А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1119923), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Р4 (х) = 2 созх 3 3 1 ) ) х ) ~ — ~. 3.45. —. + 2 ~' ' 2 2(2«+1) ' 3.46. а) 1/2; б) 22е зы (1) О); в) 1/2. 3.47. Р(А;) «1/«, ~ 1, 2, 3. Ю +~з-з з 349 Р(ч 11 ч =) )=1 1 'Р 1 1 >1 д 1 р Р(ч, =1) . Р(ч =1) у~ 'р, 1. з1. Случайные величины независимы. 3.50. а) ваеисизпх, б), в), г) иезаеисиззы. /1з« ~ 1 351 Р(0=1, е= «)=( 9~ "6 () 1,2, 3,4,' «~1,2,...). Случайные величины е и 0 независимы. 3.52.
а), б) Р(т =1з, ..., сн— - )и) =ДР(т„=),); Р(ч„=/ )= /4-1)'а-г / — (1 — — ~. Величины пезавпсомы. в) Р(0 — '(/у/ (, л (1 — 1~ 0 = 1,, ..., 0« —— гн) . 1//11, если 1, ..., гн различны. рз р1 3.53. В(0 = г 0 =1, ..., 0 =1 )=р з з' ''" и и) 1з( — р. 1 — р. — р '''* 11 11 за р'и 1 — р; —...— Р; Ь-з 3.54 а) М(/У М)14)/Д~)ззз) б) М)з) (~Я М)(з+~)//У)зз!+з) в) М) (/у — М)!/У), если 4 +4 -)- ...
+4зг — — /у — М, и О в противном случае. 355, Р(,;, Ра) - Р(;, Уз) -Р(х,, Уз) + Р (. ы «з), 3,56. 1 '1/2/2 = 0,29289... 3.60, а) Р1 (х) =- 1 — (1 — Р(х))") 1ы б) р,,„)(х)-р" (); в) р)„Р1,„,(...) = р (*,) — (р(*з) — р(*,Э)", 1 о) 3.61, а) (щ 1)1(и т)1 236 е« /с — 1)!(т — /с — 1))(сс — ос)! Р (сс)'(/'(лт)-"'(х,)! "' '«(! / ( а)) ' (* ) ' ( в) (х ~ е) 362.
1/(й+!) во всех случаях. 3 63. и! р(хс)р(хс! ...р(х ! со- ли хс < хс» ... »6 х», и 0 в осталъвых случаях. 3.67. 1 — П (1 — — „), »=т 3.72, 4« ( Рцб — — ~( «)»~ 4«(1 — «), 0~«<1/2. 373. Р с(1 — 1/(«2) к тс (Р с(!/)«2), где Р-с(У) = впР(х: р(х) -- 9).
3.75. 0; 6/5. 3.76. 2. 3.77. МЗ = 3/2; Мт«3/йс; 0Ц 3/4«! 06 .=- З/ВО З.«8. а) МВ 03 )с, Мсои )са; 6) М$ = пр, 03 прс/ МЗ«Ы п'"'р" 7 11 3.79. МЦ« —— 12, 04« — — 1«4 (« = 1, 2), сот (с, »„) = — 14 „' 3.80. МЗс О, 0$« = 1/2 («1, 2), сот(5с, $с) = О. 3.81.
Мс)с Мс)с сот(с)с, Ос! 0; случайные веля сипы вависимы. 3.82. а) Ме!л$ Мсов$ = О, 0в!л5 = 0сов3 = 1/2; б) М в!итьч«$ М совах+«$ О, М в!л«ь; = М сова»4 (2/с)! — — Прл /с-с со. (2~/с!) 2 1 4 383. в) М в1л $ = — = 06366..., 0 в! в » = 2 — —, —— 00947 М сов с = О, 0 сое $ = !/2; («/сы)в 2 б) Мв!ось+«с = — = при й-с-оо осгальпыа (2/с .
1)! л Учй моменты те же, что в валаче 3.82. 3.84. 4/В, 3.85. 1 — (1+ сх) с пря сс ) — 1; — оо прп а ( — 1. 3.86. МЗ ЗВ/3, 03 = Е««/!8. 1 —  — Ул 3,87. в) 1; б) — 1; в) 4 )с'Г5 = 0,9662...; г) 0; д)  — .—. е — 0,91827 ... Оп — 32 3.88. а) 2 т, — — — 0,300137 ...; б) — 1/2. 3.89. р«(ос 9пт — 64 («+ й !)[ь! «(и — «+ !) «С„'*"-' (1- х)"-', Мф, »» (и+ й) ' . (п+1) (и-(-2) !в! '%с!- «(п — /+ 1! 3.90. Если 1< «(/ы„п, то сочД(«1, $ ) = О! ( +1) ( +2)' .ц/«(и — с+1) Р(слп, $««) = «с ' ' и Р(ц(О, фс/!)-»О, если и-с.
