Ч~ (-1)жС,",1Ь-"+1 1)" а', п~ о Фт= 1 Р, . дпачит, Р(т~ с оо) = 1 и Р(т) Ь) г 1 — Рттг~~) е (Р(т~ ~ ОЭ))а 1 Крв ЛЮООМ Ь оэ, т. Е. Р(т = оэ) 1.
630. Положим л+1, если Мах (Р, ..., Рэ)«= б, гп1о() ~1~ р) ь 6) в противном случае. Тогда в силу иеотрнцательности р» е.~.! Мр ~ Р(, =6)М(р ) =6)> а 1 далее У< 4< 1< пь С пуп Нечетком <» в Г ' ' '~ 16 1 О О 6" =й= б б 1 б при четном е.
о о о ь-1 Учитывая равенство ч ', ( — 1) С~~4ь = (4 — 1)"- ( — 1)", нахое дпм: Р— 1 — ( — 1) А 1 ь 1 — 4»« т.е. прис =в 3 )' 1 2 — (- 1)" )ьь т) 4 + 4.3а ' (ьь е< 4' 1 1 2 — (-1)" р ($е = се) = 4 < Р (ьь = 'т) «« 4 с Отсюда следует, что Мс„= — а« в 3 е 1 Мьа««а ~' — = е '= — е ~1 — — „~. 1 — 3".
3 3 1 3 «< о Главе 6 6.4. Случайные векторы(а<, в<), 1 1, ..., 1, независимы, поскольку являются функциямн от независимых векторов (' ° '"'; ам ° ' * а»«<), » 1... „1, соответственно. Кроа<а тото, при условиях вадачи 6.4 для любого 1 величины а< в в» иееависвмы (см. введение и гл. 6), т. е. 3» н с» независимы прп каждом < 1... 1. Тан как Му» а, с<+...+с< 1, то 1 < < < мт=-~ мса<-'~мс,ма, а т; мс<=«м ~ч'„с<=«, »-1 » 1 <=< 6.14. а) Функция правдоподобия, соответству<ощая выборке ао ° ° «а«, имеет вид Т2коа )"~в ~ 2оа „ Приравнивая мул<о производную ее логарифма по а, получим лн. пейиое уравнение относительно неизвестного параметра а О= — '= — у (а — а) = (а-а), д)в Е. а да от~~< " т «ь 1 о« 269 Ь ((а», Ь„с,)",; а, Ь, с) Чтобы найти точку максимума )п б при условии а+ Ь вЂ” с = О, испольауем згетод ягопределепеык мяожитеаей Лагранжа, т.
е. пркраавяем нулю производные фупкцив )и Ь вЂ” (а+ Ь вЂ” с))с по а, Ь, с в )с. Получим систему пикейных ураанеяий относнтсльпо а, Ь, с и Ьп - а) = )., т (Ь» - Ь) = )., сс с ь»=с чч (и„ » 1 У (с» — с) = — Х, а+Ь вЂ” с=О, 2 с Ь вЂ” Ь=Лф с — с= — йаз, а+Ь вЂ” с=-О. а — а» йа 2 а Вычитая пз суммы первых двух уравнений третье, находим а+ Ь вЂ” с = А (ае + ать+ ас), т. е, Х = )а+ 5 — Ь))ос, где о = оз + а',.
+ аз, сжэчсвие )с в уравнгппя сиотемы ($), получаем ьсаксимальвого правдоподобия Подставляя это исковые оцепкп аз а~с = а — а (а + Ь вЂ” с), о" Ьее = Ь-Ф 6+»-.). о 2 о, с = с — с (а + Ь вЂ” с). о 2ТО едппствеявнм ргпгеяягм которого является всяомая одгвке максимального правдоподобия ае а Очевидно, Ма" = а,0аа = п~с/я.
