А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1119923), страница 51
Текст из файла (страница 51)
мРь 1+ л с ~ч~',атс19 (1/)««с ) = (2-)о (1)) )««с«сл, а-~~ю. за+в. 1 6,15. М$ (х) О, О$„(х) е- ~ ()х) сь1), сот(3 (х), 2.99)=('") 1 ' (*рчь1), о$.(~1)-".~$„(*), $„Р3- и+ 1. «««. е з-с«Г — "вхт — Дур~,,фС~ с'~ ~«~« — ~.,с«<р,х 6.19. Р ()с = ОО) 1, вслп ср (1) 1, Р ()с — А) с (1 — ~Р (1)) суа(1), 4 О, 1..., вели 9 (1) ~1. 6.22. М(р„)си, О(рп)~ 2п(п — 1)сд. 6.27. В указанных случаях М« = со, с 6.38.
а) ХС; б) Л(С) ~)«(и) с(и, 5.35. Мт„=, Отав 1 7' ' ),с' в Хьха ' ра (х) = в ~«в~О. (Ус — 1)) 5.56. е) р(х, °... хь) = да« ~, если О~а « ... ~~х„, )сх Р(х, ...,хь) =0 в остальных слУчаЯх; б) Р+ — (О~х(Т), «-7(х-хс 1 — — (х ~ )Т); в) ЛТ+1 ' Т 5.37. р(хт~ ° ., хь) = 4! т, если Оокх я„. „, <~хе ~ 7', Р(х...„х ) О в пРаткввом слУчае! 9(х, ..., ха)омР(х,....х ). 6,38. ),Те Ьа. 6.39.
ХТе 6,40, а) Пуассоновсввй поток на [О, оо) о янтенсивностью 2Х! б) 8 иевависимы, Р(Оь +1) Р (Оь= — 17 1/2. 5.41. ХР. 5.42. Х (х)р (х). 5.43. Распредечение Пуассона о параметром би. ~к ( — о[о — о~ по (. о 5,45. а) Пуассоновснвй поток на [О, оо) с интенсивностью Х(х) = 2Хях; 2Хих(Хпх )" .х ь „о Г (к + 1/2) б) р„ (х) ( — 1)! е '" (х > О) ир к )'Хя(к — 1)! к /' о Хя 5.46. а) Пуассововсиий потов на [О, оо) с интенсивностью Х(х) = 4Хяхо; б) ( ) 4Хя.
(4Х . /3)" оь /е( > О) и (к — 1) ! о 547. а) р(х) щах(0, 1 [1 — х[), б) р,(хь хо) ~ к игах(1 — [1 — хо[ — !1 — хо[, О) при 0< хь хо ~ 2, (1' — хо] )4 — ) (1 — хо) > О, ро(хь хг] шах(0, по(п(хь хо, 2 — хь 2 — хоЦ прн ~ хь хо < 2, (1 — х,) (1 — хо) < О, р~(хь хо) 0 в остальных случаях; в) 5/6, г) 1/4', д) ик = 7,Ч2, Ок 23/144, О(х) = 1 — х'/2 при 0(хо 1, д(х) (2 — х)'/2 при 1~х<2, д(х) 0 при [х — 1[ > 1. 5.48.
а) е "(х2оО), б) е ( т о) (х, х, ~оО), в) 2/е ем 0,73576, в) (1 — е о)е яе 0,39958, д) Ик 1, Ок 1, д (х) е "(х~ 0). 549. а) Периодическая с периодом 6 (детермннироваяная), сотоянвя — 8, ..., — 1 не9ущественные, остальные — сообщающиеся; периодическая е периодом 6, все состояния сообщающиеся; й~ непериодическая) состояние — 8 несущественное, остальныерообщающиеся.
5.50. а) (0,385, 0,338, 0,279) ! 6) (16/47, 17/47, 14/47). 561 (3/) 4/7 ) "' (1/П 10/11/. ~-~-ы сот о — т 5.52. Р(т!о т) =Се о р о 7 о, если с — т четно, [т! ~ 1, Р(о!е т7 О, если 1 — т вечетно иля ! т[= м 5.53. а) Нет, если р ть Е, да, если р д =- 1/2,' б) дч, рк р ь о мр, рь о р ь,=1 — р! в) да, рп=роо=-роо —— роо 1 р1 р!о роо роо роо 554. Р(ро(к+ 1) 4/ро(к) /о) = //о/, Р(ио(к+ 1) = /о— — 1[до(в) 4) (ор — /о)/3. 5.55. Р(Р (к+1) = 4 — ![и (к) =-4):=-Смь 1С3 и/СВ, 5Л6. а) рм р+(д Р)ВМ, рп< ) р1//д, рд<т) * д(М вЂ” ))/М, рц О, если (1 — !( ) 1; $„— цепь Маркова; б) пд —— С';;О ' )т)= О, ... М.
