А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1119923), страница 50
Текст из файла (страница 50)
6) Ц, 22, 2 попарно неаависнмм 0 0 и имеют стандартное нормальное распределенно, в) р(х.,х,х) (2ла) 112 ехр (- (х( + хе+ хд)/2), если х хсх ь О, (2л) аи ехр ( — ха/2], если х,х, О, 0 в остальных случаях. 3.273. Пологкить если й, ... й„ , О, ( Ь ) аяп ($1 ... а„ 1), $1 ... ~ О, ГДЕ 2,, ..., 'я„1, Ь независимы и имеЮт стаидаРтное норыальное аспределение. 3.274. Нормальное распределение о параметрами (О, ..., 0), А'А). 3.275. Ь21)2 (О, О...,, 0), сот(т)йм Ца)) = атр 3.276. Нормальное распределеяне с параметрами ((О, ..., О), ()Ь11((, где Ь1 =1 при 1=1 и Ь =а а) при 1чь).
3.277. Нормальное рогпрелгление с параметрами ((О, ..., 0), и 1и 0,1] ал 3.278. 15, 3.279. 1пМ) $1 ... Ьл(. ь г распределение с М($ ) Ь х) х и 2 а (1 — — а.. 3.2И. Вообще говоря, не а а,е ГР в оо1 ) ЬВ1), где Ье 3,280. Нормальное О(ет1оа ) яел яется Глава 4 4,2. Р( ~ 3,313 е~~ % ) «йское) а' л 4А, Выполняется. 4.3. Удоалетаорявоь 4.6. 0 «~ ее ~1е 4.7, и~О, а~~1, 4.8. Удоалетеоряют. е.и.ю| ( — «и, -1«е)ш-Цуо)а*)', о !о 1 )' Ь 4.12.
а) М~т ( ((х) лх, 011 ) уа (. ) 3* — ~ ) у(х) ах ~ . о о о 4.18. Всегда. 4.26. 6) (1 — р) р ° ха 4.26. Р ('г (Ле) ) и) П (1 — у «))"~, 01 (х) 1 о ° 1 т б(ф) и ;"-' / )+ 6(ф)~ Р(т (Д')> )=(1+ де 2„+1 ~п (1 — )и 1 ) д ЬР') е-о пра нечетном Де и б(Л) = 0 при четном Де, 6 (х) 1 — о 4,27. !!в Р (е)ип„х) =.е, О~х~1.
4.29. Распределение Кави с параметром 1. 4.30. Распределение Кави с параметром 1. 4.31 Пв Р(а — х)х(Р)Ь>х) 1 — е и)с, Р>0. х-е 4.32. а) Нв Р(и„л М" <х) =е " (х 0); и б) 1)в Р(и лью~«) = е ! "! (х(0); а) 1)в Р (и„— !п и ег, х) = е и-еее 4.34. Ф(х). 4.37. !)в Р((и е~ х) = 1 — е™, 0 ~ х ( оо, и,в 4.38. а) Мть = йи, Оте — — ьо . п39. Мт = «Мт, Р(М ~<«)-о Р(х). а ар+от ( 4.40.
а) М'г = —, 0т и з 1 б) !гш Р о д ' о з 1 — 'е ", Оы,х(оо. 4,42. Ига Р (От г х) =)1ш Р (дт ~,х) = 1 — е «7'г, х,ин. е о т о 4.43. Р ~ — (х~-о( — е ", 0(х(оо. 4А4. 0 265. 4.47. а), б) Сходится. 4.46. Равенство верно. 4А9. 6) М$ = 1,'2, 057744. 4. 50, б) М$ = 173, 0$ = 1/16. 4.53. а) Зз — распределение с 1 степенью свободы. 6) А„(з) из(з — р), В„(з) =2(р — з) 1)и р(1 — р). 1 — Р) — гз~ и 4.54. а) 2Ф ()/х), б) В„(р) )п — ~ 4.55. Условия в).
