А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1119923), страница 48
Текст из файла (страница 48)
1.32, 1), если Л/=М, + 11 +... +5(п, т = т, +.„+.„, "т!>О: 2) '+ Х(-')' Х е 1 т л а 1 < - . <" з ч и ! 33 1/2, 1/3 (д34 СтСи — т /Сп Ста т 1 )о-т $2546 $ 2, ..., л. $.35. †. !.36. — — = 0,9508147... ' /с + $' ' 13195 1.37. О, если числа мужчин и женшин не равны друг [[Ругу[ —, если число гостей каждого пола равно л.
Сч 2911 7 (6[а- !)2 1.38. — —. 0,00228986... 1.39. 7/9. 1.40. — „; при ' 1271256 9 62!а — а[ ' 20[" ! й ~~ 3; лри а ) 6. !.41. (! — 1)/20. $.42. Р„=, Р— $, Ре 20" О,ой, Р = 0,855, Р, .= 0,72675, Р, = 0,53Ы, Р„ = 0,43605. 1.43. Р, = 1 4 й[ет!10[а [а1 ,Р =1, Р =$, Р =099, 1 ос тл 2т т=е т. Р = 0,963, Р = 0,0[44, Ре — — 0,8424. 1.14. !/190. 1.45. !/100. 1.46.
а) 1/3, 1/3, 1/3; 5) 2/3, 2/3, 0; в) 5/9, 5/9, 5/9, 1.47. ($, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9); 2. 1.48. а) 5/!2, 5/12, 5/!2, 5/!2," б) 2/3, 2/3, 2/3, 2/3, 1 49. (1, 2, 3, 4, 5, [:.); (7, 8, 9, 10, 11, 12), . (13, 14, $5, 16, 17, 18)., (19, 20, 21, 22, 23, 24); 3. 1,50. 1! 1; 2) '"'+~! 3) / — -Сел+ Сел . + СУ~+ )Х )с — ! 4) 1 если»,в с/-(-1! О, если в 0 или л = 1! К! /рл+1 /р(»! 1 — если 2~ » ~ /Р. М» 1.М, ~~)~ С~~ ( — 1)~~1 — )(/~ . 1.52. 1! 1 — -~~т — ~ 2) -)» — -~- 1 е С ' С л+»-т к+» 1 (/р „ (.
1)1») »1./т! (у » + 2)1»/е! 1.53. а) 1»! 1 б) /о[»~ , если»четио, и О, если» иечетио; в) — „1 ( — ), если К четко, » 1.54. а),„"5' (Д/- 4+ 1)("1 2/(»-ь)у ь е (»/з) б) У (2й)(ь! (У 24+2)(ь! Ф» ьа)! РУ)~") ь в) — те 2 ~~.~ /!/ , если Д/ четное) т а//рнь! („ь) (2Д)т") „""„ если дт иечетное. 1.55, а)» "; б) (» 1)" "СЬ» "; в)» 1! в)» 1.56. а) 1/»2 б) О, асти среди /...„ /д есть одинаковые! 2/в(ь), если все /, „., /а Равличны! в) 1/щ г) 2/»И) д! 1/», 1 1 !в57т Р» - ;~, (- 1)~+~ р.
-» 1 — †, [в-м ас). 1 59 1/2 ь т 1 т.х а <вт» — ат 1 40~ а) — р и )аоь! б) — ) в) »! Ц а» б(л — 1) 1.41 Р(т) ~х) шак(О, 2х — 1) (О~а~1), р(т),~х) шш(2х, 1) (О~х~(). 1,42. а) шш(х, 1) (а~О)! б) 4»(1-х) (О~ха 1/2), 1(х>1/2); в) иле (О<в ~1/2), 1 ( л 1/"р'2), хв~л-4 атосов — )+ + У Ьх' — 1 ( — ~э~=); г) —,лх (О~а~1), 1(х~У2) Р л/' /и хэ~ 4 — агссоэ †) + )г х — 4 (1э х ~ ')гг2).
1.63. а) х(3 — 2х) (0<а<!/2), 1 (х>1/2); б) 0 !х<1), тп!п !х — 1, 1) !х х 1); е) 1 — (1 — х ')/5) (О < х < 1/')г 5), 1 (х Рс 1/)г 5) 1.64. 16 !и/8) = )г 2 — 1 = 0,4142135„, Ь тэ !.65. ~1 — Ц, О~Ь~2а; О, Ь>2а, 1.66. ~1 — — ~, О~5~а; О, Ь>а. !.67. 1 — — ~, 0 < Ь < 2а ) гЯ (2 — )гг3)! Ь 2+~/З~' а О, Ь > 2а )ггЗ (2 — )ггЗ).