5Л7. а) рм те )ке, что в вадаче 5ЛО, $ — депе дбврвова при М 1 и не цепь Маркова при М > 2; б) и„= Сярм ) О,...,М. 5.60. Является. 5.62. 1/6. 563. а) Р(т Д)$~ 1) =(! — Ртт) РД ~, 4=-1,2, ...; 6) ответ ие изменится. 5.64. !!тп Р(тп>хп/а)= х " (х) О). п-)с ае 5.65. з 1- р+Р(1 — Р-е)з 1 — рг — ', ~ ). -(-").1 ) 5.66. Распределение $п — оиномпальное с яараметрад)п(п, р); М4п пр, (тд) = пр (1 — Р). 5,67, а) Р(тд+т !+и)т =1)=р(1 — р)и ~, 8~.0, и в1! б) Мтд Д/Р) Отд=а(1 — Р)/Р, )Рд(э) = (1 — (1 — Р) х/ 5.68.
а) )рд (х)- р~г (1 — рз) 1 — рд „„, Мт„= 1 — х(1 — (1 —, ), ~а~)' " (1 — р) Рд' б) Р ()) д ~ х! -и е ", й -и о, х ~ О. Рд ) и. ) ),,,(')=)-"т) -), "в,=у )) ъ,,)*)- Рх+ (1 — Р) ~мд д (з) )Рд ди (~); в) мтд д.и ° = — ~1 — ( — )~ ) (Рта ); Мтд д+ 2(Д ( 1), е,д 2р 1( 2)' 5.70. ' 1; 4; 9. 5,73. п(я! =(1 — Хд)/(1 — Х~) прн р~ д, тде Х=д/р.
п(ВЮ) — Д/М при р=д=1/2 п)де!=1 — пд1Я1 О, 1 ..., М. 5.74. а) Р (5 = Ц = 1 рд, Р(3=4)= Рд(дт) (1 — дг) (д в 2)! 138 ох 52 5.77. а) (1, 2); б) -и7 = 1,42268 ...; в) р~,"> = 97 0,5360 ..., ) 40 р<~~=97— - 0,4123..., Р®=1 — Р, !=1,2; т) ятп*п =О, 92 46 51 и = — = О 3161 ...
и = — = 0,1580..., и, = и = — = 0,2628... а 291 ' " ' а 291 ' " д в 194= 5.78. р~"+Н= р»("д(1 — а )+ р(»" да, Ма" = и(а — 1)+1 (дави = (а — 1) Св. (Р„(д) Рвв(д)1 1 /6 а')+(1+а — 6)' (д) р (д)/ а-)- р'д 6 а/ а+ 8 — И' ' ' -(-5 и а 1 5.85. а) М6 = 1+ —, 08 = (2 — а — ()), М (5!в =2) 5 яд / а6(2 — и — 5) О (Ь ). = 2) =; 6) а, = —, Ьв ==- о о и ' а-(-() )г' (а.(-5) о о.87.
Не следует. 5.88. е (( — — „~. 5.89. а) е-ад з"~' 5) — 1в 2; в) р„(д) =аие а" (д) О),5.9О, дд де ргд ( ) рог() Мй:),.—;; (; —;) 5.92. сд (д) = ~ + в(1 — е <а+И'), иг (д) = —— 6+( +6)' ° +6 6 ' 2а6 — —, (1 — е 1"еск), Ьв(д)= ц О(1),д — 1 — 1 (а+))) ' (а+ ()) аер и (о + р ) 5.95. М (д,.)= г 6 д+х+ о (1 — е 1~ Вд), + 6 (а+ ()) — 6 (, + ~,) М (, .)= г .»д+х д о (1,— (а+58) в ' а+ р (а.( (д) 2а() Ор + о )' д (а + 5)~ — (ад+ ) 5,94.
