А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1119923), страница 47
Текст из файла (страница 47)
у е 3+р' а Зтр 3+р 2 Г' ( уг — АсО) гΠ— — О, 1=1 2 (ла — еа) = О, /г = 1, ° ", Я. Отсюда яа еа, к 1, °, °, я, А,*, ~Р, ус ко ~~ е; 13 А, ы, зубков и ке. б) Если р -1, то иа первого уравнения (1) получим с~ —— '= 1Л, а из второго с, = 1/2. Следовательно, с, О, т.
е. в наилучшую оленку включаются в атом случае только коррелированные оценки е~ и ет. При р — 1 величины к, и кт имеют вид е~ = а+ 2, ез с — ь, где Ме О, рс 1. Таким обраеом, е (с~+ со)Рож ю~а, Рс =О. э) При р = 1 уравнения в (1) одинаковы: с~ + со ~* 1/2. В этом случае е, = е+ а, со а+ 2, где Ме О, ре = 1. Таким образом,. очевидно, что прн любых сь сг (с~ .)- со = 1/2) и с, = 1/2 получаем одно и то же выражение е (а+ф+ ы)/2, и рг =- 1/2, 6.22.
а) Приравнивая нулю пронзводеые от / по А и яь получим систему ураеиеняй б) Преобреэтем полученное в п. а) ыауажекив„полон~ко У<= Уг+бдн ха — -аг+6 ~. После очевидных преобраеовакнй яелучим Аа«(А+т)ы +Че, У(1+г)в,а+г)а, ) ° где 1 чь« 1 т)т « — Х (бм+ АЬЫ) Хы «1т е,йа Ьмбап ««=1 л,1 — р„хб0 Хе «г 1 и г~6„. ып ' йг=! а У1Г1 УГ«1 (в+ 1! (а+2) 1 сот (у<гр у 1) Возвращаясь от у< к исходной выборке, получаем окончательно Ь вЂ” а а Ь вЂ” а М х = а -(- — М х ««а (- (Ь вЂ” а) — = Ь вЂ” —, 00 а+1' <«) и+1 л+1' (Ь а)Н (Ь вЂ” а)' (1) 1«) ( ( 1)т ( ) 2) ( 11В (а)) ( ( 1)в ( ( 2)« Таквм образом, оценки а" = х,ы и Ь" = хом являютси сьгегценпьгмв, но их дисперсия при а-« «о убывает вначительно быстрее, чем дисперскя среднего арифметического 9 (х~ + ...
+ х )гл. 6.30, Иэ утверждений вадеч 3.64 и 3.66 следует, что хгы и х~«1 можно представить в ваде $в $„ хм) — — — ', х~> —— $ + в +...+— где 2«(Ь 1> ..., л) — неэависнмые случайные величины, нмею Испольвуя утверждение вадачн 4.33, неравенство Чебышева и пе« равенство Р(2 й: с) кй М$/е (е ) О), верное для неотрицательных случайных величин, нетрудно покавать, что при к- ««еелвчквы пд «(Ф 1, 2, 3, 4) сходятси по вероятности к О. Отсюда следует сходимость по вероятности А" к А, 6.29.
Чтобы упростить вычисления, перейлем от выборки хп ... ..., х„иа равномерного распределения нв (а, Ь) к выборке д~ х 1(х1), ..., у« = 1(х„), где 1(х) «(х — а)/(Ь вЂ” и), ив равномерного распределения па отреаке (О, 1). Ввиду мояотонности функции 1 члены варнаднонного ряда у„1~... ~ уоо удовлетворяют соотношснвям у;ы = 1(хы~).,Польвуясь результатами задач 369, 3,90, находим п<ие покаэвтельпое распределение с параметром а. Таким обравом, М. < — -М вЂ” - —, Е 1 а аи Мх< =Мь + —,Мь+..+ Мсье= — ~1+ — + + — )ю 1 1 1< 1 1т <го т 2 э и " а)г 2+"' ат" йи 1 Ох =0 — =— <О и 'и" и и 1 о.,„, = ,'('„, щ, = —,,')', —,, э=г и э" $и сот(х< ],х<„)=сот~ ", В -(-...+ — ь <=0 — = — „.