!.68. (Аи — 3 ) г8)/би = О,ВРАОВ .... 1,69. Р ° 16 —.16 — = — э (! + а !!)) (и -а аа), 2л а 2и г и!э а и 1.70. 5/6, 1/6. 1.71 ~! — 2 !8 —,/, осли г < 2 с)6 —,; 0 иРи г>-с!д — „, и 3,4,6. ! !86 1,72. 1, если О~об ! — — „агссоэ —, если )6( < и! О, если /и 6 < — щ р(- 6) = и (и, О) = —. )2' ) ' 2' /т!э 3 1 1.73. ) 1 — (2Н ~ тв 4' ('нчэ 4' 1,74. (Э„ ~= )Г/ 1 — ( х ), (Э = = 0,866025 ..., О 2 х 2 1.75. (т 1 — атсэ!п .
и ~а'  — 3 вт"; 3' г /и 1 ' 2г г /и 1.76. Р(А ) 1 — — ф+1/, Р(А ) —; Р(А ) э — ф 1), тде Ае — событие, состоящее етом,что было й пересечеипй, 1- 2 ~1-У)'-2 (1-У)'. 1.78.1 ~1-у-) ~1-Т ~ 1,79. ! = . 0,707106 ...; — „2 — — 0,860025ы„ 4гэ.)- Ьэ )г 2 281 ь 2 .1 )ггЬ;, гг) 1.80. а) 1 а 2 а" +г '+)/' 1.81. а) 2 —, б) — 0,378732 .. „. 1 2 г' (4г)~+Ьг 2 2 г/(7 г -,/3 в) — = — = 0,4330127 ... й 4 1 3 2 Ь 1.82.
— — — -'=, =0,3244382... 1.83. — аго18-, 2 2)г'3 ''' ' к а' 1.84. Р =1/пг, Р 8т/л (1( т С л/2), Р, = (2 — 1)/л (и четкое), Рт = 0 (т ) л/2). 1 /гг)а га 2.4 ... ° (2/1) ~ 2 ) ' гь+1 1.3.5.... (2й 4- 1) (2,) ' Р = 0,785398 ..., Рв ††- 0,523598 ° ° г Рг = 2 49039 ,10-з Р , 2 46113 . 10 — в Глава 2 2.1. 1/3. 2.2, 1/?. 2.3. 1/19 (1=0), 2/19 (1=1, 2, ..., 9), М вЂ” в †... — в М 0(1 = 10, ..., 18). 2.4.
~ . 2.5. у. 2.6. /,1 ,, / , †. 2.7. а) 1/5; б) 1/5; в) !/30, ' ' г (' )' 2.8. а) 1/2; б) 3/5; а) 4/7. 29. Р(АД= —,, Р(ВЬД= (г), Р(СЬ 1)= 83 43 2А0, Р (А,)=21'„.= 0,3952..., Р(Аг) = — 210=0,2047 ..., Р(В/- 2/5, 2.11. 1 С ' Л( 1)Л'( г)Л' Л1( 1 ) 'а+и 1 г г/ 2) ч Л'1~) у Л11~ г в/ т~в 3) (Л'. + Ж )(ь 1)Л'в/Л'(ь), Лг = Л'1+ Л' (- Ж . 2.12.
а) ', б) а+ 2Ь' а+ Ь.й~~ (а -(- Ь вЂ” 1)(г") ( + Ь)' 2.13. а) Р Р = — Р, Р 1 (а+ Ь) +Ь(а-~-2Ь) г а+Ь 1' в СО (а + — 1)1 ") (а + Ь)1 ) ь аг ( +Ь вЂ” 2)1 282 оЬ™ ~з (Ь вЂ” 2)™ Р = (а+ Ь)!з! »»"'~ (а+ Ь вЂ” 3]1зй) ' к~ ! (Ь вЂ” 1) »! 2.!4. Р„~,; при 4=6. ! /с~ г=» 2.15. а) Ао Ю» независимы при любых .!, Ь; б) Ам С» незави- свмы: в) А„С, вависимы. 2.16. Незаввсамы пары А», А! о 1, / ы (1, 2, 5, 6), и событии иа" боров (Ао Аз, А») и (Аь Ам Ае). ЗЛ7. Только яри г ~ О, г За 2/ 3 и г = 1/3. 2.!8. а), б) Явля»отея. ЗЛ9.