а, — (а +5) О, и а +а+() а п = и 1 — и — дд . 5.95. в) Если 8<1, то и = в а а-)-(дг о 1 о' д = О) (1 — О), если 6 > 1, то и,' = (8 — 1)/61+в, 1 = О, 1, ... Главе 6 6.1. Мв = о; в — состоательпаи сцепка и . 6.2. Мтг а„, о о. о о а а г в и и —, О$ о С~ -та -в Овг — = —, 6.3.
а = с»х», где с» — — о» /(а +„. и и » д .) и о), 6.4. Нвлнотся. 6.5. Ф(х). 6.7. р" =)д„/и, 6.6, ~ре — в $ Р ( Р)сре+и т/Р ( Р)~, гяе аг Ре =Р )я,1-Ф(в„) = а. 6Л2. Хс ° — г л„, оценка состоятель- 1 'нт й т ная и иесмещеннвя1 МХе = Х, ОЬ* Х/я. я т 1 1 1 6ЛЗ, у.* = ~- ~~ '«~ М вЂ” = — Π— = —. А-1 я 6.14.
а) ее= а, Ье = Ь, с» = с, где а, Ь, с-средние врнфыетнчеение по соответствующим вибо(рвам; мал =- а, мье = ь, мс* е, Оае= — ое, ОЬ'= о', Ос"= — о. б) а*е а+ (с — а — Ь) йа Ьса = Ь'+ (с — а — Ь) Ььт, с*" с+ (е а — Ь) й, где 7с~ оа/о, Ье = ое/ос, й~ = ов/ов, в = ов+ ов+ Ос~ Мае* ю а, МЬса = Ь, Мсье = с, Оас* ~ ь а Ьв) ОЬ ь (1 ЬЯ) О, (1 Ье) в 1 с 6,16. е), б) ас —— ас — — ~ ~ У~~ 1~(а; в) мас —- ав Оа,. = ос~/я. й 1 6Л6. в) а = — )' Ул((ре — РеГ,) У "~+(Г, — РьГ ) У' '~, 'йт вде ц, = 1/(1 — Р,',), Г„ = ~Я~', ую Гт = ~Н'„ РьУе, б - 1', — Г',1 й 1 йс т ь ьп ) (л' ф~ — ) я б) Ь" - — ',,'Е (1(бс) — Чт)й.
с г Ь* Ьс 1 6.19. сС -— , ', 1 = 1, 2; ОА' = уео'-+ с+о с ' ' в о в+о 302 6 20. а) з = (з . + ай + (1 + Р) зй)/(3 + Р), Оз = (1 + Р)/(3 + Р)1 1 б)з=(з+а)/2,Оз 0; в) з=сз +сз„+2з, с +с 1 — — 1 Оз 1/2, 2 6 21 а) А,*,= (~ рр Хй' б)МА" = А ВА" = о/Хп' тй=т 6,22, а) А„ = ~ рйхс /(),с 1 тс У хй "' ~в~ =л,+,+" '+лм (/т =1«О+...+р;„)/л ай 'л ст (~=1, ...,/с), 6.24. См. ответ к задаче 6.23. 6.25.
р, «(1 — р)/л. Л' — л 6'26' р' р(1 р) Л' — 1' 6'27' а) 1 7' б) 1 6.28. Мт)п = 1/.й/, Ой)„2/(сс У~) + 0(1//та), л//(с-паев(0, со), тт -~ со. 6.29. Мао = а+ (Ь вЂ” а)/(п+ 1), МЬ*=Ь вЂ” (Ь вЂ” а)/(л+1), Оае п (Ъ вЂ” а) п 1 ОЬ* = сот (ае, Ьо) = — Оао. (а+1)й (л+ 2] ™ л 6,30. Мх( > — — 1/(юл), Охбв — — 1/(сел)й, Мх(пт - -— Ам —, Ох(„ 1 в 1 и 1'Ю 1 сот (х(т) а(п)) ° й з ~~ / з ийлй й т 6.31. а) МО = Мбз — — (а+ Ь)/2, О0 ~ (Ь вЂ” а)з/(12л), Обе = ~-,— —;-; — п~ б) е;--,, се,--,;, О,-в(~ —;.т~,, 4) 6.32.
Является; Мс" = с, Осе = — й. 6.33. Ма 1 м, Мао =с л 1,0833 м, тт1 М (а — а) = 1 м, тт' М (а* — а) — М706 м. 6.34. 6) м(1м — 1) = ~Ч«~свой+ ~Р сйбй; м(1п — /)~< 1 1 т 0~1 с м (1„1)й, если оп > В„. 6.37. 1)а ~ ) ~~~~ а4))л. 6.38~ т)а ч~ 344 ~)л (Р~»/РЯ) 4 1 4 1 где Ц вЂ” число величин *), равнцх й. 6.39. а) С = па +аао 1г'в; б) и„о +иб о = (а — а ) ),'16 в) б, 6.40.