Рассуждения для выборов чае) е )сь) отличаются ляжь обозвачевепавь б) Функции правдоподобия, соответстпуюгцая полкой выборке (а», ь», с»)» , имеет епд Псвтомв Деаьь а. АЬАьа Ь, ДС аа с, Оаьа =' — ' 1 — — ' + — "(оь+о!) = — ' О» оь 1 ~~ 1 ~~ь ( в+ е) оь 1 оь "-'-'((-'-')' '-': )--"(-% 6.$6.
а) Фувнцвя правдоподобия ь(»О1, „., Уьоььа, а ) имеет епд ы) (пн ) 3' в А=ь 2в ьу 1 — р~~) 1 — РА -'~.Ж"- На"-".Жчы- >1[. Приравнивая нулю провзводвые 1п б по а в а, получим сисвему урвввовий для оцевон максимального правдоподобия („(А1 ь) + ( 1А1 а)11 6 А 11 ра в Х вЂ” '[("'-") .-(""'-. и=' А 1 рь Отсюда, полоьняв уа=ф1-рь), Г,- ~ у„Г,- ~ рву„ А=1 А ь находим а„Г а Ги ~уа(» р,у ), А 1 в а à — а Г ~ уа(у)аьрь »1А1), А-х Ревьевие втой системы определяется формулами а )~~ уь [(Г р Гх) »1ььь+(à — рАГ„) у)~~1, А=1 а = — ~~ уь[(Г р~ 1' ) »1ь 1+ (Гхрь — Ге) Ув' [, Ь-1 где о Г' — Г'. 271 б) Оценкой максимального правдоподобия а1» параметра «Ь по выборке, образованной лерзымк координатами, яеляется обычков среднее арнфметическое (см.
задачу 6,15, б); е «» 1 ты ро .ьм У1 1-1 Отметим, что а я а1 совнадают лишь в случае одинакоао распрвделенкыху<1>, ...,у1«1, Еслп рзеар, то à — р„à — О, à — рАГ =и, Ь = и в, следовательно, а, =а . Ооратно если 2 » *» а е, то à — рАГ О, а=1, ..., и, и е. раеер не аависит от й. в) Используя свойство линейности математического о1киданяя, находим М«1= — ~~ уа ИГ~ рАГ1) 1+(Гт. рАГ~)«) ° «1 А=1 Отсзода н яз равенств Ч',т (à — рГ) Ге — Г б,. ~7(à — рГ) б, получим Мат а, Так как лекторы (у~~а>, уе1АА), 5 ~ 1...„л, независимы, то *,"- — ':~ уа [(à —,Г) 1А'+(Г -рАГ.) у~А'1.
1=1 Отсюда, учитывая, что Ру~а~ = Ру1АА 1, сот(у)~о, у1~м) = рА, 1 а получим Р)(г,— рАГ,) у<А>+(Г,— р„г,) у1А~~- = ("е — ра"1) + ('1- ра",) + 'ра('е -рАГ1) (Г1- рАГ«)- 8начнт, = (1 — р,",) (Гз+ Г1 — 2Г Г р„), à — Г Ге Ь=1 Для оценкн аь непосредственно находпм «» »» Ми =а, Ра 272 Г, о ро А ' ' и г) Для доказательства неравенства умиожим обе его части на яо; яГ я, Ге — Ге лли Гт ~ Г (Ä— я), а затем воспользуемся определенняьш величин Го и Г: Остается ааметить, что в пекой части последнего нераеенства стоит кеадрат скалярного проивведення векторов а в правой части — проиааедевие квадратов их /)лин. 6.2).
Ие условия несмептениости следует, что сом 1 — с~ — сь ДиффеРеициРУЯ Ре = се+се+ (1 — с — с )о+ 2с сеР ио с~ и си получим для определении сь со систему уравнений 2с~+ (1+ р)со 1, (1+ р)с~+2со= 1. (1) а) Вмчитаи иа первого ураанвния второе, получим (1 — Р) с~— (1 — р) сг *О, или со сь Следовательно, 1+р 1+о с с = —, с,= — ирг= —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