А»4» и А» зависимы. 2.21, Является яри о = 2; не обязательно являетси при я~ 3. 2.22. 4 ~ (о2» п. 2.23. й ( п — 1, 32г». а)и»из! 6) 1 — (1 — 3»)(1 — 3»). 225. а) Р (1 — а~) Х Х(! — аз); б) Р 3в 1 — а~ — а». 2.26 а) [СзеСз /Св )е 0 0003ИЬ б) ~~ С»еСеаз ~/Сзз 0,0003473 ... 2 27 »/з(»/з + р»д»(г/» + р»7»)), где д< 1 — р», ~-йо - »(~"- 2» -;~) $1 2,29, 38/105 0,3619047 ... 2.30. а) 5/28! б) 4 Я + 4 ( 7 ) ' 2.31. а) И/20', б) О!И +06(г) +03(4) Ь=! 2 "! 1!») 2(»1 3!") в) 01 — +Ой — +03 — 4=1 2 3 4. 4(А! ' !»! ' 4!»! ' 2.32. 0,87107... 2.33.
а) 1ИЗО, б) 47/120, в) 47/90. 234, а) Р(1 — 3~) (1 — 3») + (1 — Р)о,о»; б) Р(1 — Д~) (1 — 5»)/[р(1 — 3~) (1 — 3») + (1 — Р) я,не[, 235. а), б), в) М»Ь» (г. /»г). 226. з/а. 2.37. а) 0,573683; б) 0,7776829 о 0.87327!2.. 2.38. Р 0,0282, Р = 0,0428. 2,39. 0,027 ( Р ~0,033, 0,0! ! »2 < Рг( 0,047. 240. 5/И. 24!. 14/17 - 0,8235294...
242. Зар»/[Зир»+ (! — а) Х Х (Рг + Р»)). 2АВ. а) а(! — 7)/[и (! — 7) + !(1 — 3)), б) О 9!73... 2 44. да Р(! — о)/[Р(1 — с») + (1 — Р)(1 — 3)1 Ч» с»Р/[с'Р + ,+р(1 Р)) Ча ~ О» ~=в-5) и. 245. а) 2/И; б) В/И; в) 3/И, 2АВ, 1 — (7/8) '» О 930791... 2.47.
а) 0,348678...! 6) 0,057395...! в) 0,987204.„ 2.48. Сз~ з) (! 4) 00002И37 2 49 Со»р'г+" г/о ~ 2.50. (1 — р ) . 2.51. [гд~хр+ 9") 2.52. д д ... д 1+ ~ рт/д» ) Са,за(! — ')"-"1 б) Са КЪ-ЗО(» 254 а) /гдз б) (1 дз)рдз в) (1 дз рдз)рдз ' 55 д, Сза+а2 — з-ат т до 1/32, дг 8/32 дз 21/128, дз ?/32, дз 63/256, дз '~ 63Д56.
2.56. С~з 2 " ~. 2.57. 0,593126... 2.58. 536. 2.59. 0.26502. 2.60. 0,26424. 2.61. а) 0,68269, 0,31731; б) 0,72874, 0,36820. 2.62. а) 0,68269, 0,31731, б) 0,66906, 0,33094. 2,63. 0,95, 2.64. 0;846, 2.65. а) 558; б) 541, 2.66, 547. 2.67. 0,1587, 2,68. 0,0228 2.69. 0,98101, 270. 0,8185. /25(з-т 11 2.71. 0,80085. 2.72.Сзг тр"дг а. 2 73.
Ы вЂ”,. 2.74. а) 7/81 б) 2/3; В) 1/3. 275. д, О 5, 276. дз. 0 25 277 д(! рз)/(д ) рз). О 7 2.78. С~~ ~узр/"г ~т/здто ~г/з, если (п+ т)/2 — целое, 0 в цр32ивиок саучае, 2.79. Сз8! 121) з(0,1)з(03)а=0 0054432... 280. р",+ хр" гр . 2.81з 0,76896. 2.82. С„'р, '(1 — р,) г-г /-г / и) о оз оз б) ( ) р, 'р', где р,=рц+...+рв„, 1=-1,2. .в) /, ! /,' 1 ~ — ", если 411+Мг,+,"+/зи ., У~") ' о — и, 0 в противном случае. о " / о 2.85. Си~(1 — —,) ~~' Сттт з,( — 1)~(1 — ~ 4) . т=с 2'86' 3/4.
