А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1119923), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Используя результат задачи З63, получим формулу дяя пвотпости распределения Рь(х), х = (хь ..„хь), вектора 8 .= Й~м* ° °" $~ )): Ра (х) = я~зев ("~+" хо) г ох о~ 0 в остальных случаях. Плотность распределения ц (Ль ..., Л ) можко найти по формуле (32) с функпией Г(х) (В(х», ", За(х)). а(х) а зч(х) = хс — х< ь Г 2, ..., л. Нетрудно проверить, что якобиан »г преобразования у г(х) тождественно равен 1.
Обратвое преобразование х 9 ~(у) определяетгя фоРмулами х~ = у~+... ... + Уь 1 1, . „л, ПодставлЯЯ в (3.2) пРивеДеквые выРажениЯ дая ре(х), г ~(х), уж получим о -о(ег +(е — г)в +...+то» Рп (У) = О, если ш1о(г, ..., г„) (О, Плотность распределении рч(у) вектора т» (Ьь .. „Ь„) представлиется в виде произведении одномерных паотйостей покааательвых распределений. р„(у) П (м(в — 1+ 1)е 1 з Отсюда следует, что случайные величины Ьь „„Ь„кезависимы н Й смеет показательное расяредввеяие с параметром м(л — г + 1), З,бб. Согласно задаче йбб соответствующие вариационному рк- ду '~п ~~ $м> с~ ...
а Зщ> (построенному по $ь .. „ $„) случайные величины З,п Ьз ~ З го — З~ь-гн $2, З "и л независимы и Ьз имеет показательное распределение е параметром (а — З+ 1»Х, а = 1...„л. Остаотск заметить, что шах(бь " $«» $ оп "* Ь| + Ьз+... + Ь, что случайные величины Зз/В, Ф 1, 2...„л, независимы и ЗаЯ вмеет покавательноа распределенно о параметром Ы, и. в, распре- делено так ще, как Ье-ь+ь 3.70. Введем вспомогательную случайнуго величину 5, не ва- внсяшую от $, и имеющую распределение Пуассона с параметром Ае йь Согласно п. б) задачи 2,22 распределение $1 + $з совпадает с распределением $ь 11озтому для любого З = О, 1, 2, ...
Раз:а) - Раз+ба~а) = Х (хз ю) 6г<" )< (х а'в) 6зк'ь) З (З <З)' 2.129. Начало координат Огм Я. Точка л щ Я(»л( > 1», если прн в.ьО тачки 1, 2, ..., 2л — 1 — белые и при с ~ О точки — 1, — 2...„— 2а+ 1 — белые, Пусть Ох = 1, если лги Я, и О, = О, ес ли в ф 8. Тогда О~ (з(= У е„, ме,=1, ме„=р -' и, следовательно, 2р М(З(=1+2 У. р'"-'=1+- — ".. 1 — рт" х 1 ЗЛЗО. Восполъзуемсл представлением ь = ~ '» 'х (г, гг» г пг ят, и предложевяыьг в указаниях. Тогда у (г, в) О при г ~з 1/2 и Х(г, ф) 1, если г ч. 1/2 и в крут К,,е радиусом г с центром в точке (г, ф» не попала ни одна из точек Сь ..., С„. Для калгдого Г = 1... „а вероятность того, что точка С» попала в круг К„„рав- на лг»/и = г' в, следовательно, МХ(г, й» Р()((г, гр» 1» (1 — гт»", если г ( 1/2. Меняя местами знаки математического оюидаяиа и 6 то~си Хь ..
е Х„никакие три из которых не лежат на одной пря моч, либо образуют выпуклый шэстиуголъник, либо одна из зтки точен (скажем, Х,) содержится в треугольнике, образовэвном какими-то тремя другими (скажец, Хь Хэ, Х,). В первом случае ке ь 1, поскольку сумма углов шестиуголъпина равна 180' (6-2) 720; т. е. по крайней море один иа его гпестп углов не моньше 120', Во втором случае ке ~ 1, поскольку углы ХтХ~Хз, ХзХ|Х4 н Х~Х~Хз треуголъиикое Х,ХгХь Х,Х,Хь Х,Х,Х4 в сумме составляют 360". ЗЛ42. Рассуждокия аналогичны проведенным в решении задачи ЗЛ41. Если Хь ..., Х ш В' — независимые точки, имеющие распределение Р, и к — чвгло выпуклыч четырехугольников, образованных точками Хь ..