4.56. а) Любое соотношение может выпол- иЯтьсЯ. 6) т т,. 4.57, а) М(М,о; б) о~(ог. 4,58. а) еаш г>; б) РП1 — дз); в)(рз+о) . 4.59. ф(г) (Рз+о)) Мго ир,мф)=им1рз, О5„= ире, где д 1 — Р. 4.60. а) М5=- гу'(Рд 0$ = ф" (1) ф' (1) (ЦУ (1) — 1), М ($ ™С) = 'Р" П) + ЗгР" (1) (1 — ф' (1)) б (-ф'(1) (2ф' (1) — 1) (ф'(1) — 1); б) ф (з) =-ф()/ ), ф„(з) ф(,з), ф (з) = ф (1/з), ф (з) ф (з) ф (1/з), Ч т Рг гг 4,6!. Мт —, Оч. ~ —, Мз ' = .
4.62. 1) —,— р г Рз 1 — Оз р з' Р Рг да / рз тт т щд 2) ( — ~. 4.63. Мз( (' — ~, Ь| —, О5 р ' з Р ~М (Л = ') = Сг,'Р 7' " т, +, + т„ 4,65. а) еЗРЫ т>; б) йр, Хр. 4,66. а) $ и $ распределены по закону Пуассона с парамет- 1 Рами ),(1 — Р ) и Х(1 — Р ) соответственно; б) М5 Ого )г(1 — р ), тта ОЕ )г(1 — Р ), Сет($,, $ ) 0; СдуЧайНЫЕ'ВЕ- личины $ и Е вависиыы. 1 а) (р з -(- ... -(- Р„з )"; б) и(з)ра (з+П ". ~ (З ть)) мн лн ып,з +(р + + Р, (Рг+ Рз) ("""~ ') 57 (1-Р,) (1 — Р,-р,)' Рз (Р + Рг) (Рт + Рз) Р(Ьи,г Ьи,з) )г (Р,-'-Р ) (1 — Р, — Р,) (рз 'г Ре) (1 — Р— Р ) 4.70, а) ехр (Х (р и с(- "° с(- риаст 1))] (ХР;)" лас б) П '(1 — ~~ е (1 а)). 4.71.
а/У = е, 9/7 с ! ° 1 — а — О, б/у — сс, гдс Ос~а~1, Ос~ос < 1. 4.72, ср4 (т с). 4.73. а) ехр (Х(ес — 1)); б) (Рес + О)"; в) 4.74, (я+  — 1)(а) а а. 4.75. Магг( д(/(1)), Мтг * у (ср(т)), 1 4 76 а) Р(( Ч = мт (4+1) Р(0 4+1) л' Ос 1 ° ° ° 1 б) Р ((- Л) = — ~ Р (. ~ Л), Л О, 1..., в) ( = $ + ...
+ Е», где ес, ст, ... веаавксимы и распределя. вы так >ке, как Е, а т ке еависвт от $., $м .., и Р (т Ф) (1- 1' — а)сс", 4=0,1,...; г) ср(з) — проиаводяпгая функция тогда и только тогда, когда Е т)с+... +Ч., где Чл Чв ... неаависимы и одинаково распреде« левы, а т не аависит от т)с т)т, ... и имеет распредделение Пуассонаг Д) тО жа, Вте В П, В), НО Р(о=а) )/$ — аа"2 тЛСаас й=*. О, 1, ... 4.77.
яг + ... + лса я, РС ' Р,а Р, а — с 4.78, б) Лс г ~Ч„' /(2я//Л) е '"")/а. 4.79, 11/27, 1/9. 482 Р(р ~бл)~Д~ б) (р) )с р(рэ Р ((с„~ я/2)) » ((2 ~)/р (1 — р))", р ~ 1/2. 4.84. Р/с (г) + (1 — Р) /, (Н. тиа 1 4.87. а] . (Г тй О), 1 (1 0)1 б) -4-Р-с в-) (1ееО), 1 П-О)1 а/ в) Са а/и, 1 — а(1) (1с)и,а с), 0 ((й) а т). , 4.88.