2'87 Р(Оз .4-з г) =1/3, 1=1,2,3. 2.88. р /(р + р ), 2.89. а) 0,489142...; 6) 0,295635...1 в) 0,2! 5222.„ Глава 3 ЗЛ. Р(т)г т) = 1/5, 1 = — 2, — 1, О, 1, 2; Р(т)г — = О) 1/5, Р(т)г З) 2/5, З 1, 2. 3 2. а) С !1 'б) 3/41 в) (вз — о, + 1)/(ог(лз + 1)), пт и, вз. )з/ 1 1 3.3,а)С 416) 1/6; в) 2( (о г 1) (о 1 1)(о ) 2) ) 3.4. а) С 3; б) р„(х) Зх'(0~ х (1); в) 0,026.
З.б. а) 2ссхз ~ (с~О); 6) ие с "/(2'(г'х) (а~0); в) таз ехр( — и(евз — х)) ( — ~ ( х ( ). 3.6. а) сза-з"/(1 — а ") (О ха х и, 1); б) 1 (х ти (О, 1]). 284 3.7. В) $[о (х еп (1, 3) ); б) е " [х х О). 1 1 х 1 е 3.8. — -[- — ага[3 —, — з ( — оо С* С»о). 2 я е' л„з[ 3.9. ро(х) рз(х) 1((л7х($ — х)) (О ( х ~ 1), 3 $0. р„(х) рз(х) о рз(х), 3.11. а) ф(х) = 8 з(х); б) РаспРеделепие 5 совпадает с Рас- пределеиием 5. 3'$6 а) р- ° ~ рз ° = 1[2 р — = 1[3 р о = 1/4 р* з = 5[12' б) Е-з з=(/3 у- о= 1[12~ Ее — =1[2~ дз =1[6~ Ез з — 1/8, ос- ее.
= 7. з'= 1/2, 7, =9. з =1[4. кч 1( )г7 (Г63) 3.17. а) д ф б) О. 3.18. 1 — — „[4 иго[8 — — 4 [ 0,7114... А ! 3.!9. ! — Зх (О х 2). 1 В 3.20. е) С=[[ б) р4 (х) = р1 (х) = х+ — (0(х С 1); в) Зх (О~ С 1). 3.21. 4х е [х~ 1). 3.22 р [х) = [[г), р„(х) =- л [х). 3.23.
7(и, о)= „р, )р~ ° Р 2й — и 0<)и)а о. 3 24. 7(г, ф) = гр(гсоа ф) р(га[п0), г~О, О:.:;ф~2п. 3.25. 1 — е з = 0,6321 ... ЗЛО, а) — 1 — ~ — ' — 1 ~) '(О ь, х( 2а), 0 (х зо (О, 2е))[ а б) — ~1 — ~ — Ц((х((а), 0()х(~а); в) — з)зз — (0(х еол)о 0 ( Ф (О, о)), г) 1[2 (О< <1), 1[(2») (х>1), 0 ( <О), 3 27 а) хе х (х,'ПО) 5) — е [х ( — оо~х«оо), В) е 2 $ (х ВО); г) — а (х>0).
1 -[- х 3.28. — зп[п 1, — — ) х — 2 ~~ (0~(х~ (3); 0 (х Ф (О~ 3)) ° 3.29. 1 — е х (О(»~1); е [х-з) — е х (1~~») ° 3 Зо а) 1 — ($ — х( при О~х«;2, 0 в остальных точкал[ х' (3 — х) б) ~' прп 0<хи, 1, — ~в — ) прп 1~х«2, при ' 2» в~ 3, 0 в остальных случали. Вероятность Р(0,5~5 + 5 + 23 $4 <2,5) =.~ =0,95833 ...
3 32. и). р~ (х) = плхе их (х~О)[ б) Р(5 +5 оз) е(зз),из 0$,... (о + ье) — з +з ЗДЗ. а) аое лех (х'об)' б) «пе в" (1 — з зз)«1 (х)0), )а«6 и~-6-1 3.34, р4 + (х) >. + з "(х) О). 3.35. Гамма-распределение с параыеграми (Х, а -)- ... + х«). зм.р — '.-«< >о). зз« вЂ” — ~««~«, (Зх)" ' 2 (и — 1Ы (1+ ) 1 — Зх() 0 (х 44 (о, 1)). 3.38. (и — 1)(1 — х)" з (0~ а~1), 3.39. Р, 1 (х) = 1/2 г+1з (х зн ) О, 2)). 341, Р(~, = 4) =01 (0~4«С9), Р(~ 0~ = 055, Р(3 =1) = 0,45. Случайные величины ~ и ( вависимы. 3.42. Зависимы. 3.43. Р4 1 (х, у) =~ 1/(2п Р 1 — хз — г~/ 41'1з (х + У ~ ~1)1 Р1 (*) 1/2 ((х) «С1). 3.44.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