„Х„то в силу аддитнвностп математического ожидания МК, = СЗ Р, т. Е. Р = МяэГСвЗы я для доказателъстээ приведенной в условии задачи оценки достаточно показать, что Мкз р: 1. Но Р(к, ) 1) = 1, поскольку 5 точек, из которых никакие 3 пе лен(ат на одной прямой, либо образуют выпуклый нятнугольник (и тогда кз > 1), либо одна из этих точен (скажем, Хз) лежит внутри треугольника, образованного тремя другими (скакгем, Хъ Хг, Х,). Эта конфигурация изображена ка рас. 7 (см, ука*анио к задаче ЗЛ42). Отрезки и лучи, приведенные ка этом рисунке, разбивают плоскость иа 9 областей, Легко проверить, что в какую бы вз этих областей ии попала точна Хь из точек ХьХь Хь Х, можно выбрать 3 точки, которые вместе с Хэ образуют выпуклый чэтырехуголъпиь. Значит, и в этом случае кт зв 1, что и требовалось докозать. ЗЛ56.
Так как функция Г(х» = )х)' пря г-г 1 выпукла вниз, то прп лгобок действительном х, согласно задаче ЗЛ52, м(х+ 0(" » ~М(х+ т))' (х)'. Поэтому нрп г ~ 1 м(6+0(' = м(м((6+ ц( )5)) м)6) . ЗЛ56. 6] Если ранг матрицы В равен г, то существуют такие линейно независимые векторы Ьь ..., Ьь-, ш В', что ВЬ~ = О, ! = й — г, Г!оэтому 0((Ьь $)) = (Ь», ВЬс) О, ! 1, ., „Ь вЂ” г, т. е.
Р((Ьь3) = с~) = 1 для некоторых чисел сь ...,гь ь Значит, существует г-мерная гвперплоскость 5, <- Вь, ортогональная нодпрострапству, натянутому ка Ьь, Ьь „и удовлетворяющая условию РД ш Г.,) 1. ОЬРатПО, ЕСЛИ СУШЕСтаУЭт д-ЬГЕРНал ГНПЕРПЛОСКОСтЬ беШВЬ, длв которой Р(5 гп 5г) =-1, то сугцествуют линейно пезэвксил~ые векторы Ьь ° ., Ьэ-е ортогопальпыо Г.„и числа сц ..., гь т, удовлетворя)ощке условиям Согтшспо п, б) задачи ЗЛо8 тогда ВЬ| = О, ! = 1, ..., й — Ш т. е. ранг Н пе превышает э, Так как по условию райг В равен г, то соотношение Р(егж Г., ~) = 1 кс мо!кет выполняться пи для какой (г — 1)-меркой гиперплоскости 5, ~ щ Вй 3.175. Г(усть Зь $ь ...
уровни весенних паводков в последовательные годы, а т, -- время до разрушение плотины паводком. 246 Тогда (тг)г) *( тал $»<г) = () (5»<г) »».».» 1 и, следовательно, Р(т,)») Р'(г). Отсюда, используя результат еадачи 3.132, получим ОО чэ 00 1 М~,-У Р(~,~~~-'(; Р(~,~~~ »=г » о В п, а) требуется найти мипямальноа значение з, при котором мт, ) Т, где Т = 100 лет. Такое г удовлетворяез уравнению 1 ... = Т и, следовательно, ' = Р г (1 — Т ) = Р г (0.99) 11 гле Р»»и) еир(х.