оо, 287 393. )оавенствс неверно. 394. о>(ими>Д сс, п>ахМв»ч» О О> +оо. ЗМ. ~0 1 0~ во всех случаях. 396. в), г), ж) могут> 001~ остальные не могут. 3.97. а) а ев ( — 1>а, 1); б) и «н (-1> !> ) ° и В.!00. а) М,", т +т +„,-(-т„, О,"= ~ а>!1 6) М» (т, а), 0>> аоа'> в) т + т*, >и т»> а>в -(- Ьт»1 а+ о», о+а аво+ Ь а». 3.102. МЯи» О, ОЯ„п/2. ЗЛОЗ. М/>и — О, ОЛ„» 1, и> 2, 3.104> л/3.3.(03.0>>л (!(п — Ц/180, лО) 4 ф ( = и/18.
3.106. М>и» иа, м(„" » ира, О»„» иа, О>»» вр(ох+ о д), сот(ви, в ) иро, 3.107. Мви ~ цл, 3.108. Мф> О 0= 1, 2, 3, 4), Оф> = 2пох, 0()~> 2а, 0>«е>» л (л+ Ц а, ОВ<е> = О, 3 109» М(0> и 0 Ол>«>> иаа (>» 1 2 3 4) 3.!!О, Мф> в/4 (/ 1,2,3,4), 02«г> 7л/!44, 04(>в>* (13и— 6)/144, Оф>> (Звв+4и)/144, Оф> 13п/144.
ЗЛИ» М4,' > = па (!»1,2>3> 4)> 0»>«л~> и«> (а +2а )» О»>, «Р (и (ов+ вив) 2ав), 0>1в> в«Р (вР+ о + а ), 0>~/в во («Р+4ав). л-1~ ЗЛ12 МЯв Муи»О, 03»» ла > ОУи о и ~!+ Ь ) ° 3.113. МО,- Мг, г> 1; ОО, = 1. ВЛ14. ~ (М вЂ” Мв)(и>/М>и>> гдв М М + „.+Ма>, й 1 ЗЛ!6. М4»и > 04 л —, ~! М М/ М>Л' — в Л" Ж~ Л/У 3.116. М>«(п, Л>) = Л«(1 — — ) Л>е ««(1+ о (Ц),0>«,(п, Л) (вф — 2 ) + Л (1.— ' ) (! — Л (! — ' ) ) - Л'.
" (!в (1+ а) е ") (1->-о(Ц), и/Л>-ч' а, Л>» оо. Л.С„ / 1 >и —. ЗЛ17> М>ь (и, Л>) * " ~! — ) Л> ««е «'(1 + о (Ц)> — Л/' г( л у и««> Л« -и оо, 3'!!8' М>«е 1'3629., „ М>« 3,0975" ° М>«е 3,379!..., М>«в 2>363!. ",М>« = 1>1776" .>М>г 0,4496...,М>« "= О>1362 ° > М>ь 0,0336... п!е)/и!О! 3.119, М(с„= ХСьь 1, /С~у+ ( /+п — 1)1"+т! .+1 (а-(- !)' 3.120. а) пр,! б) про (1 — рс); в) — прсрр д Х !и 3.!21. а) иР (! — Р))"; б) «~С" Р~!(! — Р)" "; в) Ч~! — Ч) ° .
!=1 о-1 3.122. Мтс, = дс Р—, Ота = /Ч т .1 /о!тд 1 — и (л — с)" с о с=о (1 -1- о (1)) /(с !и СЧ,,Ч -» оо. а 1 / (Чп-а 3.123. сЧ Р, (Ь вЂ” г) С„~!— псЧЬ~ Ч) ° о=г+с Млою (п — 1) д, О)оо Рт (и ' 1+ а Х Х (З.-В)); Мд*, =(.-!) Е'-, О., =(.-1) рао(1+,), 3,126, МО = (п — 2) Р, 0)с . = Р а(п — 2+ (Вп 8) р.(о о о ес-(би — 16) р ); МСС'»= (П вЂ” 2) Р', (!СО, (П вЂ” 2) Р Е(1+Р+ Р ), п ЗЛ27.
а) Вп! б) ~ ~(п — а+1) р д" = (поу(а — р)— й 1 (е - Р)' р(а" — р")) прн рчае, со 2 " ири р= а=1/2; в) про+ ро; ) Рт(! — Зре). 2р 3.1ж. М4= н. 3.129. 1+ — о. 1 ро' и ( / В 1п+т1 а"' 3.130. 1 — ( — ) ). 3.131, — е ", 3.!39. 60', й+1( (4) ) ги! 3.143.