Мт) 0 при 25оа~(, МЧ ве определено при 25о ~И о т ОЧ, а прв 45о ~1 и ОЧ со при 45о~~1. (1 асс )3/т 4,89. Является. 4.90. Яктссется, 4.91. а)/б) Является, 4.92. Не следует, 4,98. Иамеввтся, 4.95. равенство верно, если М~Ц < ео, 4.98. а), в), е), а) Являктся; б), г),, д), ж) ве являются, 4.99. а) О, а~/ЗС б) О, 7/Ег в) 1, 1/6; г) О, а (1+ 2 )/2)~41 О'''0' Д) Р Ф~ Р+ 91 е) У 1 — От асса!вО 1 0") агса1в ( т 3/т 1 4ЯОО. а) 1 е "ст(а~о), 1 ((г О) .Г;7~ Р(о Чо, (1 ) И вЂ” 2Ы)мз (1+41 ) з ( )' г(г -(-2) ... (г+2х — 2).
1 1 4 10(о з вгаагсгаг к(а-(-1)... (оо ) го Ц. ' (1 — Ы)в (1+ 1З)аГЗ 4Л02. Нормальное распределение, Мь (а, с), 1)Ь (., Бо). 4.103. 5(ногомервое нормальное распределение в В с воа гором математических ожиданий Са и матрицей ковариаций СВСт, где и†знак транспонирования. Л(" ~С1)а С"-м в) я-цо 4.114. М(рв(и, )у, в))[Ч и . Функция 7 (л) гвв *мр (и, )т', в) прв любом 1 зО, 1, ..., в имеет единствевпый максимум в точке л дг( и Мснотонна слева и справа от л ° о е -Прн )))иксированных ! и в 1 г гг(в е)о 11ш — шаху (л) Сг я-о и в' Са я 4.115. -~"- ~~У,'(-1) -'С"-а(С ) Си-™ а 4.117* Мр„(л, дг) = С"„()у — 1)л "))г и+г, 4.ИЗ, )1ш Р— гг „л,х~ 1 — ехр) — — ) (х~О).
4Л(9. Распределение произведения 4о5„где случайные велич:г- иы 4, и 4о независимы и нмеют распределеяне Пуассона с парамет- ром Л. 4Л20. и ~о 790. 4.121. ( — 74,36.10-л, 74,38 10-л). 4.1к2. а) 1гш МЦ ехР лк. 1вз а, )!ш ОЦл вш *(вш ' — 1)1 л-о и ~оо б)а О,о "л!пз; в) Мг) =ехр~ 4 1п з),09 ехр( ~ !в'з)(ехр ~ 2 1п з~ — 1), 4Л23. а) Мо), 1,025'е" аа 5,295 10", Оц „, аз 7,6899 104', М )и о)1ооо = О, 0 !и ц~ооо ж 24,8965; б) Ф ( — 1,384) ж 0,0832, Ф (0) ю 0,5, Ф(0) 0,5, Ф(2,769) м 0,9972! в) 0,5126..., 0,4873. 4Л24.
а) Мцыоо 1, Откол о= 1,0625кол — 1 ж 2,1327 ° 10во, М1в о),о,о ов — 32,2693, 0 !л о),ыо аа 65,2357; б) Ф( — 1,7064) лз 0,0440, Ф(00633) яз 06252, Ф(1,9996) м 09772; Ф(00633) зе 05252, в) 0,5126..., 0,5378,. 4Л25. б) Ф(х). 4Л26. М5о М$оЗв = 0 (г ча П, М4зг 1(л р = ег-ь... +З„т. е. р имеет 2 -распределение с л степенямн свободы, Мрз = л, Ррз 2л. 4.129. Ф (х). 4.130. л ~~Уз а,.р, и ~ ~~ азр — ~ ~Ч~~ а р ) ); стандартное норо 1 мальное распределевие.
