А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1119923), страница 40
Текст из файла (страница 40)
е. не зависит от г, 4,123. Ввести случайную величину рю которве не зависит от вектора е и такова, что рз, имеет де-распределение с л степеиими свободы, Мрз =- л, Ораз =2л, В пилу задачи 4Л27 случайный вектор о„е имеет и-мерное нормальное распределение с нулевым вектором математических ожидавий и единичной матрицев коварнацпй. Предельные распределения случайных векторов (е~р, ...
згр„) и (ефв,.„, еь)л) при й сопзц я-~во совпадают е силу ТОГО, ЧТО --1 >3--р — 1 >5 < для любого б ) 0 (см. задачу 4.33, б), 4Л29. Использовать результаты п. а» задачи 4.125 н и. б) задачи 4.33. 4Л30. Ввести случаяные величины еу, < (1 <-1<- д(, 1 1, 2,.1.»1 еу, < = 1, если в рм испытании появился 1-й исход, и еу, < О и л,( г( < «и «„- т, Я КО). Вга 1=1 < 1 ваться независимостью внутренних сумм и центральной предельной теоремой.
4.132. Найти предел логарифма характеристической функции (в< — 1) 6»АО 4.133. Представить о~,'~ввиде суммы л независимых одинаково распределенных случайных величин и воспользоватьси центральноя предельной теоромой. 4.134. Используя незавнснмость ьв. ь ° ... ьв, „, равенство вп = 1+ (1 — 2 + (О ° ) О! < ! 1 и оцокку м]д]в) ((>ь)1(в (пз которой следует, что — шах 0~ 1-ь <„1«А«в .— О, л- оо), показать«что для любого Г, »(] ( <о, 4.Р5.
Воспользоваться утверждением задачи 4Л34. 4Л36, Воспользоваться утверждением задачи 4.134. 4Л3). Для нахождения предельного при л- оо распределения случайной величвиы ц использовать метод производящвх функций. 4.133. б] Испояьзоеать задачу 4.134. в) Представать ь, в виде Ь = Ь~е> — Ь(1>, где ((а> ~ кь(в> ((1> ~к~~~«(1 в(в>1« 1«<«В 1«(«в (в> [в> о~~ «1!В Р< )1/3 Предельные расиределепия ь'„Е> и (~„'> найти с помо<цью задаче 4.105. 4Л39. Характеристическая функция случайной величины й /1„ при о оо должна сходиться к характеристической функции предольпого распределения.
4.!40. а) Воспользоваться равенством (У ( 4) = Й(+. + 31~ «) н заковом больших чисел. 225 15 А. м. зубков и ав. б) В отличив от п. а) воспользоваться центральнон предельпэй теоремой. 4Л41. Используя утвериздение задачи 3.64, представить 2, з е виде суммы т независимых случайных величин. Для доказательства асимптотической нормальности случайной величины (2<~~— — М$ою)/упйою поггазать, что выполняются условия задачи 4.134 (при этом удобно применить результаты задачи 4.74). Второе утверждение п.
б) вывести из результата п. а) и задачи 4 55. 4.142,Заметить, что если Р,(у) — функции, обратная к г (х), то, согласво задаче 3.13, распределения ~, ~ н Р ~(1 — ехр( — а$~ Д) совпадают (вдесь йо, «... 2, ~ — те жс случайные велнчпэы, что в задаче 4.141). Далее воспользоваться утверждениями и. 6) задачи 4Л41 и задачи 4.51. 4Л43. а) Вычислив Р(т„) и'ьо», чо ..» т Д, показать, что т, не зависит от ти чь ..., т„~ Для пахожденшт Р(т„т» — тД воспольаоваться формулой полной вероятности по значениям т» — т~ и равенством т„= т~ +... + ть б) Из точной форчулы дзв Р(т», > т„, ~ — ч») получить дву сторонние неравенства, воснользовавщнсь оцопкой 1 — г 1 1 Р <1 .
<1 , 0<у<*<1. +х ху ~ у 4Л44. Используя результаты задачи 4Л43, найти нрсдез логарифма прозюводящей функции т» — З, 4.145. Для нахождения предельного распределепяя испольаовать утверждение задачи 4.134, а для вычисления моментоз — полученные в решении задачи 4.143 равонства т„= т~+... + т, [где ть ..., т — независимые случайные величины) и формулу для проиаводящей функции ть 4Л46. Показать, что зь .. » зя < О.
Ото»ода и из равенства ю(1) 1 вывести, что р(з) = Ц (1 — р,. + р,.з), гд. рз =1;(1 — з,). »=1 4.147. Миогочлеп ~Р(з), удовлетворяющий условиям задачи, можно представить в виде произведения я' — И квадратных трехчленов и 2»1 — У лпэснпых дзучлепов, причем коэффициенты всох сомножителей нсотрндательны, а при х = 1 каждый из них прпвнмзет аначение 1. 4.148. Испольаовать задачи 4Л46 н 4.134. 4.149. Использовать задачи 4Л46 я 4Л05.