а) Мда 1/п; б) р(да, Ос) — 1/(п — 1) (Ь ~*С); в) Р(0 +...+Ча,д + ° "+Ос)=У вЂ”,1<Ь СС~' Г Ь(п — С) о' с („ /) 3.144, (СЧ+ 1)/(М+1) (1=1, ..., М), (Р/ — М)/(М+1) (С=-М+1). ЗЛ46. (а — а )о~(О(о+ 0) ~~(а!+а )е. 3,!60. оп/и!. 3.161. в юв 2,71828... 3.!62. еа — — 1/(Ха~~), где Х (1/ао) -! ... -(- (1/ао); Ода= 1/).. ЗЛВЗ.
а) 099730... 6) 098168... в) 1; г) 8/9 =08888..., д) 0,91393... ЗЛ64. МЬ =О, (Ьб =МА~ = п)аоп. ЗЛ66. Ма!и во~ ~ О М сов во) О. ЗЛ67. псах (Р, 1 — Р), ЗЛ68, б) 1/(РО). 3,169 б) 1/(РО). ЗЛ70. п(р[(1 — () )(1 — 3 )о — (1 — (1 — 3 )(1 — 3 ))е)— — а(со и Ь+ (1 — со я ) вО. 3.171, Коорлтсната Ь точки  — медиана распределении 2, т. е, Р Я ( Ь) = Р Д ~ «Ь) = 1/2.
3.172. и — медиана $, Р— медиана о), т.е. Р(2 ( в) = Р(2 > х) = в= Р(т! е у) Р(т! ~ Р) 1/2, 289 19 А. и. зубков п лР З.Ю1. 1+4/2+ . „+ 1/и. 3.202, Мт = аб, От Ьпп+ апбп. 3.205. 6) МЦп [)~п /); п) Р(Зппп пг[лп х) х(1 — х)гп 1 М(ЬО (Г)~ ~Х) ~, [7 [ЬП(т)П пиХ/ (! .)/ХО, Г) Мт = 1, Мт~ — — оо, /о~2. 3'208' Мтоо (1+ 1)/я, Мтоо =6 лри Р= 1/2; 3.209. Мм., = (1+ р+ р )/и, мт 1 = 14 лрп р = 1/2. 3.210. Мтоп =1/[ро), Мпо! = 4 прп р = 1/2. 3.211. пхп е.
3.212. 1 — и2е ". 3,213. Мт = 5, От = 4. 3.214. 1 — п3 "+!. 3.215, Р($ ) х) =(1 — х/[2лг))" ! (О л;хл,2лг), Мп = 2лг/и, Оп 4лтг (и — !)/и~ (и+ 1). 3 216. Р ($ ) х, бо) У)=(! — [(х+ У)/(2лг)))а ~, О~ х, У,'х+ + у л, 2лг[ р = — 1/(и — 1) . * + ... +х„~--! 3.2!7. Р /2 ~ х, ..., и „) и,„) = (!в !и-1 ~0, х. + ... + ха~ 2лг. 3.2!9.
Мт=- п 1 — / 1 '" ' ' " ( 2л4 пе (1 + о (1)), [от Сг ! ! — — ! ( Мт [Мт)п -ХЬ = ие-'П (1 — (1+ )пб) е-'и) [! + ° [!)). 3.220. Р(е[„п,х/ ~~)'„( — 1) С„(( — ), где г ) О и К о 2лг (а)х=гпах (а, О). 3.221. — У вЂ” (1+ о (1)) — [йи, и-ю.са. и хпа /е и йо =3 12 12 3.222. МЯ = — 0,4774..., Мр = — = 3,8197., „Мг = —— 2л У '"! л 1 = 0,2158... 3.223. а) — +! — — а /!~ — а)+ (а — а (о; б) 7 12 1 2 /~.2,) 3 -г — < 1, и -г оо. 6) 1 — ~1 — ! -м 1, п -г оо.
с+о и !" ь) 3225. Р [[ $[ ~ О 7) = О 5!60... ) Р(($[ ~07) = О 4839.... 3.226. Р ( — 0,5 Л; В Л, — 0,1) = 0,1616... ~ Р (1 Л, $ х: 2) = =О,!359... 3.227. аппп != О, Мбп" = 1.3 5 ... (2/г — !) пе" = = (24 — 1) [! аоп, и = 1, 2, ... х Опх-а)о оо о 3.229.