297 с. 131. а] Мт]о=За, От!ь=ЗЬт, соч(т)ы т]ь+с] = 2Ът, соч(т)ь, т]ь+т) Ьт, точ(оы т]с) =- 0 (]Ь вЂ” С! ~е 3), б) Ф(а/]сЗ), 4.132. Ф(а). 4.133. а] а = о/(1 — р). 4.!36. Стапдартнов нормальное распределение. 4Л36. МЕСео = О, 06~/О =1; при сс-ь ео распределение т]„схо дится к стандартному нормальному распределению, 4ЛЗ7, Распределение равности двух неэависимых случайных величин, каждая нз которых имеет распределение Пуассона с параметром 1/2: -с 2 с~ ™е с О Ст„-тС- ~-р-;~ — — '-;,, а-т, еЬ *г,. о а 4.138. а) ~~~~ р("], ~~~~ рсс") (1 — р/с"]); в) распределение с с * с-с — где т] и т] невависамы и имеют распределения Пуас- о о с сока с параметрами Х и Х соответственно. 1 4.139, Р„(е) ~- а+ (1 — а) (1 — е ие) (о) О), если 1 — стоАа -ь -ожш(0, оо), а„-+а~( при а-ьоо. 4.143.
) М ' =~1 — — "1)./~1:1,), '< -."- ) =МГ'ПЯ'-+)/('-+ — ''')Ь б) 2 '", 4.144. Распределение Пуассона с параметром Х/2. У вЂ” т 4.146. Мч, (1+ о(1)) /У!и, Оч,„=-(1+о(1)) /тт Х т )С ~ — )и / ' ~; стаядартное нормальное распределение. 4,146. р, = 1, С =1, ..., Л'. 4.147, См. Решенве.
ес 1 — с т/ 4Л60. /„+1 и (а) /„ ьт (е) + у †„х /„ и (е). 4Л62. Вхр 4 — С) С (а). 4Л64. а) 1 — /(с) (1 — св2пс)]се(1+о(1)), с-з-О, где вйп с ° с/ с) (с ев 0). б) а 2; у(с) ехр( — (1 — с е2п с)]]с], Л66. Распределение Коши с параметром лр(0). 4 137 Месс((т+Ь") Месс(йте~4е) е-аа(с! (а — 'Ь) л Са Ь (а) = аЬ ((а + Ь) + а ) Глава 6 ь ь-м-с! 6Л, Мт]с а, От]с па~ о/ соч(т]с т].)=о' Х осе/+! ° -с] с'-о с о пРи )е — с)(ь, соч(т]с,т],) =0 пРи (е — с))в. 296 6.2, б) Сходится, Ь,Ь, б) Сходится. 6.4. Мь О, 01 оз (ь «)--у, сот(Ц«,Я«) у.соеА(х 1), вчь1, 6.5. Мт«0, О„-, =1, сот($1, $,) -~(сов(х — с)+возя(х — с)), 6.6.
Р„(*) = псах(0, ( 1 — (1-х () 6.7, а) Нормальное распределение с параметрами (О,'1,2); б) 9 и у„независимы, у„имеет равиомериов распределеаис на (-л, л), ))пс Р(бес~в) 1 — х " (в~ О). с 6.8. Мт) О, Ос) 2) (С вЂ” и) В (и) с)и, сот(т)С,с),) -~ (Ос)с-(с 1 а чьосс,-отсс« сс), с,с,ьо. 6.9, а) ~1+ С, х «ОС 6) 1 — вхрС вЂ” (х — Л«)(, х~ Лс 'с-ь з 2 ~в ~/УС в) ехр( — )«Лс«е"), х~0. Ьдо, е) Мт —, Мт 2; 6) Мт ~1+ — ) — 2, Мт ~ ~ — 2; 4' в ' с ( Ф/ в) мт мт же 2. 1 в 1 521, Распределение Коти о плотностью р, (х) = л (1 + хс) 622.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