а1. — — а т, а =)а та1"11)х. е 6.4). в) Л„* т„)а; б) Л, Ла!и. 6.42. а) —, 0; б) является. + ))' ТАИЛИЦЫ Норналвное раепределение Таб*ица 1. Значения фуикцин Ф (а) ° ) в Ас "рв22и 3 о Сотые доли Таблица 2. Значения функции иа Функция о. определяется равенством а = — ~ в 'а — У2я ~ иа 0,005 О,ОТО 0,015 св 0,001 0,020 0,025 2,5758 2,3263 2,1701 2,0537 1,9600 и„3,0902 0,0 0,1 058 0,.1 О,'4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 З,О 0,0000 398 793 0,1179 554 915 0,2257 580 881 0,3159 413 643 849 0,4032 192 332 452 554 641 713 0,4772 821 861 893 918 938 953 965 974 981 987 0,0040 438 832 0,1217 591 950 0,2291 611 910 0,3186 437 665 869 0,4049 207 345 463 564 649 719 0,4778 826 864 806 920 940 955 966 975 982 987 0,0080 478 871 0,1255 628 985 0,2324 642 939 0,3212 461 686 888 0,4066 222 357 474 573 656 726 0,4783 830 868 898 922 941 956 967 976 982 987 0,0120 517 910 0,1293 664 0,2019 357 673 967 0,3238 485 708 907 0,4082 238 370 484 582 664 732 0,4788 834 871 901 925 943 957 968 977 983 988 0,0160 557 948 0,1331 700 0,2054 389 703 995 0,3264 508 729 925 0,4099 251 382 49о 591 671 738 0,4793 838 875 904 927 945 959 969 977 984 988 Распределение Стьюденти Тааввва 4.
Значения фуякции 1 Функция Со „определяется равенством 1в ич1 тде случайная величина т„имеет распределение Стьюдепта с о степенями свободы. Плотность распределения т„равяа одо о,оо о,оз о,о1 2,015 3,365 1,943 2.447 8,707 3,143 1,895 2,365 8,499 1,860 2,306 3,355 1,833 2,262 2,821 10 1,812 3,169 2,228 2,764 1,782 8,055 2,681 14 2,145 2,624 16 1,746 1,734 2,101 2,878 2,552 20 1 725 2,086 2,845 2,528 22 2.074 2,819 оО 1,697 2,042 2,750 2,457 1,645 1,960 2,576 2,326 Х'-распределение , Таблице 5. Знвчеяия фунниня Зь Фунипия 2~ определяется равенством ~ (ьев' ~ссЛв) где случайная величина 2~ имеет ть-распределение о оч степени, ми спободы. Плотность распределения Зь равна 1 2 1 р (в)= яь е хм ГЯ)2 хь о,оь с,ох оло а,оз о,ооь 1 2 3 4 5 В 7 8 9 10 11 12 13 14 16 16 17 ГЗ 19 20 21 22 23 24 Зб 2,7 4,6 6,3 7,8 9,2 10,6 12,0 13,4 14,7 16,0 17,3 18,5 19,8 21,1 22,3 23,5 24,8 26,0 27,2 28,4 29,6 30,8 32,0 33,2 6,0 7,8 9,5 11,1 12,6 14,1 15,5 16,9 18,3 19,7 21,0 22,4 23,7 25,0 26,3 27,6 28,9 30,1 31,4 32 7 33,9 35,2 36,4 37,7 5,4 7,8 9,8 11,7 13,4 15,0 16,6 18,2 19,7 21,2 22,6 24,1 25,5 26,9 28,3 29,6 31,0 32,3 33,7 35,0 36,3 37,7 39,0 40,3 41,6 6,6 9,2 11,3 13,3 15,1 16,8 18,5 20,1 21,7 23,2 24,7 26,2 27,7 29,1 30,8 32,0 33,4 84,8 36,2 37,6 38,9 40,3 41,6 43,0 44,3 7,9 11,6 12,8 14,9 16,3 18,6 20,3 21,9 23,6 25,2 26,8 28,3 29,8 31 32,5 34 35,5 37 38,5 40 41,5 42,5 44,0 45,5 47 Снучайнате числа Твйлидо 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