и' э "' и и аэиэ' 6.33. Очевкдпо, что МЛ = МР— Мх Л вЂ” г и и, следовательно, м(и — е)' = 0а. статистики х и р кеэависнмы, и поэтому 2оэ Ой =- Ох + Оу =- —. и Таким обраэом, э о М (и — и)с = —. и Мэ =и, Отэтистику и, посколы;у оиа имеет пормальпое распределение с параметрами (1), моьчио представить в аиде и = а+ Вг], где В = ]'2офи, т] — случайнаа величина, имеюп<ав стандартное кормальвое распределение, Тогда а* = гпаэ(0, и+ Вт]), е* — и = очах( — и, Вт]). Рассматривая и' и е* — и как фувкцпи от т], воспольэуемси 4юрмулой (3.9): М»" = ) игах (<], и+ Вх) ф(х) их, М(и* — а," =- ~ (пэал( — и, Вх)! ф(х) Ых, гле ф(х] — плотность стасдаргиого пормального распределепил.
Отсюда, используе формула~ ],хф (х] эх = ф(( Х ] ], Л ~ х ф (х) Вх =Х ф ( ~ Х ] )+ ~ ф (х) Нх, получим Ма" ~ (а+ Вх) ор(х) о(а=а ~ ор (х)-(- Вор(/ 'о )( (-в/ -а(в а!В -а/в оо М(аа — а) =а ~ ор(х) Их+ В ~ хвор(х! о/х — а(В -а(В оо = ' ~ о(*)6 +В' ~ ор( )бх- Вр( ' ). (в/' оо -а/В Выражая оставшиеся интегралы через табличную функцию Фо (х) ) ор(и) о/и, получим следующие формулыо о М ° =а(05+Фи(В))+ ВР(В), М (аа — )о = Р(О,б — Ф ( а ))+ В (О,б+Ф ( В )) — Вор( В ). Для указанных в задаче числовых значений имееш 2100м з а 1 ' в 200 1 и в 1 Фо(1) = 0,3113, ор(1) 0,2420.
Отсюда и нз формул (2) находим Ма" (0,5+ Фо(1)) + ор(1) и 1/)833 ог М(иа — а)о (0,5 Фо(1)) + (0,5+ Фо(1)) ор(1) = 1 — зо(1) 0,7530 моа Таким образом, Ма 1м, 7М(а — а)о 1 м, Маа = 1,0833 м, ум(аа а)о иа 0,8706 и. бво. Пусть верна гипотваа Нь Ошибка 1-го рода а определяет. ся формулой ( $и — иаг С»аг Величина (2 — иио)/о,г'» имеет стандартное нормальное расиредв ление и, следовательно, аначвиив (С вЂ” »а,)/ооу» = и,о определи (' -о/ етсЯ соетношенивм = и) а "* =" Отсюда р(2л " Са" С»во+и о(У(ь 276 1 1 > '1» Мр -Н(1 — -~-> = Н(1 — Н > — -оу, Н -ь со, о Отсюда Мр„ е Л о/>т-от Прн гипотезе Нз >т Мр - ",'„(1 — р„)", >с г (2) Из формулы (1) следует, что прн а, У-о со, а>М-оу равномерно по >с (1 — Ра)" ехР (Я)п(1 — Н д(Н ) — са(Ж))~ ,хр (( уг ( ) ве (н)) (1 +, (1)))(= с-тх>ь>адььо(㻠— о<»а> Отсюда и ив формулы (2), полагая в ней я 7Ж(1+о(1)), по лучаем а =.
П>а е = ) е т>дх>>>х, я., Н а/Х т е 277 Пусть теперь верна гипотеза Нз. Тогда >.*о --,- С вЂ” аа 1 ()„= р (й„» с) = р ~ ' » ='1, Вечичнна (2„— Яаз)/о,~л имеет стандаРтиое ноРмааьпое Распуеде. ление и, счедозательно, (С "аз)>оз')Уа = и»о Отсюда и ич ра- венства (1) получаем и о + и. о =(а — а ) >си. Значит аг ооз ис — со при я-ооо, т. е. рс-оО прн л- оо, 6ЛО, Выборке хи ..., х„сопоставим процесс равмещения а ча- стиц по У ячейкам: будем считать, что >-я частица попадает в )' Ь й -> 1'> й-ю ячейку, если х> св ) Н , — >, й О, 1, .. о Н вЂ” 1 . Прн такой и н т ерпретацив получается схема независимого размещения частиц по нч енкам, а случайяая величина Нс равна числу пустых ячеек.