4.150. Для составления рекуррентпого уравнспоя использовать формулу полной вероятности, связыеагон1ую расщредслепия рс(я, Т) и пз(я + 1, Л~). Показать, что сели з» ~ < з, з з яз... ... < з, ~ < 0 — корни уравнюшя 7», я(г) О, то з ть в ~ < <а~,в — ~<з»»ьв-з<з»,я т<,<з»»~ ~~ «,~<(0 и т» «.~~ < < з»»ь» < з», ь если только з», ю+, < г 4.151. Воспользоваться задачами 4Л48 и 4Л50. 4.153.
Польауясь симметричностью раснределепия 2, представить 1 — Ме"'з з виде интеграла от 0 до о». Чтобы исслодова ~ь асимптотическое поведение 1 — мв"з при 1 О, разбить этот интеграл на два: от 0 до Т Т(г) я от Т до со — и оцепить первый интеграл по модулю, а при исследовании второго использовать асимптотическую фориулу для р(з) при х-» со. 226 4.154. а) Получить явнуво формулу для р(з) и разложить тв(г) в ряд Маклорена. При нахождении асимптотики 1 — 1(г) при г- 0 проследить за изменением агу(1 — ф(г)), когда з 1 — ге", — я ~» в- -х =~ я, 1-ь О. б) Воспользоваться справедливым для любого комплексного чпсла с соотношением (1 — св — ')" е-', в-~со, и теоремой непрерывности для характеристических функций. 4.155. Используя формулу обрашеиия для характеристических функций, приведенную ео введении к гл. 4, показать, что распределение с характеристической функцией е М'1 имеет плотность а 1 р(х) =— 'г а +х" 4.156.
Показать, что плотность распределения случайной величины 1)2~ удовлетворяет условиям задачи 4.153 с а 2 и С кр(0). Использовать задачи 4Л52, 4Л55 и теорему непрерывности для характеристических функций, 4Л57. Воспользоваться свойствами характеристических функций в тем, что $в + $в = 2$в. 4Л58. Заметить, что ум ь(х) ливпь постоянным множителем отличается от плотности суммы двух независимых случайных величин, имеющих распределения Коши с параметрами а и Ь. Рассматривая характеристические функции, показать, что эта сумма сама имеет распределение Коши. Глава Ь 5.2 а) Показать, что 0~ — 0 прв а-в. се.
б) Представить ь„в виде линейной комбипапин случайных величин $~-в, $в-в, ..., $„и воспользоваться усиленным ааконом больших чисел. Ь.З. а) Вычислить М0~0 к показать, что ОфВ ~0 при л -~ се. б) Представить 4~,') в ваде квадратичной формы от $~ а, $в „..., а в, и Разбить зту форму па сумму конечного числа сумм ввсзалвисиввых слагаемых.
Далее воспользоваться усиленным вакокоя больших чисел. 5.4. При вычислении коварпацвявв $в и $, использовать равенство 2 Мо х з|п у = соз (х — у) — соз(х+ у). 55. Показать, что если Г+ яп~ = 24~я+ гс1(Г), я(1+т)в) = 24вя+ пв(г), где числа х1 и Лч целые, а пв(г), ат(г) ш (О, 2п), то а~(г) в пз(в) неаависпмы и имеют равнолгеряое распределение в отрезке (О, 2я), в з, = е)псе~(г) + зшцт(г). Сы. также укааание к задаче 5А.
50, Так как число я иррационально, то в) = ) Ы) + )Ьт(. 5.7. а) Воспольаоваться центральной предельной теоремой. б) Представить 0 (г) а анде т) (1)=йе ег= у аз в в Привгенить многомерную цептральвуво предельную теорему к сумме з —,Р (па сое рз, па з! и ба). 1 а ааз ь=в 15* 227 5.8, Обосновать воэможность перестановки знаков интеграла н математического ожидания. 5.9. Вели траектория процесса йз монотонпо воараотает, то ( гв.~ х) = (3,, ~ )У). 5.10. Для вычисления МН использовать формулу из задачи 3.132.
Доказать, что числа строго возрастающих последовательностей хв .. „х, составленных иэ чисел 1...„г), равно Сгззтг, а число таких же неубыезющял последовательностей равно С~~+~~ д. В случае в) вспозьзоиать указание к задаче 3.62. 5Л1, Пзйтя сначала фуикдию распределения т — т)(з, польауясь сферпчесной симметричностью распределепвя вектора ($, Ч). 5,12. Представить рь в виде рз — т)е+ тн+...+ Чь-ь гдв т)1 1, если на полуинтервале (), 1+ 1) нместся нуль процесса $о н тп 0 в противном случае. При вычислении Р(цг-О)-Р()~~,) ~)~+...+~), ~~, К,+...+~г) ~О> воспользоваться задачей 3.266.