'Р(х) «и) — функция, обратиаи в Р(х). В п. 6) требуется найти минимальное з, при котором Р(т, Я Т) ~ а = 0,01, т. е. 1 — Рг(г) .а о или (1 — а)мг(Р(г). О~сюда г = Р» ((1 — а) ыт) = Р» (0,99о о')»и Р» (0,9999). 3.176. Приведем два решеени. а) Пусть Р(х) РД» а: и). Тогда (т ) д ьг = г) = дг<.» «г, . „гете» и«йг, чьг г) Р(т) г)ьг г) = Р'(г). КРОМЕ ТОГО, Р(еет(г) = Р)»ват й»я,г~=РГ(г). Найдвитоиорь Р (тт ) и), вослольеовев»весь формулой полной вероятности (3.21)» Р (ту~и) =МР(тг ) и(ьт) =МР (Ет) = ~Р (г) З(Рт(г)) = Т~Р +т 1 (г)о»Р(г) о о Отсюда, полагая х = Р(г), получим 1 Т Р(тт~) и) = Т х"+т г»(х= —, и+Т ' о Следовательно, Р(тт*ч и) = „+Т (и)0), Мтт= Р(т»м г~ 10) = 1(11.
б) Случайные величины 1», й„... по условию независимы и имеют одну и ту же непрерывную функцию распределении Р(х). 247 Построим но случайным величинам $>, ..., 2то ик вариационный ы>д й о (... ~ с>тех>> в силу непрерывности Р(т) о вероятностью 1 все числа 3о>, ..., Ь>то > различны.
Тогда «тт» (о) (2>т. >~(Ь+>, ° » автои)) (1) При условии, что еначоння йп>, ..., ф,тоо> фиксированы, набор (с>. °, от+и» пмеот равномерное распределение на множестве осек (Т+ и)! перестановок чисел $>», ., 2>тоо>. Ив етик (Т+ и',! перестановок ровно длл в(Т + и — 1)! выполняется событие в правой части (1). Поатому и >Т+ и — 1)> и Р(тт» и) ' бр+ и)! и+ Т' 3,28!.
Пусть 2> 1, если точка 3> — гравпчиая, и 2> = О в противном случае. Тогда х„- Х>+... + 2в и Мх„иМйю по- скольку точки йь ..., (,. псзовнсипы и одинаково распределены. Пользуясь формулой (3.2!), получаем Мт„'Р(ел ~ 2 > или ь» ~ 1, „и — 1) = МР" >(йп ~ $ь> илй $» ~ $от($ >) М(1 (1 е >»(1 ьоо)» ~ М(1 $в>$о>), По Ус- ловию случайные воличины $ > и 2 о независимы и равномерно распределены на отрезке (О, 1). Значит, Мх — иМуо лМ (1 — о $ ) т-> и — 1 ч; ( — 1)' с",м1о $а = и У ( — 1)а с", х > о-> н> ио .ьм е-> (л+ 1)т о=о ь-о о г и-> 1 и -; — Со+>-~ ~ ( — 1)оС"' "Нх=~ мъ ( — 1) 1' 1 — (1 — х» йх Д> 4+1 и ) хм о ' = ) х а-о о о=о о и о > мч1 - ~ — и.
= ~ (1+ х+ ... + "-') Нх = У вЂ”,. 1 — х ), .Фао о о о=> 8.224. а) По условию >-е орудие пораясает цель, если (8>+ $>+( а( (2>+ Ц ~ е. Так как случайные величины 1, 2„..., й„независ>ьиь>, Р (1~ х) х+ с) —, (х( о= >(, а в>, ..., $„одинаково распределены, то вероятность () поражения цели залпом нз и орудий определяется фор мулой ()„=1 — Р((т,-+~() е, 1-1, ..., и>, = =.1 — МР(($>+(!)Е, 1=1, ..., и(Ь) и ~П() > 1 е — — (! Р (~ г+ х(и~ е)) >)х, ои 248 личины г $ь йг имеют нормальное распрепеление), был отмечен А. Н. Колмогоровым. 6'~+ йе 3.260. Середина М стороны А А имеет координаты !— з з ч.,+ц,) й +4 т),+1!т ! ! 2 апй задвЧи слсДУег, что ", С, „", Пт, т)е, 0 независимы и имез* а' ют стандартное нормальное распределение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