П р и гипотезе Н, вероятности попадания частиц е ячейки 1, 2, ... , Н одинаковы н равнм 1 >К а прп гнпотеае Н, вероятность по- падания в й-ю ячейку определяется формулой (а+>рн р о ~ д(х) йх = >>( —,)+ ее (Х), 1 !1) ь>я где п>ах ) еа (Н) ) 0(1/Л~), поскольку по условню у(х) непрерыв. ь но днффереицируема на отреаке (О, 1).
Математическое ожидание и дисперсян величины ро при гипотезах Н, и Н> определяются фор. мулами, полученными в задачах 3.116 и 6.121. При гипотеае Й> Часть 1У. ОТВЕТЫ Глава ! 1.1. 2/3. 1.2. Р (А) = 1/1785 =- 0,0005602..., Р (В) = 1/3927 0,0002546... 1.3. !/6, !.4. 1/2, 3/8, 7/8. 1,5. Р (А) = !/3, Р (В) = С™„ 2" т оЗ " (О ~ т ~ в — 2), в! 1 Р(С) = С"2"-тз —" (0< т я, ) Р (/7) = — (т + +т +т и) 1,6.
'//!8 0,38888... 1,7. Р (А) = 0,21, Р (В) 0,01, Р(С) 0,27. 1,8, а) 0,504; б) 0,432; в) 0,027; г) 0,036; д) 0,001. 1.9. р ~ [ 1-» (/7-» ао), /7 '( 4 / 4 1.10. а) р, = 1 — — Д вЂ” 1+[ — ~ — [ — 1)-» (1 — — ) )4 1 т Х ~1- — ) (В ,! » т то!!«...1„од а ° П 1 — — ) (/7- со). а т 1 ! !.!1. Если 5! 10/с+ !, то ро = 24//Р при ! =О, ртг (24 + + 1)/У прв 1о,! <9, р 2 (/а+ 1)//7 при 1 9! р„-»1/5 (3/-» оо). 1.12. рм — [ -» (/)/-»оо),1,13,9 10 ° 1 ГФ+ г — о! [о а-~-т! /т~ 1 !4. фя 1+,» ( 1) 1„- —, где сум 4~1 от« га /7!Р" Р1 верования проиеводятся по всем простым виолам р.о р„...! (,) 1 ! 6 !пт В ! П ! ! — в) ~о — 0,607927 .. вде гроивведеное берегся по всем простым р.
1ЛЗ. я/4 о 0,785308! .. ° 278 1 99, 9 1.!6. р = — —, р - — + — (й~ 2 2. 1О" ' ч-а+с 2. 10аа ~ 2.10а+" 1 99 1... „и), Е = —, Ч =- — (4=1, 2, ...). е 2' а 210аа 1.!7. Еа -9.$0 " "+(94 — 1) 10 а т!л10, к=о, 1... ° 2 ГЛ'1 1 !9. Р < Р лри /У>4. 1.21.
[/и (Р) =1 — — ~ — ~+ + а ~ а 1, (7 (Р) = 1 — + а, () = 1. $.23 ~ 4 ~ ° /с+1)И и(а+1) 2' / (4т(л+ 1)) — 1 !.26, а) (5/6)'е = 0,1615055...! о) Саа 5 6 ге 0 1550453...! в) 1 — (5!6)те 0 8384944...; г) 1 — (5'е + 10. 5а)/6те 0 5154833 .. 1.27, 0,055252. 1.28. 0,067. 1.29. 0,055252. 1.30. 2/21. 1 620!6 99 1.31. †, = 0,00009995..., — = 0,1300384..., ' 10005 ' ''' ' " ' 476905 ' ' ' 667 0,1484257...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