а) =е оо, х) О; б) е пао, х)О а у/2ях ' ' ах ~'2л 29! ,"„230. 1 — ехр ( — х7(2оз)) (х > 0). 3.231, Рамма-распределение с Х= 2, а= 2. 3.232. а, '2я. 3.233, М5= е, 05 а+саго за+аз (еаз 1) 3 234 еа-аз. езо~гз 3,235, а) 2Ф (5)З)=0,90441... в любом случае, 'б) Ф(1,6268...) Ф ( — 1,716...)=0,9050... при ге=60, Ф(1,5 7...) — Ф( — 2,214...)= = 0,9233... при яз = 10. 3.236. Мг)" = 1 3 ° 5 ... ° (24 — 1), Мз)е = ехр [аЬ+ озаз), 1 2 . 1 2 2 3.237. О. 3238.
М(соя 2)=е 112=0 6065..., О(соз 5)= —,(1 е-1)2 1 = 0,1097... 3.239. О (ззп2) = —, (1 — е 2) = 0,4323... ) О (соз2) (1 — е ) 0,1997... 3.2ч0. Мсоз 5 =-— 2 =0,77688..., М21пе = 2 у 1/2 — 1=0,32179... 3.241. Являются. 3.242. а) Стандартное нормальное; 6) нет. 3.243. Ф(1Я~/2)— — Ф ( — 1/ )/2) = 0,5204... 3.244. а) 172; б) 0,7928; в) 0,2426. 3,245, Распределения (ьг, ь ) и (5,, 5 ) одинаковы. 3. 247. двумерное нормальное распределение с нулевым средним и „~а , — 3 „1а +Ь а — Ь~ ковариационной матрицей ~ з 2 2 ф ~а — Ь а +Ь~" 3.248.
Нормальное распределение с мс 2) =мс г) =0 и ко. 11 22 )сзоз с с у~ вариационной матрицей 11 )ссу сзоз' 1222! 3.259. Величины 2). и и распределены так же, как 5 и 5 . 1 2 1 З' 3,251, 1„3.252. а) 4Ф2(1) =0,4660...; б) 2Ф (1)Ф,(2) =0,3258...; в) Фз (2) 0 2277 ...; г) 2Ф2 (1) 0 2330, д) 1 — е 172 =э ~0 3934...; е) 1 — е 1=0,6321 ... 3.253. а) 4Ф (2,5)Ф (1)=0 6742 ...; 6) 2Ф (2,5) Ф (2) =0,4713...1 в) (Фо «'5)+Фа (О 5))(Фо(3)+Ф (2)) =0,6095 ...
3.254, [Ф,~-~-) — Фо~ 2 )1[Фа ~ 2 )+Ф,( 2 )1-0,0849... 3,255. а) Фз ()/2)/2 0,08876 ...; 6) Фз (2) — Фз (')/2) = 0,05023...; в) (Фз (2) — Фо ()/2)(2 = 0,02511 ... 3.256. ге ' (з/(2я) (с~О, 0~ 9 ~ 2к), 0 а остальных случаях. 3.257. а) 2 Фзо (3) = 0,9946...; 6) 1 — е 272 = 0,9888 „Л в) 1 — е 2=0,9998... 3.258.
а) е з — е 272 = 0,1242...; 6) 4 (Фз (3) — Фз [2)) а~ 00835...; в) 4 (Фзо()/3)2) — Фз ()/2(2)) = 01054 ° 3.259> Р() А А ) ~х) = 1 — е 3.260, Р1)А М.)~х) 1 — е о 3,262, 3(4. 3.263. 3(4. 3.265. — агс13 —,, 3,266, все 1 ( 1 1 р . + — агса!пр, р . р — — —.агса(по, Ы 4 2я 21 га 4 2п о, где р =-)===и. — коаффицнент корреляции $1 и $ . )/ „*, 1 о — хп 3.267. х- агс13 1, †, , 3.263, а) 1/2; 6) 1— х1 о~ — я Ф(Ь/)г о — 2оо — 'а о22 ). 3.270. а) Нормальное распре- 11 12 деленно с нулевым сентором средних и матряцей ковариацнй (.~ 2/! 6) — в ' 1 2 1 1) при 01~х,~х н 0 а ос- тальных случаях; в) Р(Ь (х) — агс13 ' ' (О~а<1).
х )/3 и 2 х 3.271. а) Нормальное распределение с пулевым вскторо м 2 — 11 средних и ковариационной матрицей ( а 2)/ 2 2 -(хгтх тх хе)/2 б) а ' 1 2 1 2 ' при х, х ~а О и О в остальных случаях; я 2 3 х'1/л в) Р (Ь я; х) = — агс13 (О а" * ( оо). /1 О 01 8.272. а) (О, О, 0); 0 1 О .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