5ЛЗ. Применить задачу 3.!7 и формулу полной вероятности РЯ„(х) . а) МР(3„(х) = а)гь ..., ~„). 5Л4. Миогочлен $ (х) имеет кратные действительные корня тогда и только тогда, когда существует такое число о, что д (1х+1хз++1х)~0 тх = — (йи+ Ьзиз+...
+ ~~и"). (2) При условии (1) число вначений правой части (2) не превышает я — 1. Далее воспочьзоваться формулой полной вероятности по значениям ьь ..., ь» (см. указания к аадаче 5.13). 5Л6. Найти характеристическую функцию роспределения веквора ($;(х ) °" 3„(хз)) «~ (хг ". х» ) (,~. ю о 5.17. Кроме аадач, укаэанных в условии, воспользоваться аснм. птотнческой формулой з агсз)п У1 — у = -х- — (1 (- о (1)), В ) О.
5,18. Случайные величины тн тз — ть тз — гз, ... независимы и одинаково распределены. При выводе уравнения для Оч(з) воспользоваться тем, что случайные величины т~ и 1+ т г+1 одина- 1 ново распределены (здесь те ~ 0). 5.19. а) Используя укаааяия к зядаче 5Л8, доказать, что Р(р~-5)д~-Ч-8~(1). б) Из условия ев(О) = О, непрерывности йр(з) и уравнения з7(и,(в)) = 1 вывестл. что 1) й 1з) = (о(~х) 0: 7(х) ~ —,~, т. е. что ~р~(1) < 1 тогда и только тогда, когда уравнение 1(з) 1 ныеет корень г, О < з < 1.
5.20. а) Использовать формулу Стирлинга (1.6) ив введения к гл. 1. б) Заметить, что М()р„+,! )Р„й» (Ц при й чв О н М((Р~+~! (Р» = О» 1, н составить рекуррентное уравнение для М)р„), испольауя формулу полного математического ожидания. 5.21.
Составить рекуррентпое уравнение для М)ре(з, нспоиьауя равенство (Рл+~!' = (Р~+Ьеь Ре+ Вею) »Р~! + »4в+1! +2(Ра, Фжы) 5.22. См. указания к задаче 5,21. Прн выводе рекуррентной фоРмУлы Длв М)рз(з использовать соотноШепнп Р()(ь! 1) =- 1, М(Р, 2;) О, М (Р„, 3,,»з = М ! Р„! зМтоз,, и МЯ „—,, (см. задачу 4.126). 5.23. Испо; ..совать результаты задачи 5.22, неравенство Чебы.- шева и лемму Бореля — Кзптелли (задачу 4Л6). 5.24.
а) Использовать лемму Борзая — Кантелли (п. а вадачи 4.16) и формулу Стнрлнвга. б) Убедиться в том, что п. 6) задачи 4.16 неприменим, Вычполить Мт двумя способами: вводя индикаторы событий (Р О» и вводя вспомогательные случайные вели шпы г, =шзп(в>1: р~ О», тзы =ш)п(п3 ты Р О», Ф 1,2,... (которые удовлетворязот условиям (т з 4» (ть < со». 5.25. Заметить, что компоненты Р, „..„Р... вектора р являются независимыми реализациями величий, расоматривавшиься в п. 6) задачи 5.24, Прв з ) 3 использовать лемму Борони — Щ(ттеллв, при з = 2 рассуждать так же, как в п. б) задачи 5.24. 5.26. Случайные величины бг к 2(» «1» неаавпсимы, Обосновать законность перестановки знаков суммирования и математического ожидания.
5.23. Применить тождество Вальда (задачу 5.26). Для доказа.тельства того, что МЖ~ .. сс, использовать аадачу 4.33 к соотношение МЛ, =,т; Р р, > я» < ЧР Р (Р„< Г», т з 5.29. Использовать метод математической индукции (по й) в формулу полного математического ожидания (по значенинм Р„;). 5.Ф. Ввести случайную величину а -(-1, если шах(р, ..., Р„» < 6, ппп (1~ )1: Р1» )6» в противном случае. Используя задачу 5.29, оцеппть снизу и-, 'з МУ„= ЧР Р (то = Ь» М (Уо ! т„= 4», ь т 5,31. Испальаозать задачу 5.30, Для доказательства неравенства ь»([ф~+".+4.н[ [$ь ". $.) ~ ($~+"-+ $.[ аспольаовать аадачу ЗЛ52. 5.32. Воспользоваться аадачей 5.30, равенством р( юах [З, -(- ... +5„[~Ь) = Р ( шах (» -[- ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
